黃紅成

數(shù)學(xué)，能夠賦予兒童什么？改變兒童什么？這個(gè)問(wèn)題，筆者一直在探尋。曾經(jīng)的認(rèn)識(shí)是，數(shù)學(xué)是人類(lèi)建構(gòu)的產(chǎn)物?！皩W(xué)習(xí)就是在作結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。”作為工具性學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)常常展現(xiàn)出其工具作用的一面：傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，讓兒童形成數(shù)學(xué)技能，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想，學(xué)生在知識(shí)體系、認(rèn)知能力、語(yǔ)言表達(dá)等“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”方面得到建立和發(fā)展。然而在《乘法分配律》的教學(xué)研討中，讓筆者又有了新的感悟：數(shù)學(xué)教學(xué)，在改變兒童的內(nèi)部世界（認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)識(shí)觀、價(jià)值觀等）的同時(shí)，也需要影響兒童的生活世界。

一、 常規(guī)教學(xué)及困惑

關(guān)于《乘法分配律》的教學(xué)，教師一般結(jié)合買(mǎi)服裝的例題，讓學(xué)生得出算式（65+45）×5=65×5+45×5，簡(jiǎn)單比較后，再讓學(xué)生舉例、交流，進(jìn)而借助多組算式的分析凸顯算式的特征和個(gè)中隱藏的規(guī)律，最后讓學(xué)生感悟和總結(jié)出“兩個(gè)數(shù)的和乘第三個(gè)數(shù)，可以把這兩個(gè)數(shù)分別乘第三個(gè)數(shù)，再把兩個(gè)積加起來(lái)”，并用符號(hào)和字母來(lái)表示，使乘法分配律的教學(xué)由圖象性表征過(guò)渡到符號(hào)性表征。

作為一種關(guān)系結(jié)構(gòu)，乘法分配律的兩邊是以不同數(shù)量的節(jié)點(diǎn)（具體的數(shù)或項(xiàng)）和聯(lián)線（運(yùn)算）組合而成。在特定的情境中，沒(méi)有其他關(guān)系或結(jié)構(gòu)的影響下，表示乘法分配律的關(guān)系結(jié)構(gòu)一般是相對(duì)穩(wěn)定的。但是如果受乘法交換律之類(lèi)的關(guān)系結(jié)構(gòu)的影響，由于兩個(gè)關(guān)系結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)的數(shù)量和聯(lián)結(jié)的方式比較相似，所以學(xué)生很容易將乘法分配律的關(guān)系結(jié)構(gòu)納入到乘法交換律的結(jié)構(gòu)中去，造成關(guān)系結(jié)構(gòu)的錯(cuò)亂和混淆。比如把（4×12）×25錯(cuò)誤地與4×25+12×25等同起來(lái)。而且時(shí)間間隔得越長(zhǎng)，學(xué)生在常規(guī)學(xué)習(xí)中獲得的一點(diǎn)點(diǎn)感悟，就會(huì)逐漸變得模糊起來(lái)，以致出現(xiàn)“張冠李戴”的錯(cuò)誤。

二、 教學(xué)改進(jìn)及思考

如何避免“感悟”式教學(xué)帶來(lái)的缺憾，幫助學(xué)生牢固而清晰地掌握乘法分配律，筆者進(jìn)行了下面的實(shí)踐探索。

改進(jìn)教學(xué)一：

1.出示問(wèn)題一：王大伯家有兩塊長(zhǎng)方形菜地，第一塊長(zhǎng)10米，寬6米；第二塊長(zhǎng)8米，寬6米。兩塊菜地共多少平方米？

學(xué)生列式，說(shuō)明兩種不同算法的意義。

師：這種先分別求出兩塊菜地的面積，再算出共有多少平方米的思路，老師把它稱(chēng)為分著算。既然有分著算，你肯定會(huì)聯(lián)想到什么算？怎樣合著算呢？

