劉久勝

最近，在揚(yáng)州市范圍內(nèi)舉辦了一次公開教學(xué)活動，課題是“柱錐臺的表面積”，它是蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修2第一章內(nèi)容。教材沒有像以往那樣重公式的推導(dǎo)，而是側(cè)重介紹推導(dǎo)的思想方法，即立體幾何問題平面化思想、類比思想等。

課后幾位同行結(jié)合課堂實際提出了如下問題：在強(qiáng)調(diào)直棱柱側(cè)面積公式不適用斜棱柱時，有學(xué)生提出斜棱柱側(cè)面積如何計算，教者為何不再深究？圓臺側(cè)面積公式S=■（c+c′）Ｌ＝π（r+r′）l是教學(xué)時類比棱臺得到的，未作嚴(yán)格的證明，為什么學(xué)生沒有質(zhì)疑？等等。歸納起來意見集中在一點(diǎn)：課堂沒有鼓勵質(zhì)疑的精神。

其實，上述問題在課堂教學(xué)中教者是有意識地作了回避?？赡苁腔谝韵聨c(diǎn)考慮：一是現(xiàn)行教材中已刪去斜棱柱側(cè)面積的內(nèi)容，對學(xué)生的學(xué)習(xí)不作要求。二是公式推導(dǎo)并非教學(xué)重點(diǎn)，圓臺側(cè)面積公式的推導(dǎo)也就被省略了。三是從教學(xué)時間安排上不能顧及。“幾何體側(cè)面展開圖”的教學(xué)僅1個課時，沒辦法在實際教學(xué)中既關(guān)注難點(diǎn)又關(guān)注考點(diǎn)。

盡管如此，對這節(jié)公開課指出的問題令人深思。我們又該如何改進(jìn)這節(jié)課的教學(xué)？結(jié)合本人教學(xué)實踐嘗試，筆者提出，把“柱錐臺的側(cè)面積”作為探究性課題，并認(rèn)為只有把它作為探究教學(xué)的案例來組織教學(xué)活動，才能把本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)引向深入。

【重構(gòu)及說明】

整個教學(xué)活動過程可以設(shè)計為：首先教師圍繞本課題設(shè)計好要探究的問題，然后由學(xué)生進(jìn)行自主探究，寫出課題研究報告，教師收閱后，再選擇對象組織課堂交流。

1.回答“柱錐臺的側(cè)面積如何計算？”，并提出解決問題的方法建議。

按照平面化思想方法，將上述幾何體展開成平面圖形，再通過平面圖形面積計算得出，并建議列出結(jié)果。要求對多面體從棱柱、棱錐、棱臺中的特殊情形入手。如圖１所示。

S直棱柱側(cè)=ch

S正棱錐側(cè)=■ch′

S正棱臺側(cè)=■（c+c′）h′

類比可得出旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式：

S圓柱側(cè)＝2πrl

S圓錐側(cè)=πrl

S圓臺側(cè)=π（r+r′）l

2.由柱、錐、臺三種幾何體的內(nèi)在關(guān)系，說明側(cè)面積計算有怎樣的統(tǒng)一性？

正棱錐可以看成正棱臺上底面收縮為一點(diǎn)的情形，直棱柱可以看成正棱臺上底面擴(kuò)展為下底面的情形。故棱臺側(cè)面積公式中c′=0，c′＝c時，即為正棱錐、直棱柱側(cè)面積。

3.延伸探究問題：

（1）斜棱柱的側(cè)面積展開圖是怎樣的？如何計算側(cè)面積？

（2）圓臺側(cè)面積公式S=■（c+c′）Ｌ＝ π（r+r′）l，如何證明？

（3）圓錐、圓臺展開圖中的圓心角與哪些量有關(guān)？

（4）你自己想到的其他問題。

問題（1）教材中未涉及，但解決此問題有助于學(xué)生對棱柱側(cè)面積計算有完整的認(rèn)識。問題（2）關(guān)于圓臺的側(cè)面積公式，教材中是類比棱臺得到的，在章節(jié)后的鏈接中給出了推導(dǎo)?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生研讀教材，參閱資料。問題（3）是傳統(tǒng)教材中給出的結(jié)論。如圖２所示。

