董生麟

“推理與證明”是數(shù)學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式.人教版《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》選修2-2中講到，推理的模式分為合情推理和演繹推理兩大類.與后者相比，前者主要考察學生的非邏輯思維，即對反應(yīng)客觀事實的理性認識，不以固定的邏輯程序進行，不受固定的邏輯規(guī)律約束，需要對思考對象的屬性與關(guān)系作出判定的思維方式，主要表現(xiàn)在直覺思維和靈感上，當然它的這種靈動性是難以捉摸的.筆者通過對于新教材的學習，結(jié)合在新課改中的教學實踐，探討直覺思維在中學數(shù)學中的運用.

1.直覺思維概述

數(shù)學中，直覺思維是指個體在以往存儲的知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，充分調(diào)動一切和所求問題相關(guān)聯(lián)的意識，發(fā)揮形象和聯(lián)想，對數(shù)學對象（結(jié)構(gòu)及關(guān)系）進行直接領(lǐng)悟和洞察的思維活動，是數(shù)學思維的重要內(nèi)容之一.直覺思維本身具有簡約性、創(chuàng)造性、偶然性、不可靠性等特點，這些特點決定了我們需要直覺這個可珍貴的“珍珠”的幫助，引導(dǎo)我們解決問題，但在運用過程中更應(yīng)注意直覺思維的不利因素，切實根據(jù)直覺思維的特點合理利用，才能真正地讓直覺思維發(fā)揮出巨大作用.

2.直覺思維的運用

萊布尼茨曾說：“人們依靠直覺洞察力往往一眼看出我們靠理論的力量在花了許多精力以后才能找出的東西.”許多數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)與解決來源于直覺思維，如：著名的哥德巴赫猜想、四色猜想、黎曼幾何的創(chuàng)立等都是直覺思維的典范.

解數(shù)學題是數(shù)學教學的一個重要組成部分.數(shù)學解題過程是一個創(chuàng)造性的思維活動過程，通過解題可以把學生所學到的知識進行鞏固和深化，培養(yǎng)學生的思維品質(zhì).直覺思維以高度省略、簡化、濃縮的方式洞悉問題的實質(zhì)，對于提高學生的思維素質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學創(chuàng)新能力極為重要.許多杰出的科學家都曾因此給予高度的評價.愛因斯坦直截了當?shù)卣f：“真正可貴的因素是直覺.”因為當我們面臨一個數(shù)學問題時，應(yīng)該先對結(jié)果或解題途徑做一大致的估測，而不是先動手計算和論證.直覺作為一種解題方法將是一種非常有效的武器.

2.1直覺思維在中學數(shù)學中的運用舉例.

2.1.1直覺洞察，聯(lián)想發(fā)現(xiàn)，抓住核心，直入本質(zhì).

分析：本題是一道關(guān)于不等式的問題，若從代數(shù)上直接進行邏輯演繹，則得到結(jié)論相當困難.但是若先對問題中的不等式進行直觀的洞察，再與中學所學過的知識進行聯(lián)想，會發(fā)現(xiàn)不等式中的結(jié)構(gòu)與余弦定理很類似，再聯(lián)想到“三角形兩邊之和大于第三邊”可得（如圖1）.

在平面中任意取一點O，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，且兩兩夾角為120°，連接AB，AC，BC，構(gòu)成△ABC，由余弦定理，可得

分析：本題為三角函數(shù)問題，由直觀洞察可以發(fā)現(xiàn)題中要證明的等式的結(jié)構(gòu)與常見的數(shù)列求和問題

2.1.3直覺猜想，邏輯證明.

故f（x）是一個以4t為周期的周期函數(shù).

2.2直覺思維的誤用.

前面列舉了直覺思維有許多可以應(yīng)用的地方，但也有一些數(shù)學問題看起來是顯然的，通過直覺感知可以得到結(jié)果.可是有些題目如果你再經(jīng)過仔細深入地思考，就會發(fā)現(xiàn)有些因素被直覺掩蓋在了下面，不利于對其進行深入科學的研究.因此在利用直覺思維時要謹慎，對待直覺思維得到的結(jié)論時要多問幾個為什么，深挖背后的原因，找到邏輯的支持和證明，從而更深層次地考慮和解決問題.