生：合著算，不知道。

課件動(dòng)畫(huà)演示兩個(gè)長(zhǎng)方形合并成一個(gè)長(zhǎng)方形的過(guò)程。如下圖1和圖2。

圖1 圖2

師：為什么能夠合成一個(gè)大長(zhǎng)方形？

生：因?yàn)閮蓚€(gè)長(zhǎng)方形的寬是相同的。

師：從圖中能看出兩種列式思路嗎？這兩種列式的結(jié)果怎樣？

學(xué)生回答。

板書(shū)：10×6+8×6=（10+8）×6

師：借助大長(zhǎng)方形咱們找到解決問(wèn)題的新思路，而且也能看出兩道算式的結(jié)果是相等的。

2.出示例題（已改為“問(wèn)題二”，如圖3）。

學(xué)生分析、列式，得出：（65+45）×25=65×25+45×25。

師：通過(guò)計(jì)算或根據(jù)算式的意義都能說(shuō)明兩邊的結(jié)果是相等的。不過(guò)，同學(xué)們有沒(méi)有想過(guò)，能不能結(jié)合剛才的長(zhǎng)方形來(lái)說(shuō)明兩種思路，判斷結(jié)果的大小呢？

依次出示圖4中的兩個(gè)長(zhǎng)方形。

師：老師這兒有兩個(gè)長(zhǎng)方形。第一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)45，寬是25，45×25算的是什么？長(zhǎng)方形的面積就可以表示45×25的積。那么65×25可以用一個(gè)怎樣的長(zhǎng)方形面積來(lái)表示呢？

生：用長(zhǎng)65、寬25的長(zhǎng)方形面積表示。

師：把這兩個(gè)積相加，求出兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積共是多少，這是分著算。能合著算嗎？把這兩個(gè)長(zhǎng)方形怎樣變化就能得到另一種思路啊？

生：合起來(lái)。

師：把什么重合？因?yàn)閮蓚€(gè)長(zhǎng)方形的寬是？

生：相等的。

師：合起來(lái)怎么算？65+45在哪兒？就是大長(zhǎng)方形的什么？25是什么？?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)方形的面積有沒(méi)有變？面積的和會(huì)不會(huì)變？所以兩道算式的結(jié)果？（出示圖5）

師：借助長(zhǎng)方形，不計(jì)算，咱們得到了兩種解題思路，都能看出結(jié)果是相等的。

……

教學(xué)改進(jìn)二：

練習(xí)環(huán)節(jié)，出示下圖：

窗戶 廣告牌

冰箱 地磚

師：生活中也有乘法分配律，你找到了嗎？

學(xué)生結(jié)合圖片中的圖形解釋乘法分配律。

如果把兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看成是一種教師伴隨的旅行，每天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看作是茫茫旅行中的一段。那么，兒童的學(xué)習(xí)行為可以看成是旅行中的行走方式，學(xué)生之于其中的“改變、豐富、發(fā)展”可以看作行走的“成效”，兩者的表現(xiàn)就成為教學(xué)效果的呈現(xiàn)方式。從上面的教學(xué)中我們可以看出，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅改變了兒童內(nèi)在的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且影響了兒童的數(shù)學(xué)行走方式和生活世界。

改變一：用模型思想觀照數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。一個(gè)概念，就是若干對(duì)象由某種特定關(guān)系結(jié)合組成的結(jié)構(gòu)。而且在學(xué)生的知識(shí)體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)概念和結(jié)構(gòu)常以符號(hào)、圖式、模型等方式存在于兒童的頭腦中。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的效果取決于是否建立了有助于兒童數(shù)學(xué)理解的數(shù)學(xué)模型，和特定關(guān)系組成的結(jié)構(gòu)是否清晰、穩(wěn)固。如果教學(xué)方式不妥、教學(xué)手段單一，學(xué)生對(duì)概念的感知不夠深刻，很難準(zhǔn)確把握對(duì)象的本質(zhì)特征，建構(gòu)起清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在上面的教學(xué)中，筆者采用了幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的方式展開(kāi)教學(xué)，學(xué)生借助直觀的圖形演示，發(fā)現(xiàn)乘法分配律兩邊的特征，通過(guò)溝通知識(shí)間聯(lián)系的形式建立節(jié)點(diǎn)間的關(guān)系，借助符號(hào)和圖式等方式固化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并能長(zhǎng)時(shí)間地儲(chǔ)存在記憶中。