圓錐側(cè)面展開圖扇形圓心角?夼＝■·３６０°，圓臺側(cè)面展開圖扇環(huán)圓心角?夼＝■·３６０°，其中r、r′是底面半徑，l是母線長。以上在新課程教材中未出現(xiàn)，但是作為訓(xùn)練學(xué)生探究能力的素材是十分理想的。

筆者以上述問題為探究內(nèi)容布置給學(xué)生，一周后學(xué)生提交的報告內(nèi)容豐富，想法很多。首先，對斜棱柱側(cè)面積公式、圓臺側(cè)面積公式都能給出完整的推導(dǎo)過程。其次，學(xué)生的研究報告中還提到旋轉(zhuǎn)體中球的表面積，由于不能展開成一平面圖形，平面化思想方法已經(jīng)行不通，需要“積分”思想，將球體分割成一個個“準(zhǔn)錐體”來推導(dǎo)球面面積。還有學(xué)生干脆圍繞本節(jié)內(nèi)容，收集了一些有趣的問題，向同學(xué)進(jìn)行問題征解。這些都給我們的課堂教學(xué)增添了許多鮮活的素材。

在課堂交流環(huán)節(jié)中，一方面要重視上述探究問題的討論，拓寬學(xué)生視野，提高研究問題的深度和廣度。另一方面我們要重視對一些基本概念的辨析、基本問題的解決方法的學(xué)習(xí)和討論。在直棱柱、正棱錐學(xué)習(xí)過程中，設(shè)計一些概念辨析問題，如比較正方體與正四棱柱、正三棱錐與正四面體的異同等。在常見的側(cè)面積計算問題中，結(jié)合具體問題，讓學(xué)生學(xué)會從高、斜高、側(cè)棱長、底面正多邊形邊長（邊心距、外接圓半徑）中的一些量來推算其他量。還有幾何體表面兩點(diǎn)最短距離問題，讓學(xué)生學(xué)會用平面化思想方法來解決。這些重點(diǎn)內(nèi)容在探究性課題的課堂交流環(huán)節(jié)需要統(tǒng)籌考慮。

筆者在選擇“柱錐臺側(cè)面積”作為探究課題，按照上述幾個環(huán)節(jié)組織探究教學(xué)活動后，課堂面貌發(fā)生了很大變化：學(xué)生一改以前被動學(xué)習(xí)的狀態(tài)，課上積極主動發(fā)問，學(xué)習(xí)討論的內(nèi)容更加豐富、深刻，超出了我們教學(xué)的預(yù)期。

【啟發(fā)與思考】

缺乏質(zhì)疑和創(chuàng)新精神的課堂，倒逼我們要加強(qiáng)數(shù)學(xué)探究教學(xué)。學(xué)生的獨(dú)立思考和勇于質(zhì)疑的習(xí)慣、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的頑強(qiáng)精神，是開展數(shù)學(xué)探究教學(xué)的價值取向。課程標(biāo)準(zhǔn)指出，高中階段至少應(yīng)為學(xué)生安排一次數(shù)學(xué)探究活動，雖然數(shù)學(xué)探究的課時和內(nèi)容未作具體安排，但是數(shù)學(xué)探究活動是剛性要求。因此，教師要努力成為數(shù)學(xué)探究課題的創(chuàng)造者，就需要有比較開闊的數(shù)學(xué)視野，了解與中學(xué)數(shù)學(xué)知識有關(guān)的擴(kuò)展知識和內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想，并認(rèn)真思考其中的一些問題，加深對數(shù)學(xué)的理解，提高數(shù)學(xué)能力，為指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究做好充分準(zhǔn)備，并積累指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的資源。