下面舉一個直覺思維誤用的例子：

A.1？搖 ？搖B.2？搖 ？搖C.3？搖 ？搖D.4

3.中學生直覺思維的培養(yǎng)

前面我們了解了中學數(shù)學中直覺思維的基本特征和它的運用.在中學生數(shù)學學習過程中，直覺思維與邏輯思維同樣起到不容忽視的作用，擁有良好的直覺思維能力是提高學生各種綜合能力的必備條件.根據(jù)中學生思維的不成熟性等特點，可發(fā)現(xiàn)中學生的直覺思維能力不強，但是我們可以借助中學生思維的敏銳性、可塑性等優(yōu)點，進行合理、恰當?shù)呐囵B(yǎng)和訓(xùn)練，引導(dǎo)學生用直覺思維發(fā)現(xiàn)問題和解決問題.

3.1充足的知識準備是直覺產(chǎn)生的前提.

良好的直覺是建立在充足的知識儲備之上的.有了大量已知的知識，經(jīng)驗，方法做基石，再加上正確的邏輯思維習慣，才能在某些特定的情景中，聯(lián)想已有知識，激發(fā)出直覺感悟.但是這種知識儲備并不是大量機械的知識簡單累積在一起，而是一種有機、合理、有效地組織在一起的知識體系，是在理解各個知識板塊之間內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上的有機結(jié)合.因此，教師在向?qū)W生傳授基礎(chǔ)知識的過程中，不能僅僅以學生了解，掌握現(xiàn)有知識為目的，要在講授時，總是知識內(nèi)在的聯(lián)系，講清楚知識的由來與核心思想，讓學生可以舉一反三、融會貫通.注重各種思想方法地總結(jié)和類型的歸納，而這些總結(jié)與歸納應(yīng)由教師引導(dǎo)學生完成，并教會學生如何思考，發(fā)現(xiàn)問題.

3.2善于觀察，鼓勵猜想.

敏銳的觀察力是產(chǎn)生直覺的必不可少的能力.直覺思維往往從問題的全局出發(fā)，省去了繁雜的邏輯推理，從整體上把握解決問題的方向和方法.有了充足的知識儲備作為基礎(chǔ)，再加上敏銳的觀察力，便能發(fā)現(xiàn)要解決問題與已有知識和經(jīng)驗的聯(lián)系及共通之處，教師在平時教學過程中可以有意識地選擇一些題目，讓學生通過觀察盡可能多地找出于其相關(guān)的已學知識和經(jīng)驗.不論是否切合題意，都應(yīng)對學生提出的新的創(chuàng)意和思路給予肯定和鼓勵，讓其充分體會思考與創(chuàng)造的樂趣，對與問題不是十分符合的思路進行分析與解釋.實施開放性問題教學，引導(dǎo)學生從多角度入手，大膽提出猜想.比如，例3中充分利用了猜想，得到了結(jié)論.在猜想出結(jié)論之后，還需要對結(jié)論進行邏輯證明.endprint

“推理與證明”是數(shù)學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式.人教版《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》選修2-2中講到，推理的模式分為合情推理和演繹推理兩大類.與后者相比，前者主要考察學生的非邏輯思維，即對反應(yīng)客觀事實的理性認識，不以固定的邏輯程序進行，不受固定的邏輯規(guī)律約束，需要對思考對象的屬性與關(guān)系作出判定的思維方式，主要表現(xiàn)在直覺思維和靈感上，當然它的這種靈動性是難以捉摸的.筆者通過對于新教材的學習，結(jié)合在新課改中的教學實踐，探討直覺思維在中學數(shù)學中的運用.

1.直覺思維概述

數(shù)學中，直覺思維是指個體在以往存儲的知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，充分調(diào)動一切和所求問題相關(guān)聯(lián)的意識，發(fā)揮形象和聯(lián)想，對數(shù)學對象（結(jié)構(gòu)及關(guān)系）進行直接領(lǐng)悟和洞察的思維活動，是數(shù)學思維的重要內(nèi)容之一.直覺思維本身具有簡約性、創(chuàng)造性、偶然性、不可靠性等特點，這些特點決定了我們需要直覺這個可珍貴的“珍珠”的幫助，引導(dǎo)我們解決問題，但在運用過程中更應(yīng)注意直覺思維的不利因素，切實根據(jù)直覺思維的特點合理利用，才能真正地讓直覺思維發(fā)揮出巨大作用.

