陳興國

“一題多解”是培養(yǎng)學(xué)生各種能力的好方法。初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，要注意讓學(xué)生擴(kuò)大知識面，做好解題總結(jié)，從而提高學(xué)生的判斷能力，形成創(chuàng)新思維的習(xí)慣。通過“一題多解”的練習(xí)，學(xué)生的思路能夠開闊，對各種問題能從更深層次進(jìn)行思考。

高效課堂中學(xué)幾何一題多解發(fā)散思維教育家蘇霍姆林斯基說過：“真正的學(xué)校是一個(gè)積極思考的王國?！睌?shù)學(xué)教學(xué)中，高效的復(fù)習(xí)課堂特別重視學(xué)生拓展性思維能力的培養(yǎng)，這已是所有教師的共識。要培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行靈活思考，多角度看問題，多方位處理問題進(jìn)行拓展性思維，其主要方法就是拓寬思路，一題多解，善于聯(lián)想，發(fā)散思維。特別針對中學(xué)幾何證明和求解的多樣性，要求學(xué)生在做題時(shí)能善于觀察、思考，從不同角度分析問題，力求靈活駕馭所學(xué)知識。一個(gè)數(shù)學(xué)問題，如果我們只有一個(gè)解法，無論是自己想出來的還是查答案看到的，都或多或少會存在認(rèn)識上的局限性。只有在得出兩個(gè)或多個(gè)解法后，學(xué)生才能對問題的實(shí)質(zhì)有真正的了解，通過解題而加強(qiáng)知識之間的聯(lián)系以形成知識網(wǎng)絡(luò)，從而培養(yǎng)解題能力的目的才有可能得以實(shí)現(xiàn)。我們僅以下面這道題目來說明這個(gè)道理。

題目：如圖1，半圓的直徑AB=2，點(diǎn)C從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)沿著半圓運(yùn)動(dòng)，速度為每秒π6，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)，D是弧BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD，BC相交于點(diǎn)E，連結(jié)BD.

（1）如果OC∥BD，求t的值及BDAE的值；

（2）當(dāng)t=3時(shí)，求BDAE的值.

本題的第（1）問相對比較簡單，這里就不展開介紹，給出一種參考答案如下：

解：（1）如圖1，OC∥DB，∴∠DBC=∠C=∠CBA，∴弧DC=弧AC，又點(diǎn)D平分弧BC，

∴∠DBC=∠C=∠CBA=30° ∴弧AC=13π， ∴t=2；

在Rt△ABD中，∠D=90°，AB=2，∴DB=1，AD=3，

在Rt△BDE中，∠D=90°，BD=1，∴DE=133， ∴AE=233，DBAE=32.

第（2）問解法一：

分析：由已知條件直徑AB=2，再利用角平分線性質(zhì)過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)勾股定理、三角形相似可求出相應(yīng)線段長度及關(guān)系。

解如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F

理由：當(dāng)t=3時(shí)，弧AC=12π，∠ABC=45°

∴AC=BC=2，BF=EF=CE=2－2，EB=2BF=22-2

∴AE2=(2)2+(2－2)2=8－42

由△ACE∽△BDE得：DBAC=BEAE，∴DB=AC?BEAE,

∴DBAE=AC?BEAE2=2?（22-2）8-42=12

解法一從角平分線的性質(zhì)入手，通過三角形相似把線段DB用AC、BE、AE的關(guān)系表示出來，從而達(dá)到直接求解BDAE的目的，培養(yǎng)了學(xué)生一種“整體思想”。

解法二：

分析：如圖3，可以找AE中點(diǎn)M，根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半得AE=2CM，然后作CH⊥AE 根據(jù)相似求得BD=2CE ，再由CM、CE之間的關(guān)系求出答案。

解：如圖3，找AE的中點(diǎn)M且連接AM，作CH⊥AE交AE于點(diǎn)H，

∵AB是直徑，∴AC⊥BC，∴Rt△ACE中AE=2CM ，AM=CM，

又∵CH⊥AE，AD⊥BD ∴CH∥BD∴△CHE ～△BDE ，

又∵AD平分CAB ，∴CHBD=CEBE=ACAB=12 ，∴BD=2CH，

又∵Rt△MHC中∠CMH=22.5 o×2=45 o ，∴MC=2CH，∴BD=MC ∴DBAE=12。

解法二巧妙地利用相似找出DB與CH的關(guān)系，由CH與CM的關(guān)系發(fā)現(xiàn)CM=DB，再通過直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AE是CM的2倍，從而得到BDAE的比值。這里利用線段CE、CM為橋梁，培養(yǎng)了學(xué)生一種“轉(zhuǎn)化思想”。