如何確立數(shù)學(xué)探究的課題？筆者提出如下兩個路徑供參考。

一是從課本教學(xué)內(nèi)容中選擇探究課題。這樣的課題既能照顧到基礎(chǔ)教學(xué)，又能拓寬學(xué)生的視野。實踐中選取探究性問題，需要教者的智慧也需要觀念的更新。就本節(jié)內(nèi)容而言，在筆者組織探究性課題教學(xué)后，還有教師提出質(zhì)疑，斜棱柱側(cè)面積和圓臺側(cè)面積公式推導(dǎo)是傳統(tǒng)教材中繁難的內(nèi)容，已刪去，在教學(xué)中花時間是否妥當(dāng)？教材及考試說明是開展教學(xué)的依據(jù)。乍一聽很有道理，但細(xì)細(xì)品味，卻很不妥。因為新課程理念提出：用教材教而不是教教材。參考不同版本教材，設(shè)計出適合學(xué)生探究的課題，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力，這才是新課程教學(xué)的真正要求。

二是從課堂上學(xué)生提出的有意義的問題和見解中捕捉探究課題。例如教學(xué)“點(diǎn)到直線距離”一課，除了課本介紹的“求點(diǎn)到直線距離的方法”，即求出垂線交點(diǎn)，用兩點(diǎn)距離求解。教學(xué)實踐中有學(xué)生提出用等積法來計算距離。還有學(xué)生用兩點(diǎn)距離建立函數(shù)，通過求函數(shù)最小值來計算距離。把這些不同解法，用問題串聯(lián)起來，我們就可以用“點(diǎn)到直線距離”作為探究課題，組織探究教學(xué)活動。因此平時要重視課堂上生成的問題資源，并加以收集、匯總、提煉，許多有意義的探究性課題就蘊(yùn)藏其中。■

（作者單位：江蘇省高郵中學(xué)）

endprint

最近，在揚(yáng)州市范圍內(nèi)舉辦了一次公開教學(xué)活動，課題是“柱錐臺的表面積”，它是蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修2第一章內(nèi)容。教材沒有像以往那樣重公式的推導(dǎo)，而是側(cè)重介紹推導(dǎo)的思想方法，即立體幾何問題平面化思想、類比思想等。

課后幾位同行結(jié)合課堂實際提出了如下問題：在強(qiáng)調(diào)直棱柱側(cè)面積公式不適用斜棱柱時，有學(xué)生提出斜棱柱側(cè)面積如何計算，教者為何不再深究？圓臺側(cè)面積公式S=■（c+c′）Ｌ＝π（r+r′）l是教學(xué)時類比棱臺得到的，未作嚴(yán)格的證明，為什么學(xué)生沒有質(zhì)疑？等等。歸納起來意見集中在一點(diǎn)：課堂沒有鼓勵質(zhì)疑的精神。

其實，上述問題在課堂教學(xué)中教者是有意識地作了回避。可能是基于以下幾點(diǎn)考慮：一是現(xiàn)行教材中已刪去斜棱柱側(cè)面積的內(nèi)容，對學(xué)生的學(xué)習(xí)不作要求。二是公式推導(dǎo)并非教學(xué)重點(diǎn)，圓臺側(cè)面積公式的推導(dǎo)也就被省略了。三是從教學(xué)時間安排上不能顧及。“幾何體側(cè)面展開圖”的教學(xué)僅1個課時，沒辦法在實際教學(xué)中既關(guān)注難點(diǎn)又關(guān)注考點(diǎn)。

盡管如此，對這節(jié)公開課指出的問題令人深思。我們又該如何改進(jìn)這節(jié)課的教學(xué)？結(jié)合本人教學(xué)實踐嘗試，筆者提出，把“柱錐臺的側(cè)面積”作為探究性課題，并認(rèn)為只有把它作為探究教學(xué)的案例來組織教學(xué)活動，才能把本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)引向深入。

【重構(gòu)及說明】

整個教學(xué)活動過程可以設(shè)計為：首先教師圍繞本課題設(shè)計好要探究的問題，然后由學(xué)生進(jìn)行自主探究，寫出課題研究報告，教師收閱后，再選擇對象組織課堂交流。

1.回答“柱錐臺的側(cè)面積如何計算？”，并提出解決問題的方法建議。

按照平面化思想方法，將上述幾何體展開成平面圖形，再通過平面圖形面積計算得出，并建議列出結(jié)果。要求對多面體從棱柱、棱錐、棱臺中的特殊情形入手。如圖１所示。