改變二：用數(shù)學(xué)感覺(jué)意識(shí)生活。認(rèn)知結(jié)構(gòu)除了有助于信息的存貯、記憶和操作處理外，還有促進(jìn)理解的功能。學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理、法則、性質(zhì)、規(guī)律，如果在心理上組織起適當(dāng)?shù)摹⒂行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，就實(shí)現(xiàn)理解了?！俺朔ǚ峙渎伞钡膶W(xué)習(xí)的混淆與運(yùn)用的偏差，本質(zhì)上說(shuō)就是學(xué)生沒(méi)有理解這一運(yùn)算規(guī)律。上述教學(xué)中，學(xué)生之所以能深刻地掌握乘法分配律，是因?yàn)楣P者并沒(méi)有將教學(xué)停止于幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，也沒(méi)有局限在單一的書(shū)本練習(xí)，而是在運(yùn)用中，適時(shí)地讓學(xué)生反復(fù)再現(xiàn)能夠表示乘法分配律的模型，并結(jié)合生活中窗子、冰箱、和指示牌上的圖案，讓學(xué)生感悟生活中的“乘法分配律”。這樣，就可以刺激學(xué)生有意識(shí)地從眾多的生活對(duì)象中尋找數(shù)學(xué)規(guī)律，以致能夠自覺(jué)地運(yùn)用個(gè)體數(shù)學(xué)感覺(jué)來(lái)意識(shí)生活中的事物。試想，有了這樣的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生還會(huì)把乘法分配律與其他規(guī)律混淆嗎？還不會(huì)運(yùn)用規(guī)律正確解決問(wèn)題嗎？

豐富了兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也影響兒童的生活世界！這不僅是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的至高追求，更應(yīng)該是數(shù)學(xué)饋贈(zèng)給兒童的最好“禮物”！

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】endprint

數(shù)學(xué)，能夠賦予兒童什么？改變兒童什么？這個(gè)問(wèn)題，筆者一直在探尋。曾經(jīng)的認(rèn)識(shí)是，數(shù)學(xué)是人類(lèi)建構(gòu)的產(chǎn)物?！皩W(xué)習(xí)就是在作結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。”作為工具性學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)常常展現(xiàn)出其工具作用的一面：傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，讓兒童形成數(shù)學(xué)技能，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想，學(xué)生在知識(shí)體系、認(rèn)知能力、語(yǔ)言表達(dá)等“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”方面得到建立和發(fā)展。然而在《乘法分配律》的教學(xué)研討中，讓筆者又有了新的感悟：數(shù)學(xué)教學(xué)，在改變兒童的內(nèi)部世界（認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)識(shí)觀、價(jià)值觀等）的同時(shí)，也需要影響兒童的生活世界。

一、 常規(guī)教學(xué)及困惑

關(guān)于《乘法分配律》的教學(xué)，教師一般結(jié)合買(mǎi)服裝的例題，讓學(xué)生得出算式（65+45）×5=65×5+45×5，簡(jiǎn)單比較后，再讓學(xué)生舉例、交流，進(jìn)而借助多組算式的分析凸顯算式的特征和個(gè)中隱藏的規(guī)律，最后讓學(xué)生感悟和總結(jié)出“兩個(gè)數(shù)的和乘第三個(gè)數(shù)，可以把這兩個(gè)數(shù)分別乘第三個(gè)數(shù)，再把兩個(gè)積加起來(lái)”，并用符號(hào)和字母來(lái)表示，使乘法分配律的教學(xué)由圖象性表征過(guò)渡到符號(hào)性表征。

作為一種關(guān)系結(jié)構(gòu)，乘法分配律的兩邊是以不同數(shù)量的節(jié)點(diǎn)（具體的數(shù)或項(xiàng)）和聯(lián)線（運(yùn)算）組合而成。在特定的情境中，沒(méi)有其他關(guān)系或結(jié)構(gòu)的影響下，表示乘法分配律的關(guān)系結(jié)構(gòu)一般是相對(duì)穩(wěn)定的。但是如果受乘法交換律之類(lèi)的關(guān)系結(jié)構(gòu)的影響，由于兩個(gè)關(guān)系結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)的數(shù)量和聯(lián)結(jié)的方式比較相似，所以學(xué)生很容易將乘法分配律的關(guān)系結(jié)構(gòu)納入到乘法交換律的結(jié)構(gòu)中去，造成關(guān)系結(jié)構(gòu)的錯(cuò)亂和混淆。比如把（4×12）×25錯(cuò)誤地與4×25+12×25等同起來(lái)。而且時(shí)間間隔得越長(zhǎng)，學(xué)生在常規(guī)學(xué)習(xí)中獲得的一點(diǎn)點(diǎn)感悟，就會(huì)逐漸變得模糊起來(lái)，以致出現(xiàn)“張冠李戴”的錯(cuò)誤。