2.直覺思維的運用

萊布尼茨曾說：“人們依靠直覺洞察力往往一眼看出我們靠理論的力量在花了許多精力以后才能找出的東西.”許多數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)與解決來源于直覺思維，如：著名的哥德巴赫猜想、四色猜想、黎曼幾何的創(chuàng)立等都是直覺思維的典范.

解數(shù)學題是數(shù)學教學的一個重要組成部分.數(shù)學解題過程是一個創(chuàng)造性的思維活動過程，通過解題可以把學生所學到的知識進行鞏固和深化，培養(yǎng)學生的思維品質(zhì).直覺思維以高度省略、簡化、濃縮的方式洞悉問題的實質(zhì)，對于提高學生的思維素質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學創(chuàng)新能力極為重要.許多杰出的科學家都曾因此給予高度的評價.愛因斯坦直截了當?shù)卣f：“真正可貴的因素是直覺.”因為當我們面臨一個數(shù)學問題時，應(yīng)該先對結(jié)果或解題途徑做一大致的估測，而不是先動手計算和論證.直覺作為一種解題方法將是一種非常有效的武器.

2.1直覺思維在中學數(shù)學中的運用舉例.

2.1.1直覺洞察，聯(lián)想發(fā)現(xiàn)，抓住核心，直入本質(zhì).

分析：本題是一道關(guān)于不等式的問題，若從代數(shù)上直接進行邏輯演繹，則得到結(jié)論相當困難.但是若先對問題中的不等式進行直觀的洞察，再與中學所學過的知識進行聯(lián)想，會發(fā)現(xiàn)不等式中的結(jié)構(gòu)與余弦定理很類似，再聯(lián)想到“三角形兩邊之和大于第三邊”可得（如圖1）.

在平面中任意取一點O，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，且兩兩夾角為120°，連接AB，AC，BC，構(gòu)成△ABC，由余弦定理，可得

分析：本題為三角函數(shù)問題，由直觀洞察可以發(fā)現(xiàn)題中要證明的等式的結(jié)構(gòu)與常見的數(shù)列求和問題

2.1.3直覺猜想，邏輯證明.

故f（x）是一個以4t為周期的周期函數(shù).

2.2直覺思維的誤用.

前面列舉了直覺思維有許多可以應(yīng)用的地方，但也有一些數(shù)學問題看起來是顯然的，通過直覺感知可以得到結(jié)果.可是有些題目如果你再經(jīng)過仔細深入地思考，就會發(fā)現(xiàn)有些因素被直覺掩蓋在了下面，不利于對其進行深入科學的研究.因此在利用直覺思維時要謹慎，對待直覺思維得到的結(jié)論時要多問幾個為什么，深挖背后的原因，找到邏輯的支持和證明，從而更深層次地考慮和解決問題.

下面舉一個直覺思維誤用的例子：

A.1？搖 ？搖B.2？搖 ？搖C.3？搖 ？搖D.4

3.中學生直覺思維的培養(yǎng)

前面我們了解了中學數(shù)學中直覺思維的基本特征和它的運用.在中學生數(shù)學學習過程中，直覺思維與邏輯思維同樣起到不容忽視的作用，擁有良好的直覺思維能力是提高學生各種綜合能力的必備條件.根據(jù)中學生思維的不成熟性等特點，可發(fā)現(xiàn)中學生的直覺思維能力不強，但是我們可以借助中學生思維的敏銳性、可塑性等優(yōu)點，進行合理、恰當?shù)呐囵B(yǎng)和訓(xùn)練，引導(dǎo)學生用直覺思維發(fā)現(xiàn)問題和解決問題.

3.1充足的知識準備是直覺產(chǎn)生的前提.

良好的直覺是建立在充足的知識儲備之上的.有了大量已知的知識，經(jīng)驗，方法做基石，再加上正確的邏輯思維習慣，才能在某些特定的情景中，聯(lián)想已有知識，激發(fā)出直覺感悟.但是這種知識儲備并不是大量機械的知識簡單累積在一起，而是一種有機、合理、有效地組織在一起的知識體系，是在理解各個知識板塊之間內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上的有機結(jié)合.因此，教師在向?qū)W生傳授基礎(chǔ)知識的過程中，不能僅僅以學生了解，掌握現(xiàn)有知識為目的，要在講授時，總是知識內(nèi)在的聯(lián)系，講清楚知識的由來與核心思想，讓學生可以舉一反三、融會貫通.注重各種思想方法地總結(jié)和類型的歸納，而這些總結(jié)與歸納應(yīng)由教師引導(dǎo)學生完成，并教會學生如何思考，發(fā)現(xiàn)問題.