S直棱柱側(cè)=ch

S正棱錐側(cè)=■ch′

S正棱臺側(cè)=■（c+c′）h′

類比可得出旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式：

S圓柱側(cè)＝2πrl

S圓錐側(cè)=πrl

S圓臺側(cè)=π（r+r′）l

2.由柱、錐、臺三種幾何體的內(nèi)在關(guān)系，說明側(cè)面積計算有怎樣的統(tǒng)一性？

正棱錐可以看成正棱臺上底面收縮為一點(diǎn)的情形，直棱柱可以看成正棱臺上底面擴(kuò)展為下底面的情形。故棱臺側(cè)面積公式中c′=0，c′＝c時，即為正棱錐、直棱柱側(cè)面積。

3.延伸探究問題：

（1）斜棱柱的側(cè)面積展開圖是怎樣的？如何計算側(cè)面積？

（2）圓臺側(cè)面積公式S=■（c+c′）Ｌ＝ π（r+r′）l，如何證明？

（3）圓錐、圓臺展開圖中的圓心角與哪些量有關(guān)？

（4）你自己想到的其他問題。

問題（1）教材中未涉及，但解決此問題有助于學(xué)生對棱柱側(cè)面積計算有完整的認(rèn)識。問題（2）關(guān)于圓臺的側(cè)面積公式，教材中是類比棱臺得到的，在章節(jié)后的鏈接中給出了推導(dǎo)?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生研讀教材，參閱資料。問題（3）是傳統(tǒng)教材中給出的結(jié)論。如圖２所示。

圓錐側(cè)面展開圖扇形圓心角?夼＝■·３６０°，圓臺側(cè)面展開圖扇環(huán)圓心角?夼＝■·３６０°，其中r、r′是底面半徑，l是母線長。以上在新課程教材中未出現(xiàn)，但是作為訓(xùn)練學(xué)生探究能力的素材是十分理想的。

筆者以上述問題為探究內(nèi)容布置給學(xué)生，一周后學(xué)生提交的報告內(nèi)容豐富，想法很多。首先，對斜棱柱側(cè)面積公式、圓臺側(cè)面積公式都能給出完整的推導(dǎo)過程。其次，學(xué)生的研究報告中還提到旋轉(zhuǎn)體中球的表面積，由于不能展開成一平面圖形，平面化思想方法已經(jīng)行不通，需要“積分”思想，將球體分割成一個個“準(zhǔn)錐體”來推導(dǎo)球面面積。還有學(xué)生干脆圍繞本節(jié)內(nèi)容，收集了一些有趣的問題，向同學(xué)進(jìn)行問題征解。這些都給我們的課堂教學(xué)增添了許多鮮活的素材。

在課堂交流環(huán)節(jié)中，一方面要重視上述探究問題的討論，拓寬學(xué)生視野，提高研究問題的深度和廣度。另一方面我們要重視對一些基本概念的辨析、基本問題的解決方法的學(xué)習(xí)和討論。在直棱柱、正棱錐學(xué)習(xí)過程中，設(shè)計一些概念辨析問題，如比較正方體與正四棱柱、正三棱錐與正四面體的異同等。在常見的側(cè)面積計算問題中，結(jié)合具體問題，讓學(xué)生學(xué)會從高、斜高、側(cè)棱長、底面正多邊形邊長（邊心距、外接圓半徑）中的一些量來推算其他量。還有幾何體表面兩點(diǎn)最短距離問題，讓學(xué)生學(xué)會用平面化思想方法來解決。這些重點(diǎn)內(nèi)容在探究性課題的課堂交流環(huán)節(jié)需要統(tǒng)籌考慮。

筆者在選擇“柱錐臺側(cè)面積”作為探究課題，按照上述幾個環(huán)節(jié)組織探究教學(xué)活動后，課堂面貌發(fā)生了很大變化：學(xué)生一改以前被動學(xué)習(xí)的狀態(tài)，課上積極主動發(fā)問，學(xué)習(xí)討論的內(nèi)容更加豐富、深刻，超出了我們教學(xué)的預(yù)期。