二、 教學(xué)改進(jìn)及思考

如何避免“感悟”式教學(xué)帶來(lái)的缺憾，幫助學(xué)生牢固而清晰地掌握乘法分配律，筆者進(jìn)行了下面的實(shí)踐探索。

改進(jìn)教學(xué)一：

1.出示問(wèn)題一：王大伯家有兩塊長(zhǎng)方形菜地，第一塊長(zhǎng)10米，寬6米；第二塊長(zhǎng)8米，寬6米。兩塊菜地共多少平方米？

學(xué)生列式，說(shuō)明兩種不同算法的意義。

師：這種先分別求出兩塊菜地的面積，再算出共有多少平方米的思路，老師把它稱(chēng)為分著算。既然有分著算，你肯定會(huì)聯(lián)想到什么算？怎樣合著算呢？

生：合著算，不知道。

課件動(dòng)畫(huà)演示兩個(gè)長(zhǎng)方形合并成一個(gè)長(zhǎng)方形的過(guò)程。如下圖1和圖2。

圖1 圖2

師：為什么能夠合成一個(gè)大長(zhǎng)方形？

生：因?yàn)閮蓚€(gè)長(zhǎng)方形的寬是相同的。

師：從圖中能看出兩種列式思路嗎？這兩種列式的結(jié)果怎樣？

學(xué)生回答。

板書(shū)：10×6+8×6=（10+8）×6

師：借助大長(zhǎng)方形咱們找到解決問(wèn)題的新思路，而且也能看出兩道算式的結(jié)果是相等的。

2.出示例題（已改為“問(wèn)題二”，如圖3）。

學(xué)生分析、列式，得出：（65+45）×25=65×25+45×25。

師：通過(guò)計(jì)算或根據(jù)算式的意義都能說(shuō)明兩邊的結(jié)果是相等的。不過(guò)，同學(xué)們有沒(méi)有想過(guò)，能不能結(jié)合剛才的長(zhǎng)方形來(lái)說(shuō)明兩種思路，判斷結(jié)果的大小呢？

依次出示圖4中的兩個(gè)長(zhǎng)方形。

師：老師這兒有兩個(gè)長(zhǎng)方形。第一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)45，寬是25，45×25算的是什么？長(zhǎng)方形的面積就可以表示45×25的積。那么65×25可以用一個(gè)怎樣的長(zhǎng)方形面積來(lái)表示呢？

生：用長(zhǎng)65、寬25的長(zhǎng)方形面積表示。

師：把這兩個(gè)積相加，求出兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積共是多少，這是分著算。能合著算嗎？把這兩個(gè)長(zhǎng)方形怎樣變化就能得到另一種思路啊？

生：合起來(lái)。

師：把什么重合？因?yàn)閮蓚€(gè)長(zhǎng)方形的寬是？

生：相等的。

師：合起來(lái)怎么算？65+45在哪兒？就是大長(zhǎng)方形的什么？25是什么？?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)方形的面積有沒(méi)有變？面積的和會(huì)不會(huì)變？所以兩道算式的結(jié)果？（出示圖5）

師：借助長(zhǎng)方形，不計(jì)算，咱們得到了兩種解題思路，都能看出結(jié)果是相等的。

……

教學(xué)改進(jìn)二：

練習(xí)環(huán)節(jié)，出示下圖：

窗戶 廣告牌

冰箱 地磚

師：生活中也有乘法分配律，你找到了嗎？

學(xué)生結(jié)合圖片中的圖形解釋乘法分配律。

如果把兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看成是一種教師伴隨的旅行，每天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看作是茫茫旅行中的一段。那么，兒童的學(xué)習(xí)行為可以看成是旅行中的行走方式，學(xué)生之于其中的“改變、豐富、發(fā)展”可以看作行走的“成效”，兩者的表現(xiàn)就成為教學(xué)效果的呈現(xiàn)方式。從上面的教學(xué)中我們可以看出，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅改變了兒童內(nèi)在的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且影響了兒童的數(shù)學(xué)行走方式和生活世界。

