代子陽(yáng)，謝明紅

(華僑大學(xué)機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，福建廈門(mén)361021)

在對(duì)大型復(fù)雜的零件 (如發(fā)動(dòng)機(jī)葉輪和葉片，大型箱體及高精度的復(fù)雜模具等)進(jìn)行加工時(shí)，三軸數(shù)控機(jī)床越來(lái)越不能滿足要求，取而代之是五軸數(shù)控機(jī)床。在加工復(fù)雜曲面時(shí)，有很多方面的因素(如機(jī)床精度、刀具與工件的彈性變形和熱變形等)都會(huì)對(duì)五軸機(jī)床的加工精度產(chǎn)生影響，從而造成與實(shí)際曲面的不一致性，以至于產(chǎn)生很大的誤差。文中所述的非線性誤差是由于實(shí)際走刀軌跡與理論走刀軌跡的不一致性造成的。理論走刀軌跡要求刀具與工件表面相對(duì)運(yùn)動(dòng)是非線性的;然而由于目前的數(shù)控插補(bǔ)系統(tǒng)一般只能進(jìn)行線性插補(bǔ)，由于旋轉(zhuǎn)軸的加入使得刀具與工件表面的實(shí)際相對(duì)運(yùn)動(dòng)為非線性;造成實(shí)際走刀軌跡與理論走刀軌跡之間發(fā)生了偏差，稱為非線性誤差［1］。它是五軸加工所特有的。所以，在進(jìn)行五軸加工時(shí)如何控制非線性運(yùn)動(dòng)誤差是目前研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。

1 五軸加工非線性誤差理論分析

在前置處理中，由CAD/CAM生成的刀位軌跡時(shí)，是通過(guò)微小直線段來(lái)逼近工件模型的輪廓來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此在加工過(guò)程中，只有實(shí)際運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)的刀位點(diǎn)才能符合實(shí)際編程精度。在五軸數(shù)控加工中，由于兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的加入，造成了數(shù)控加工的非線性，導(dǎo)致了機(jī)床各軸的合成運(yùn)動(dòng)不再是直線而是一條條空間曲線。使得實(shí)際刀位運(yùn)動(dòng)嚴(yán)重偏離理論軌跡，造成誤差嚴(yán)重影響加工精度和效率。所以，要進(jìn)行誤差計(jì)算，對(duì)超差部分作必要的修改，使誤差控制在允許的范圍內(nèi)。

1.1 非線性誤差產(chǎn)生的原因

在生成刀位文件時(shí)，把自由曲面按一定的精度來(lái)劃分成微小的直線段，并假設(shè)只有刀具運(yùn)動(dòng)而工件不動(dòng)原則來(lái)生成刀位軌跡。由于曲面曲率不斷變化，必然引起刀軸矢量的不斷變化。因此，只有在三軸加工時(shí)，才能獲得理想的直線段。五軸聯(lián)動(dòng)時(shí)，由于旋轉(zhuǎn)軸的加入，同時(shí)加上五軸數(shù)控系統(tǒng)是一個(gè)非連續(xù)軌跡控制系統(tǒng)，相鄰兩個(gè)刀位點(diǎn)之間軌跡不再是直線而是空間曲線［2］。由于非線性誤差是在相鄰的刀位點(diǎn)之間產(chǎn)生的，所以研究非線性誤差不應(yīng)該在整個(gè)刀位軌跡上，而應(yīng)該分段進(jìn)行。圖1為相鄰兩個(gè)刀位點(diǎn)間，理想軌跡與實(shí)際插補(bǔ)軌跡的仿真圖。