【啟發(fā)與思考】

缺乏質(zhì)疑和創(chuàng)新精神的課堂，倒逼我們要加強(qiáng)數(shù)學(xué)探究教學(xué)。學(xué)生的獨(dú)立思考和勇于質(zhì)疑的習(xí)慣、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的頑強(qiáng)精神，是開展數(shù)學(xué)探究教學(xué)的價值取向。課程標(biāo)準(zhǔn)指出，高中階段至少應(yīng)為學(xué)生安排一次數(shù)學(xué)探究活動，雖然數(shù)學(xué)探究的課時和內(nèi)容未作具體安排，但是數(shù)學(xué)探究活動是剛性要求。因此，教師要努力成為數(shù)學(xué)探究課題的創(chuàng)造者，就需要有比較開闊的數(shù)學(xué)視野，了解與中學(xué)數(shù)學(xué)知識有關(guān)的擴(kuò)展知識和內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想，并認(rèn)真思考其中的一些問題，加深對數(shù)學(xué)的理解，提高數(shù)學(xué)能力，為指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究做好充分準(zhǔn)備，并積累指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的資源。

如何確立數(shù)學(xué)探究的課題？筆者提出如下兩個路徑供參考。

一是從課本教學(xué)內(nèi)容中選擇探究課題。這樣的課題既能照顧到基礎(chǔ)教學(xué)，又能拓寬學(xué)生的視野。實踐中選取探究性問題，需要教者的智慧也需要觀念的更新。就本節(jié)內(nèi)容而言，在筆者組織探究性課題教學(xué)后，還有教師提出質(zhì)疑，斜棱柱側(cè)面積和圓臺側(cè)面積公式推導(dǎo)是傳統(tǒng)教材中繁難的內(nèi)容，已刪去，在教學(xué)中花時間是否妥當(dāng)？教材及考試說明是開展教學(xué)的依據(jù)。乍一聽很有道理，但細(xì)細(xì)品味，卻很不妥。因為新課程理念提出：用教材教而不是教教材。參考不同版本教材，設(shè)計出適合學(xué)生探究的課題，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力，這才是新課程教學(xué)的真正要求。

二是從課堂上學(xué)生提出的有意義的問題和見解中捕捉探究課題。例如教學(xué)“點(diǎn)到直線距離”一課，除了課本介紹的“求點(diǎn)到直線距離的方法”，即求出垂線交點(diǎn)，用兩點(diǎn)距離求解。教學(xué)實踐中有學(xué)生提出用等積法來計算距離。還有學(xué)生用兩點(diǎn)距離建立函數(shù)，通過求函數(shù)最小值來計算距離。把這些不同解法，用問題串聯(lián)起來，我們就可以用“點(diǎn)到直線距離”作為探究課題，組織探究教學(xué)活動。因此平時要重視課堂上生成的問題資源，并加以收集、匯總、提煉，許多有意義的探究性課題就蘊(yùn)藏其中?！?/p>

（作者單位：江蘇省高郵中學(xué)）

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最近，在揚(yáng)州市范圍內(nèi)舉辦了一次公開教學(xué)活動，課題是“柱錐臺的表面積”，它是蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修2第一章內(nèi)容。教材沒有像以往那樣重公式的推導(dǎo)，而是側(cè)重介紹推導(dǎo)的思想方法，即立體幾何問題平面化思想、類比思想等。

課后幾位同行結(jié)合課堂實際提出了如下問題：在強(qiáng)調(diào)直棱柱側(cè)面積公式不適用斜棱柱時，有學(xué)生提出斜棱柱側(cè)面積如何計算，教者為何不再深究？圓臺側(cè)面積公式S=■（c+c′）Ｌ＝π（r+r′）l是教學(xué)時類比棱臺得到的，未作嚴(yán)格的證明，為什么學(xué)生沒有質(zhì)疑？等等。歸納起來意見集中在一點(diǎn)：課堂沒有鼓勵質(zhì)疑的精神。

其實，上述問題在課堂教學(xué)中教者是有意識地作了回避?？赡苁腔谝韵聨c(diǎn)考慮：一是現(xiàn)行教材中已刪去斜棱柱側(cè)面積的內(nèi)容，對學(xué)生的學(xué)習(xí)不作要求。二是公式推導(dǎo)并非教學(xué)重點(diǎn)，圓臺側(cè)面積公式的推導(dǎo)也就被省略了。三是從教學(xué)時間安排上不能顧及。“幾何體側(cè)面展開圖”的教學(xué)僅1個課時，沒辦法在實際教學(xué)中既關(guān)注難點(diǎn)又關(guān)注考點(diǎn)。