改變一：用模型思想觀照數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。一個(gè)概念，就是若干對(duì)象由某種特定關(guān)系結(jié)合組成的結(jié)構(gòu)。而且在學(xué)生的知識(shí)體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)概念和結(jié)構(gòu)常以符號(hào)、圖式、模型等方式存在于兒童的頭腦中?？梢?jiàn)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的效果取決于是否建立了有助于兒童數(shù)學(xué)理解的數(shù)學(xué)模型，和特定關(guān)系組成的結(jié)構(gòu)是否清晰、穩(wěn)固。如果教學(xué)方式不妥、教學(xué)手段單一，學(xué)生對(duì)概念的感知不夠深刻，很難準(zhǔn)確把握對(duì)象的本質(zhì)特征，建構(gòu)起清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在上面的教學(xué)中，筆者采用了幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的方式展開(kāi)教學(xué)，學(xué)生借助直觀的圖形演示，發(fā)現(xiàn)乘法分配律兩邊的特征，通過(guò)溝通知識(shí)間聯(lián)系的形式建立節(jié)點(diǎn)間的關(guān)系，借助符號(hào)和圖式等方式固化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并能長(zhǎng)時(shí)間地儲(chǔ)存在記憶中。

改變二：用數(shù)學(xué)感覺(jué)意識(shí)生活。認(rèn)知結(jié)構(gòu)除了有助于信息的存貯、記憶和操作處理外，還有促進(jìn)理解的功能。學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理、法則、性質(zhì)、規(guī)律，如果在心理上組織起適當(dāng)?shù)?、有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，就實(shí)現(xiàn)理解了?！俺朔ǚ峙渎伞钡膶W(xué)習(xí)的混淆與運(yùn)用的偏差，本質(zhì)上說(shuō)就是學(xué)生沒(méi)有理解這一運(yùn)算規(guī)律。上述教學(xué)中，學(xué)生之所以能深刻地掌握乘法分配律，是因?yàn)楣P者并沒(méi)有將教學(xué)停止于幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，也沒(méi)有局限在單一的書(shū)本練習(xí)，而是在運(yùn)用中，適時(shí)地讓學(xué)生反復(fù)再現(xiàn)能夠表示乘法分配律的模型，并結(jié)合生活中窗子、冰箱、和指示牌上的圖案，讓學(xué)生感悟生活中的“乘法分配律”。這樣，就可以刺激學(xué)生有意識(shí)地從眾多的生活對(duì)象中尋找數(shù)學(xué)規(guī)律，以致能夠自覺(jué)地運(yùn)用個(gè)體數(shù)學(xué)感覺(jué)來(lái)意識(shí)生活中的事物。試想，有了這樣的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生還會(huì)把乘法分配律與其他規(guī)律混淆嗎？還不會(huì)運(yùn)用規(guī)律正確解決問(wèn)題嗎？

豐富了兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也影響兒童的生活世界！這不僅是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的至高追求，更應(yīng)該是數(shù)學(xué)饋贈(zèng)給兒童的最好“禮物”！

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】endprint

數(shù)學(xué)，能夠賦予兒童什么？改變兒童什么？這個(gè)問(wèn)題，筆者一直在探尋。曾經(jīng)的認(rèn)識(shí)是，數(shù)學(xué)是人類(lèi)建構(gòu)的產(chǎn)物?！皩W(xué)習(xí)就是在作結(jié)構(gòu)的建構(gòu)?！弊鳛楣ぞ咝詫W(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)常常展現(xiàn)出其工具作用的一面：傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，讓兒童形成數(shù)學(xué)技能，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想，學(xué)生在知識(shí)體系、認(rèn)知能力、語(yǔ)言表達(dá)等“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”方面得到建立和發(fā)展。然而在《乘法分配律》的教學(xué)研討中，讓筆者又有了新的感悟：數(shù)學(xué)教學(xué)，在改變兒童的內(nèi)部世界（認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)識(shí)觀、價(jià)值觀等）的同時(shí)，也需要影響兒童的生活世界。

一、 常規(guī)教學(xué)及困惑

關(guān)于《乘法分配律》的教學(xué)，教師一般結(jié)合買(mǎi)服裝的例題，讓學(xué)生得出算式（65+45）×5=65×5+45×5，簡(jiǎn)單比較后，再讓學(xué)生舉例、交流，進(jìn)而借助多組算式的分析凸顯算式的特征和個(gè)中隱藏的規(guī)律，最后讓學(xué)生感悟和總結(jié)出“兩個(gè)數(shù)的和乘第三個(gè)數(shù)，可以把這兩個(gè)數(shù)分別乘第三個(gè)數(shù)，再把兩個(gè)積加起來(lái)”，并用符號(hào)和字母來(lái)表示，使乘法分配律的教學(xué)由圖象性表征過(guò)渡到符號(hào)性表征。