圖1 為相鄰刀位點(diǎn)間，理想軌跡與實(shí)際插補(bǔ)軌跡的仿真圖

1.2 非線性誤差的模型建立

圖2顯示了非線性誤差產(chǎn)生的原因。由于在進(jìn)行五軸雙轉(zhuǎn)臺(tái)加工時(shí)，3個(gè)平動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程容易想象，兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)不易想象，也不易用視圖顯示。按照工件不動(dòng)刀具運(yùn)動(dòng)的原則，可把它想象成刀具相對(duì)于工作臺(tái)的擺動(dòng)。圖2中顯示了兩個(gè)刀位點(diǎn)C1、C2之間實(shí)際軌跡曲線與理論曲線形成的過(guò)程。在理想的情況下，要求刀具的旋轉(zhuǎn)中心軌跡應(yīng)按經(jīng)過(guò)OiO'mOj的曲線運(yùn)動(dòng)。但是，由于目前的數(shù)控系統(tǒng)一般只能按照?qǐng)D中經(jīng)過(guò)OiOmOj的直線軌跡進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)，從而造成了實(shí)際軌跡曲線rs(圖中虛線軌跡)與理論軌跡rl(圖中實(shí)線軌跡)之間的偏差。根據(jù)微分幾何，嚴(yán)格的非線性誤差的計(jì)算可由公式 (1)精確地描述:

在實(shí)際中為了準(zhǔn)確計(jì)算非線性誤差，需要對(duì)rl和rs進(jìn)行離散。經(jīng)過(guò)離散化之后的非線性誤差的計(jì)算為:

圖2 非線性誤差模型

嚴(yán)格非線性誤差的計(jì)算不僅要知道待加工工件表面的幾何信息和刀具信息，而且對(duì)曲面包絡(luò)面的求解也很困難。然而對(duì)五軸后置處理時(shí)的刀位文件中上述信息并不存在，因此只能根據(jù)非線性的理論進(jìn)行分析，并簡(jiǎn)化模型［3］。

1.3 最大非線性誤差位置預(yù)測(cè)

下面以A－C雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸數(shù)控機(jī)床為例，來(lái)預(yù)測(cè)最大非線性誤差的位置。假設(shè)兩個(gè)刀位點(diǎn)數(shù)據(jù) (p1，r1)和 (p2，r2)，以及刀觸點(diǎn)分別為T(mén)1、T2投影到xOy平面如圖3所示。由于數(shù)控插補(bǔ)系統(tǒng)是按線性進(jìn)行插補(bǔ)的，所以過(guò)刀位點(diǎn) (p1，r1)和 (p2，r2)的直線方程為:

同樣的角度變化如公式 (4)所示:

由公式 (3)、(4)可得刀觸點(diǎn)的軌跡方程，如公式 (5)所示:

將y分別對(duì)x求一次導(dǎo)數(shù)和二次導(dǎo)數(shù)可得:

令其一次導(dǎo)數(shù)為零，可以預(yù)測(cè)出最大非線性誤差的位置。

由公式 (8)得，最大非線性誤差產(chǎn)生的位置為兩個(gè)刀位點(diǎn)的中點(diǎn)附近。其中公式中的R為刀具半徑。

圖3 xOy平面上刀位點(diǎn)和刀觸點(diǎn)的投影

1.4 求解非線性誤差的方法

前幾節(jié)已經(jīng)預(yù)測(cè)出兩個(gè)刀位點(diǎn)插補(bǔ)軌跡間非線性誤差產(chǎn)生的最大位置。但是如果采用圖2的模型來(lái)求解非線性誤差，就需要知道模型輪廓的表面信息以及刀具的信息等。但是由于CAD/CAM軟件生成的刀位文件中已經(jīng)不包括這些信息，因此，文中采用機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解的方法來(lái)求出非線性誤差的大小。按照理想的情況，兩個(gè)刀位點(diǎn)p1、p2的軌跡應(yīng)該是一條直線pl，可是由于五軸數(shù)控插補(bǔ)系統(tǒng)只能進(jìn)行線性插補(bǔ)，從而造成了兩個(gè)刀位點(diǎn)p1、p2的插補(bǔ)軌跡為一條空間曲線ps如圖4所示。