盡管如此，對這節(jié)公開課指出的問題令人深思。我們又該如何改進(jìn)這節(jié)課的教學(xué)？結(jié)合本人教學(xué)實踐嘗試，筆者提出，把“柱錐臺的側(cè)面積”作為探究性課題，并認(rèn)為只有把它作為探究教學(xué)的案例來組織教學(xué)活動，才能把本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)引向深入。

【重構(gòu)及說明】

整個教學(xué)活動過程可以設(shè)計為：首先教師圍繞本課題設(shè)計好要探究的問題，然后由學(xué)生進(jìn)行自主探究，寫出課題研究報告，教師收閱后，再選擇對象組織課堂交流。

1.回答“柱錐臺的側(cè)面積如何計算？”，并提出解決問題的方法建議。

按照平面化思想方法，將上述幾何體展開成平面圖形，再通過平面圖形面積計算得出，并建議列出結(jié)果。要求對多面體從棱柱、棱錐、棱臺中的特殊情形入手。如圖１所示。

S直棱柱側(cè)=ch

S正棱錐側(cè)=■ch′

S正棱臺側(cè)=■（c+c′）h′

類比可得出旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式：

S圓柱側(cè)＝2πrl

S圓錐側(cè)=πrl

S圓臺側(cè)=π（r+r′）l

2.由柱、錐、臺三種幾何體的內(nèi)在關(guān)系，說明側(cè)面積計算有怎樣的統(tǒng)一性？

正棱錐可以看成正棱臺上底面收縮為一點(diǎn)的情形，直棱柱可以看成正棱臺上底面擴(kuò)展為下底面的情形。故棱臺側(cè)面積公式中c′=0，c′＝c時，即為正棱錐、直棱柱側(cè)面積。

3.延伸探究問題：

（1）斜棱柱的側(cè)面積展開圖是怎樣的？如何計算側(cè)面積？

（2）圓臺側(cè)面積公式S=■（c+c′）Ｌ＝ π（r+r′）l，如何證明？

（3）圓錐、圓臺展開圖中的圓心角與哪些量有關(guān)？

（4）你自己想到的其他問題。

問題（1）教材中未涉及，但解決此問題有助于學(xué)生對棱柱側(cè)面積計算有完整的認(rèn)識。問題（2）關(guān)于圓臺的側(cè)面積公式，教材中是類比棱臺得到的，在章節(jié)后的鏈接中給出了推導(dǎo)。可以引導(dǎo)學(xué)生研讀教材，參閱資料。問題（3）是傳統(tǒng)教材中給出的結(jié)論。如圖２所示。

圓錐側(cè)面展開圖扇形圓心角?夼＝■·３６０°，圓臺側(cè)面展開圖扇環(huán)圓心角?夼＝■·３６０°，其中r、r′是底面半徑，l是母線長。以上在新課程教材中未出現(xiàn)，但是作為訓(xùn)練學(xué)生探究能力的素材是十分理想的。

筆者以上述問題為探究內(nèi)容布置給學(xué)生，一周后學(xué)生提交的報告內(nèi)容豐富，想法很多。首先，對斜棱柱側(cè)面積公式、圓臺側(cè)面積公式都能給出完整的推導(dǎo)過程。其次，學(xué)生的研究報告中還提到旋轉(zhuǎn)體中球的表面積，由于不能展開成一平面圖形，平面化思想方法已經(jīng)行不通，需要“積分”思想，將球體分割成一個個“準(zhǔn)錐體”來推導(dǎo)球面面積。還有學(xué)生干脆圍繞本節(jié)內(nèi)容，收集了一些有趣的問題，向同學(xué)進(jìn)行問題征解。這些都給我們的課堂教學(xué)增添了許多鮮活的素材。