作為一種關(guān)系結(jié)構(gòu)，乘法分配律的兩邊是以不同數(shù)量的節(jié)點(diǎn)（具體的數(shù)或項(xiàng)）和聯(lián)線（運(yùn)算）組合而成。在特定的情境中，沒(méi)有其他關(guān)系或結(jié)構(gòu)的影響下，表示乘法分配律的關(guān)系結(jié)構(gòu)一般是相對(duì)穩(wěn)定的。但是如果受乘法交換律之類(lèi)的關(guān)系結(jié)構(gòu)的影響，由于兩個(gè)關(guān)系結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)的數(shù)量和聯(lián)結(jié)的方式比較相似，所以學(xué)生很容易將乘法分配律的關(guān)系結(jié)構(gòu)納入到乘法交換律的結(jié)構(gòu)中去，造成關(guān)系結(jié)構(gòu)的錯(cuò)亂和混淆。比如把（4×12）×25錯(cuò)誤地與4×25+12×25等同起來(lái)。而且時(shí)間間隔得越長(zhǎng)，學(xué)生在常規(guī)學(xué)習(xí)中獲得的一點(diǎn)點(diǎn)感悟，就會(huì)逐漸變得模糊起來(lái)，以致出現(xiàn)“張冠李戴”的錯(cuò)誤。

二、 教學(xué)改進(jìn)及思考

如何避免“感悟”式教學(xué)帶來(lái)的缺憾，幫助學(xué)生牢固而清晰地掌握乘法分配律，筆者進(jìn)行了下面的實(shí)踐探索。

改進(jìn)教學(xué)一：

1.出示問(wèn)題一：王大伯家有兩塊長(zhǎng)方形菜地，第一塊長(zhǎng)10米，寬6米；第二塊長(zhǎng)8米，寬6米。兩塊菜地共多少平方米？

學(xué)生列式，說(shuō)明兩種不同算法的意義。

師：這種先分別求出兩塊菜地的面積，再算出共有多少平方米的思路，老師把它稱(chēng)為分著算。既然有分著算，你肯定會(huì)聯(lián)想到什么算？怎樣合著算呢？

生：合著算，不知道。

課件動(dòng)畫(huà)演示兩個(gè)長(zhǎng)方形合并成一個(gè)長(zhǎng)方形的過(guò)程。如下圖1和圖2。

圖1 圖2

師：為什么能夠合成一個(gè)大長(zhǎng)方形？

生：因?yàn)閮蓚€(gè)長(zhǎng)方形的寬是相同的。

師：從圖中能看出兩種列式思路嗎？這兩種列式的結(jié)果怎樣？

學(xué)生回答。

板書(shū)：10×6+8×6=（10+8）×6

師：借助大長(zhǎng)方形咱們找到解決問(wèn)題的新思路，而且也能看出兩道算式的結(jié)果是相等的。

2.出示例題（已改為“問(wèn)題二”，如圖3）。

學(xué)生分析、列式，得出：（65+45）×25=65×25+45×25。

師：通過(guò)計(jì)算或根據(jù)算式的意義都能說(shuō)明兩邊的結(jié)果是相等的。不過(guò)，同學(xué)們有沒(méi)有想過(guò)，能不能結(jié)合剛才的長(zhǎng)方形來(lái)說(shuō)明兩種思路，判斷結(jié)果的大小呢？

依次出示圖4中的兩個(gè)長(zhǎng)方形。

師：老師這兒有兩個(gè)長(zhǎng)方形。第一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)45，寬是25，45×25算的是什么？長(zhǎng)方形的面積就可以表示45×25的積。那么65×25可以用一個(gè)怎樣的長(zhǎng)方形面積來(lái)表示呢？

生：用長(zhǎng)65、寬25的長(zhǎng)方形面積表示。

師：把這兩個(gè)積相加，求出兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積共是多少，這是分著算。能合著算嗎？把這兩個(gè)長(zhǎng)方形怎樣變化就能得到另一種思路?。?/p>