首先根據(jù)機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解，求出在工件坐標(biāo)系下的對(duì)應(yīng)刀位數(shù)據(jù)點(diǎn)p1、p2轉(zhuǎn)換到機(jī)床坐標(biāo)系下，得到各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸分量分別為 (x1，y1，z1，A1，C1)和 (x2，y2，z2，A2，C2)。然后根據(jù)數(shù)控系統(tǒng)的插補(bǔ)特性，獲得任意時(shí)刻機(jī)床各運(yùn)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)分量。最后，再利用機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)的反解法，把機(jī)床坐標(biāo)系下任意時(shí)刻機(jī)床各軸的運(yùn)動(dòng)量轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)工件坐標(biāo)系下各時(shí)刻刀具刀位點(diǎn)的坐標(biāo)。最后求得各個(gè)刀位點(diǎn)與理想直線pl的距離h，如果距離h超過(guò)了允許誤差，就要在這兩個(gè)刀位點(diǎn)產(chǎn)生最大的誤差位置插入新的刀位點(diǎn)，來(lái)達(dá)到減小誤差的目的。

圖4 兩個(gè)刀位點(diǎn)p1、p2的插補(bǔ)軌跡

求非線性誤差的步驟如下:

(1)首先求出在工件坐標(biāo)系下的對(duì)應(yīng)刀位數(shù)據(jù)點(diǎn)p1、p2對(duì)應(yīng)機(jī)床坐標(biāo)系下各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸分量分別為(x1，y1，z1，A1，C1)和 (x2，y2，z2，A2，C2)。由于數(shù)控系統(tǒng)的線性插補(bǔ)功能，計(jì)算出任意時(shí)刻的各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸坐標(biāo)。插補(bǔ)軌跡方程為:

(2)利用機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)的反解法求出 (xt，yt，zt，At，Ct)對(duì)應(yīng)的工件坐標(biāo)系下刀位點(diǎn)的坐標(biāo)ps(t)。

(3)在圖5中，假設(shè)理想插補(bǔ)軌跡pl的單位方向矢量為n，則實(shí)際插補(bǔ)軌跡ps任意時(shí)刻的刀位點(diǎn)坐標(biāo)ps(t)到單位方向矢量n的距離為h(t)，則

對(duì)公式 (11)進(jìn)行求導(dǎo)，得到當(dāng)t=ts時(shí)，h(t)有最大值為hmax:

2 控制最大誤差的策略及模擬仿真

目前對(duì)于非線性誤差超差的情況，主要使用刀觸點(diǎn)偏執(zhí)法、線性化法和自適應(yīng)線性化處理方法，來(lái)達(dá)到減小非線性化誤差的目的，使其達(dá)到允許的誤差范圍的要求。

(1)刀觸點(diǎn)偏執(zhí)法。該方法是為了消除工件加工過(guò)程中的過(guò)切和欠切現(xiàn)象，將刀具沿著刀觸點(diǎn)的法線方向偏執(zhí)一定的距離，改變誤差的分布，但是該方法無(wú)法偏執(zhí)過(guò)后的誤差在允許的范圍內(nèi)，無(wú)法達(dá)到精確控制的目的［4］。

(2)線性化法。是將所有插補(bǔ)段線性分割，加密走刀步數(shù)，減小因走刀步長(zhǎng)過(guò)大引起的非線性運(yùn)動(dòng)誤差，但是這種方法的缺點(diǎn)是，隨著零件設(shè)計(jì)的曲面的復(fù)雜化，數(shù)控程序的數(shù)量會(huì)不斷加大，因此在密化加工程序時(shí)，會(huì)加大加工程序的數(shù)量，影響數(shù)控加工的插補(bǔ)和譯碼能力，降低了數(shù)控加工的效率和加工能力［5］。

(3)自適應(yīng)線性化法。該方法的思想是，首先計(jì)算出各個(gè)程序段的線性誤差，只對(duì)超過(guò)許用誤差的程序段進(jìn)行線性分割再折半分割來(lái)減小刀位點(diǎn)位置和刀軸矢量的變化，該方法不僅可以減小非線性誤差保證其不超過(guò)允許誤差，并且消除了非必要的刀位密化，較線性化法可以提高機(jī)床的加工效率和插補(bǔ)譯碼的能力，最大限度地發(fā)揮了機(jī)床加工的能力［6］。