3.2善于觀察，鼓勵猜想.

敏銳的觀察力是產(chǎn)生直覺的必不可少的能力.直覺思維往往從問題的全局出發(fā)，省去了繁雜的邏輯推理，從整體上把握解決問題的方向和方法.有了充足的知識儲備作為基礎(chǔ)，再加上敏銳的觀察力，便能發(fā)現(xiàn)要解決問題與已有知識和經(jīng)驗的聯(lián)系及共通之處，教師在平時教學過程中可以有意識地選擇一些題目，讓學生通過觀察盡可能多地找出于其相關(guān)的已學知識和經(jīng)驗.不論是否切合題意，都應(yīng)對學生提出的新的創(chuàng)意和思路給予肯定和鼓勵，讓其充分體會思考與創(chuàng)造的樂趣，對與問題不是十分符合的思路進行分析與解釋.實施開放性問題教學，引導(dǎo)學生從多角度入手，大膽提出猜想.比如，例3中充分利用了猜想，得到了結(jié)論.在猜想出結(jié)論之后，還需要對結(jié)論進行邏輯證明.endprint

“推理與證明”是數(shù)學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式.人教版《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》選修2-2中講到，推理的模式分為合情推理和演繹推理兩大類.與后者相比，前者主要考察學生的非邏輯思維，即對反應(yīng)客觀事實的理性認識，不以固定的邏輯程序進行，不受固定的邏輯規(guī)律約束，需要對思考對象的屬性與關(guān)系作出判定的思維方式，主要表現(xiàn)在直覺思維和靈感上，當然它的這種靈動性是難以捉摸的.筆者通過對于新教材的學習，結(jié)合在新課改中的教學實踐，探討直覺思維在中學數(shù)學中的運用.

1.直覺思維概述

數(shù)學中，直覺思維是指個體在以往存儲的知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，充分調(diào)動一切和所求問題相關(guān)聯(lián)的意識，發(fā)揮形象和聯(lián)想，對數(shù)學對象（結(jié)構(gòu)及關(guān)系）進行直接領(lǐng)悟和洞察的思維活動，是數(shù)學思維的重要內(nèi)容之一.直覺思維本身具有簡約性、創(chuàng)造性、偶然性、不可靠性等特點，這些特點決定了我們需要直覺這個可珍貴的“珍珠”的幫助，引導(dǎo)我們解決問題，但在運用過程中更應(yīng)注意直覺思維的不利因素，切實根據(jù)直覺思維的特點合理利用，才能真正地讓直覺思維發(fā)揮出巨大作用.

2.直覺思維的運用

萊布尼茨曾說：“人們依靠直覺洞察力往往一眼看出我們靠理論的力量在花了許多精力以后才能找出的東西.”許多數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)與解決來源于直覺思維，如：著名的哥德巴赫猜想、四色猜想、黎曼幾何的創(chuàng)立等都是直覺思維的典范.

解數(shù)學題是數(shù)學教學的一個重要組成部分.數(shù)學解題過程是一個創(chuàng)造性的思維活動過程，通過解題可以把學生所學到的知識進行鞏固和深化，培養(yǎng)學生的思維品質(zhì).直覺思維以高度省略、簡化、濃縮的方式洞悉問題的實質(zhì)，對于提高學生的思維素質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學創(chuàng)新能力極為重要.許多杰出的科學家都曾因此給予高度的評價.愛因斯坦直截了當?shù)卣f：“真正可貴的因素是直覺.”因為當我們面臨一個數(shù)學問題時，應(yīng)該先對結(jié)果或解題途徑做一大致的估測，而不是先動手計算和論證.直覺作為一種解題方法將是一種非常有效的武器.

2.1直覺思維在中學數(shù)學中的運用舉例.

2.1.1直覺洞察，聯(lián)想發(fā)現(xiàn)，抓住核心，直入本質(zhì).