生：合起來(lái)。

師：把什么重合？因?yàn)閮蓚€(gè)長(zhǎng)方形的寬是？

生：相等的。

師：合起來(lái)怎么算？65+45在哪兒？就是大長(zhǎng)方形的什么？25是什么？?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)方形的面積有沒(méi)有變？面積的和會(huì)不會(huì)變？所以兩道算式的結(jié)果？（出示圖5）

師：借助長(zhǎng)方形，不計(jì)算，咱們得到了兩種解題思路，都能看出結(jié)果是相等的。

……

教學(xué)改進(jìn)二：

練習(xí)環(huán)節(jié)，出示下圖：

窗戶 廣告牌

冰箱 地磚

師：生活中也有乘法分配律，你找到了嗎？

學(xué)生結(jié)合圖片中的圖形解釋乘法分配律。

如果把兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看成是一種教師伴隨的旅行，每天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看作是茫茫旅行中的一段。那么，兒童的學(xué)習(xí)行為可以看成是旅行中的行走方式，學(xué)生之于其中的“改變、豐富、發(fā)展”可以看作行走的“成效”，兩者的表現(xiàn)就成為教學(xué)效果的呈現(xiàn)方式。從上面的教學(xué)中我們可以看出，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅改變了兒童內(nèi)在的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且影響了兒童的數(shù)學(xué)行走方式和生活世界。

改變一：用模型思想觀照數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。一個(gè)概念，就是若干對(duì)象由某種特定關(guān)系結(jié)合組成的結(jié)構(gòu)。而且在學(xué)生的知識(shí)體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)概念和結(jié)構(gòu)常以符號(hào)、圖式、模型等方式存在于兒童的頭腦中?？梢?jiàn)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的效果取決于是否建立了有助于兒童數(shù)學(xué)理解的數(shù)學(xué)模型，和特定關(guān)系組成的結(jié)構(gòu)是否清晰、穩(wěn)固。如果教學(xué)方式不妥、教學(xué)手段單一，學(xué)生對(duì)概念的感知不夠深刻，很難準(zhǔn)確把握對(duì)象的本質(zhì)特征，建構(gòu)起清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在上面的教學(xué)中，筆者采用了幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的方式展開(kāi)教學(xué)，學(xué)生借助直觀的圖形演示，發(fā)現(xiàn)乘法分配律兩邊的特征，通過(guò)溝通知識(shí)間聯(lián)系的形式建立節(jié)點(diǎn)間的關(guān)系，借助符號(hào)和圖式等方式固化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并能長(zhǎng)時(shí)間地儲(chǔ)存在記憶中。

改變二：用數(shù)學(xué)感覺(jué)意識(shí)生活。認(rèn)知結(jié)構(gòu)除了有助于信息的存貯、記憶和操作處理外，還有促進(jìn)理解的功能。學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理、法則、性質(zhì)、規(guī)律，如果在心理上組織起適當(dāng)?shù)?、有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，就實(shí)現(xiàn)理解了?！俺朔ǚ峙渎伞钡膶W(xué)習(xí)的混淆與運(yùn)用的偏差，本質(zhì)上說(shuō)就是學(xué)生沒(méi)有理解這一運(yùn)算規(guī)律。上述教學(xué)中，學(xué)生之所以能深刻地掌握乘法分配律，是因?yàn)楣P者并沒(méi)有將教學(xué)停止于幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，也沒(méi)有局限在單一的書(shū)本練習(xí)，而是在運(yùn)用中，適時(shí)地讓學(xué)生反復(fù)再現(xiàn)能夠表示乘法分配律的模型，并結(jié)合生活中窗子、冰箱、和指示牌上的圖案，讓學(xué)生感悟生活中的“乘法分配律”。這樣，就可以刺激學(xué)生有意識(shí)地從眾多的生活對(duì)象中尋找數(shù)學(xué)規(guī)律，以致能夠自覺(jué)地運(yùn)用個(gè)體數(shù)學(xué)感覺(jué)來(lái)意識(shí)生活中的事物。試想，有了這樣的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生還會(huì)把乘法分配律與其他規(guī)律混淆嗎？還不會(huì)運(yùn)用規(guī)律正確解決問(wèn)題嗎？

豐富了兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也影響兒童的生活世界！這不僅是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的至高追求，更應(yīng)該是數(shù)學(xué)饋贈(zèng)給兒童的最好“禮物”！

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】endprint