在課堂交流環(huán)節(jié)中，一方面要重視上述探究問題的討論，拓寬學(xué)生視野，提高研究問題的深度和廣度。另一方面我們要重視對一些基本概念的辨析、基本問題的解決方法的學(xué)習(xí)和討論。在直棱柱、正棱錐學(xué)習(xí)過程中，設(shè)計一些概念辨析問題，如比較正方體與正四棱柱、正三棱錐與正四面體的異同等。在常見的側(cè)面積計算問題中，結(jié)合具體問題，讓學(xué)生學(xué)會從高、斜高、側(cè)棱長、底面正多邊形邊長（邊心距、外接圓半徑）中的一些量來推算其他量。還有幾何體表面兩點(diǎn)最短距離問題，讓學(xué)生學(xué)會用平面化思想方法來解決。這些重點(diǎn)內(nèi)容在探究性課題的課堂交流環(huán)節(jié)需要統(tǒng)籌考慮。

筆者在選擇“柱錐臺側(cè)面積”作為探究課題，按照上述幾個環(huán)節(jié)組織探究教學(xué)活動后，課堂面貌發(fā)生了很大變化：學(xué)生一改以前被動學(xué)習(xí)的狀態(tài)，課上積極主動發(fā)問，學(xué)習(xí)討論的內(nèi)容更加豐富、深刻，超出了我們教學(xué)的預(yù)期。

【啟發(fā)與思考】

缺乏質(zhì)疑和創(chuàng)新精神的課堂，倒逼我們要加強(qiáng)數(shù)學(xué)探究教學(xué)。學(xué)生的獨(dú)立思考和勇于質(zhì)疑的習(xí)慣、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的頑強(qiáng)精神，是開展數(shù)學(xué)探究教學(xué)的價值取向。課程標(biāo)準(zhǔn)指出，高中階段至少應(yīng)為學(xué)生安排一次數(shù)學(xué)探究活動，雖然數(shù)學(xué)探究的課時和內(nèi)容未作具體安排，但是數(shù)學(xué)探究活動是剛性要求。因此，教師要努力成為數(shù)學(xué)探究課題的創(chuàng)造者，就需要有比較開闊的數(shù)學(xué)視野，了解與中學(xué)數(shù)學(xué)知識有關(guān)的擴(kuò)展知識和內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想，并認(rèn)真思考其中的一些問題，加深對數(shù)學(xué)的理解，提高數(shù)學(xué)能力，為指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究做好充分準(zhǔn)備，并積累指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的資源。

如何確立數(shù)學(xué)探究的課題？筆者提出如下兩個路徑供參考。

一是從課本教學(xué)內(nèi)容中選擇探究課題。這樣的課題既能照顧到基礎(chǔ)教學(xué)，又能拓寬學(xué)生的視野。實踐中選取探究性問題，需要教者的智慧也需要觀念的更新。就本節(jié)內(nèi)容而言，在筆者組織探究性課題教學(xué)后，還有教師提出質(zhì)疑，斜棱柱側(cè)面積和圓臺側(cè)面積公式推導(dǎo)是傳統(tǒng)教材中繁難的內(nèi)容，已刪去，在教學(xué)中花時間是否妥當(dāng)？教材及考試說明是開展教學(xué)的依據(jù)。乍一聽很有道理，但細(xì)細(xì)品味，卻很不妥。因為新課程理念提出：用教材教而不是教教材。參考不同版本教材，設(shè)計出適合學(xué)生探究的課題，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力，這才是新課程教學(xué)的真正要求。

二是從課堂上學(xué)生提出的有意義的問題和見解中捕捉探究課題。例如教學(xué)“點(diǎn)到直線距離”一課，除了課本介紹的“求點(diǎn)到直線距離的方法”，即求出垂線交點(diǎn)，用兩點(diǎn)距離求解。教學(xué)實踐中有學(xué)生提出用等積法來計算距離。還有學(xué)生用兩點(diǎn)距離建立函數(shù)，通過求函數(shù)最小值來計算距離。把這些不同解法，用問題串聯(lián)起來，我們就可以用“點(diǎn)到直線距離”作為探究課題，組織探究教學(xué)活動。因此平時要重視課堂上生成的問題資源，并加以收集、匯總、提煉，許多有意義的探究性課題就蘊(yùn)藏其中?！?/p>

（作者單位：江蘇省高郵中學(xué)）

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