分析：本題是一道關(guān)于不等式的問題，若從代數(shù)上直接進行邏輯演繹，則得到結(jié)論相當困難.但是若先對問題中的不等式進行直觀的洞察，再與中學所學過的知識進行聯(lián)想，會發(fā)現(xiàn)不等式中的結(jié)構(gòu)與余弦定理很類似，再聯(lián)想到“三角形兩邊之和大于第三邊”可得（如圖1）.

在平面中任意取一點O，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，且兩兩夾角為120°，連接AB，AC，BC，構(gòu)成△ABC，由余弦定理，可得

分析：本題為三角函數(shù)問題，由直觀洞察可以發(fā)現(xiàn)題中要證明的等式的結(jié)構(gòu)與常見的數(shù)列求和問題

2.1.3直覺猜想，邏輯證明.

故f（x）是一個以4t為周期的周期函數(shù).

2.2直覺思維的誤用.

前面列舉了直覺思維有許多可以應(yīng)用的地方，但也有一些數(shù)學問題看起來是顯然的，通過直覺感知可以得到結(jié)果.可是有些題目如果你再經(jīng)過仔細深入地思考，就會發(fā)現(xiàn)有些因素被直覺掩蓋在了下面，不利于對其進行深入科學的研究.因此在利用直覺思維時要謹慎，對待直覺思維得到的結(jié)論時要多問幾個為什么，深挖背后的原因，找到邏輯的支持和證明，從而更深層次地考慮和解決問題.

下面舉一個直覺思維誤用的例子：

A.1？搖 ？搖B.2？搖 ？搖C.3？搖 ？搖D.4

3.中學生直覺思維的培養(yǎng)

前面我們了解了中學數(shù)學中直覺思維的基本特征和它的運用.在中學生數(shù)學學習過程中，直覺思維與邏輯思維同樣起到不容忽視的作用，擁有良好的直覺思維能力是提高學生各種綜合能力的必備條件.根據(jù)中學生思維的不成熟性等特點，可發(fā)現(xiàn)中學生的直覺思維能力不強，但是我們可以借助中學生思維的敏銳性、可塑性等優(yōu)點，進行合理、恰當?shù)呐囵B(yǎng)和訓(xùn)練，引導(dǎo)學生用直覺思維發(fā)現(xiàn)問題和解決問題.

3.1充足的知識準備是直覺產(chǎn)生的前提.

良好的直覺是建立在充足的知識儲備之上的.有了大量已知的知識，經(jīng)驗，方法做基石，再加上正確的邏輯思維習慣，才能在某些特定的情景中，聯(lián)想已有知識，激發(fā)出直覺感悟.但是這種知識儲備并不是大量機械的知識簡單累積在一起，而是一種有機、合理、有效地組織在一起的知識體系，是在理解各個知識板塊之間內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上的有機結(jié)合.因此，教師在向?qū)W生傳授基礎(chǔ)知識的過程中，不能僅僅以學生了解，掌握現(xiàn)有知識為目的，要在講授時，總是知識內(nèi)在的聯(lián)系，講清楚知識的由來與核心思想，讓學生可以舉一反三、融會貫通.注重各種思想方法地總結(jié)和類型的歸納，而這些總結(jié)與歸納應(yīng)由教師引導(dǎo)學生完成，并教會學生如何思考，發(fā)現(xiàn)問題.

3.2善于觀察，鼓勵猜想.

敏銳的觀察力是產(chǎn)生直覺的必不可少的能力.直覺思維往往從問題的全局出發(fā)，省去了繁雜的邏輯推理，從整體上把握解決問題的方向和方法.有了充足的知識儲備作為基礎(chǔ)，再加上敏銳的觀察力，便能發(fā)現(xiàn)要解決問題與已有知識和經(jīng)驗的聯(lián)系及共通之處，教師在平時教學過程中可以有意識地選擇一些題目，讓學生通過觀察盡可能多地找出于其相關(guān)的已學知識和經(jīng)驗.不論是否切合題意，都應(yīng)對學生提出的新的創(chuàng)意和思路給予肯定和鼓勵，讓其充分體會思考與創(chuàng)造的樂趣，對與問題不是十分符合的思路進行分析與解釋.實施開放性問題教學，引導(dǎo)學生從多角度入手，大膽提出猜想.比如，例3中充分利用了猜想，得到了結(jié)論.在猜想出結(jié)論之后，還需要對結(jié)論進行邏輯證明.endprint