2.1 自適應(yīng)非線性誤差的控制方法

如前所述，在五軸加工時(shí)由于兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的引入，使得在實(shí)際加工過(guò)程中刀具與工件的接觸位置很難預(yù)測(cè)。再加上刀位數(shù)據(jù)中只有刀觸點(diǎn)位置與刀軸矢量的描述，缺少刀具的實(shí)際形狀和工件表面信息。因此，在五軸加工時(shí)很難預(yù)測(cè)出最大非線性誤差出現(xiàn)在相鄰刀位點(diǎn)的什么位置。但是，根據(jù)前面對(duì)最大非線性誤差位置的預(yù)測(cè)和仿真驗(yàn)證，在實(shí)際中往往取兩個(gè)刀位點(diǎn)中點(diǎn)位置作為新刀位點(diǎn)的插入位置。假設(shè)相鄰兩個(gè)刀位數(shù)據(jù)為 (pj，rj)、(pj+1，rj+1)，首先計(jì)算出這兩個(gè)相鄰刀位點(diǎn)的誤差，如果超差就插入新的刀位點(diǎn) (pw，rw)，然后再分別求出 (pj，rj)、 (pw，rw)和 (pw，rw)、(pj+1，rj+1)的誤差，如果超差，就繼續(xù)插入新刀位點(diǎn)，直到誤差在允許范圍內(nèi)為止。

根據(jù)上述思想畫(huà)出如圖5所示的非線性誤差控制程序流程圖。

圖5 非線性誤差控制程序流程圖

2.2 通過(guò)MATLAB軟件對(duì)算法結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證

通過(guò)對(duì)橄欖球面的加工，驗(yàn)證上述減小非線性誤差的正確與否。首先取出通過(guò)PRO/E生成的刀位文件中的10個(gè)采樣點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行誤差計(jì)算。其誤差分布圖如圖6所示。未經(jīng)誤差補(bǔ)償?shù)姆蔷€性誤差結(jié)果偏大，其平均值大概在0.015 mm左右。

采取文中提出的減小非線性誤差的算法，即在超差的相鄰兩個(gè)刀位點(diǎn)中間插入新的刀位點(diǎn)，來(lái)減小非線性誤差。取最大非線性誤差不超過(guò)0.9 μm。在對(duì)進(jìn)行刀位數(shù)據(jù)補(bǔ)償后，進(jìn)行計(jì)算與仿真。其仿真結(jié)果如圖8所示。從圖中可以看到非線性誤差有效的控制在0.9 μm之內(nèi)。在沒(méi)有進(jìn)行非線性誤差補(bǔ)償前，只有10個(gè)刀位點(diǎn);在非線性誤差補(bǔ)償后，刀位點(diǎn)個(gè)數(shù)增加到52個(gè)。從圖7中可以看出，非線性誤差補(bǔ)償后明顯達(dá)到了減小非線性誤差的目的。

圖6 非線性誤差補(bǔ)償前

圖7 非線性誤差補(bǔ)償前后對(duì)比

通過(guò)上述仿真結(jié)果，說(shuō)明了該方法的有效性，達(dá)到了減小非線性誤差的目的。圖8顯示了對(duì)相鄰兩個(gè)刀位數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)償前后的仿真圖。補(bǔ)償后的到位軌跡更加接近理想曲線。

圖8 非線性誤差補(bǔ)償前后的刀位軌跡

3 小結(jié)

非線性誤差是五軸加工過(guò)程中不可避免的，也是其特有的。文中在基于雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸數(shù)控加工的基礎(chǔ)上，介紹了一種在兩個(gè)相鄰刀位點(diǎn)中間插入新的刀位點(diǎn)，并通過(guò)了MATLAB的仿真驗(yàn)證了該方法可以有效地減小非線性誤差。彌補(bǔ)了CAM軟件輸出刀位文件對(duì)非線性誤差沒(méi)有考慮的缺陷［1］。

［1］吳大中.五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控加工非線性誤差控制及后置處理［D］.上海:上海交通大學(xué)，2007.

［2］范冬青，張洪.曲面數(shù)控加工中的非線性誤差［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2004，(4):35 －37.

［3］何永紅，齊樂(lè)華.趙寶林雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸數(shù)控機(jī)床后置處理算法研究［J］.數(shù)控技術(shù)，2006(1):9－11.

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［6］任秉銀，唐余勇.數(shù)控加工中的幾何建模理論及其應(yīng)用［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2000:93.