解法三：

分析：如圖4，連接OD交CB于點(diǎn)P，根據(jù)OD∥AC可以推得

△CAE ～△BDP，則可由DBAE=BPAC求的要求的值。

解：連接OD交CB于點(diǎn)P，∴OD∥AC ，

∴∠DPB=∠ACB=90° 又∵∠DBP=∠CAE ∴△CAE ～△BDP

∴DBAE=BPAC，∵等腰Rt△OPB中， OP=PB=12AC，∴DBAE=BPAC=12

解法三利用垂徑定理的推論找出Rt△BDP，從而把要求的BDAE里的BD、AE分別放到兩個(gè)直角三角形的斜邊上，直接通過相似求出比例，培養(yǎng)了學(xué)生一種“化歸思想”。

解法四：

分析：我們可以先把△ACE獨(dú)立出來，在Rt△ACE中求出tan22.5°的值，然后根據(jù)三角函數(shù)值直接計(jì)算出相應(yīng)線段的長度，這種先求出基本圖形的函數(shù)值再求解的方法在解題中應(yīng)用比較廣泛，值得我們所關(guān)注。

解：如圖5，在Rt△ACB中因?yàn)锳E平分∠CAB，

∴CEBE=ACAB=12 ，若設(shè)CE=m，則EB=2m，

∴AC=BC=(2+1)m ，∴tan22.5杜= tan∠CAE=11+2=2－1

設(shè)BD=x，

在Rt△EBD中，DEBD= tan∠EBD= tan22.5°

∴DE= X·tan22.5°= =（2－1）x，

又∵在Rt△ADB中，DBAD= tan22.5°，∴AD=xtan22.5=(2+1)x

∴AE=AD-DE=(2+1)x-（2－1）x=2·X，

∴DBAE=x2x=12

解法四把復(fù)雜圖形簡單化。根據(jù)這個(gè)圖形里面都有22.5°的Rt△，我們先把這個(gè)22.5°的Rt△從中抽象出來，然后由這個(gè)基本圖形的模型分析出他們對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，再把這些數(shù)量關(guān)系帶回到原有圖形中求出BDAE的值，培養(yǎng)了學(xué)生一種“建模思想”。

由此例可見，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不但要教會學(xué)生常規(guī)解題的方法，還應(yīng)向?qū)W生提出“一題多解”的問題。這道例題第二小問的六種解法或利用了三角形角平分線的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等求解，或利用了添加不同的輔助線、利用不同的已知條件求解。在這種多種幾何圖形組合的問題中，往往蘊(yùn)含著多種幾何性質(zhì)，由此必然蘊(yùn)含著多種解題思路。

通過對一道題探究多種解法的訓(xùn)練，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，還提高了學(xué)生的思維發(fā)散能力，加深了對知識深層次的理解，同時(shí)也給學(xué)生提供了合作交流與競爭的平臺。這樣的課堂是高效的課堂，是一種精神與思想的陶冶與洗禮的課堂，對師生均是一種享受。這樣的課堂不僅鞏固了學(xué)生平時(shí)所學(xué)的基礎(chǔ)知識，也對這些知識進(jìn)行了靈活的綜合運(yùn)用，同時(shí)又培養(yǎng)了學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)思維，拓寬了解題思路，提高了數(shù)學(xué)能力。另外，一題多解對促進(jìn)分層教學(xué)也是一種有益的嘗試，班級授課通常采用的單一解法有時(shí)不能滿足學(xué)生個(gè)性化的需求，一題多解正好能夠彌補(bǔ)這方面的不足。

總之，“一題多解”指導(dǎo)思想的根源在于引導(dǎo)學(xué)生多反思題境，多總結(jié)方法并對所涉及的知識進(jìn)行剖析、歸納、總結(jié)，就能在頭腦里形成一個(gè)比較完整的知識體系，從而提高運(yùn)用知識、駕馭知識的能力從而達(dá)到提高課堂復(fù)習(xí)的效率。“學(xué)而不思則罔”，只有通過學(xué)生盡可能多的反思自己的解題，才能促進(jìn)學(xué)生提高解決實(shí)際問題的能力。

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