錢雷芳

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生往往只會(huì)做題，而不會(huì)思考題目本身的類型特點(diǎn)，這不僅失去了習(xí)題本身的意義價(jià)值，而且失去了鞏固和發(fā)展知識的機(jī)會(huì).如果把每道數(shù)學(xué)題看成是有生命的，那么它就能不斷地生長發(fā)展.因此，在平時(shí)的教學(xué)中筆者傾注了大量的時(shí)間和精力，整理典型的例、習(xí)題，通過教學(xué)探索，引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)習(xí)題的潛在價(jià)值，發(fā)現(xiàn)它的生命力，開發(fā)習(xí)題的附加值.很多學(xué)生學(xué)后樂此不疲地嘗試探索，收獲很大.學(xué)生的積極探索改變了筆者的教學(xué)風(fēng)格，讓課堂充滿了趣味，散發(fā)出了數(shù)學(xué)魅力.

一、化繁為簡，重視習(xí)題的二次結(jié)論的應(yīng)用

習(xí)題的二次結(jié)論，它具有廣闊的探究、拓展空間，常常作為命題生長點(diǎn)的原型.平時(shí)教學(xué)中，如果能注重引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)揣摩，則能簡化解題過程，化難為易，開闊解題思路，使我們在解題中能舉一反三，觸類旁通，有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活地運(yùn)用知識解決具體問題的能力.

譬如，學(xué)生學(xué)習(xí)了《多邊形的內(nèi)角和與外角和》后，筆者讓學(xué)生討論：如圖，∠A+∠B與∠C+∠D有怎樣的數(shù)量？為什么？

學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)了：∠A+∠B=∠C+∠D.

再讓學(xué)生探究：

1.根據(jù)圖形，解答問題：

（1）如圖甲，一個(gè)五角形ABCDE，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.

（2）如圖乙，如果點(diǎn)B向右移動(dòng)到AC上時(shí)，還能算出∠A+∠EBD+∠C+∠D+∠E的大小嗎？

（3）如圖丙，點(diǎn)B向右移動(dòng)到AC的另一側(cè)時(shí)，（1）的結(jié)論成立嗎？為什么？

（4）如圖丁，點(diǎn)B，E移動(dòng)到∠CAD的內(nèi)部時(shí)，結(jié)論又如何？說明理由.

甲 乙 丙 丁

學(xué)生通過討論，發(fā)現(xiàn)每題都適當(dāng)添加一條輔助線，就能構(gòu)造出例題中的圖形，再運(yùn)用例題的結(jié)論轉(zhuǎn)化，從而很快解決問題，簡單有趣.

2.已知，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N.試解答下列問題：

（1）在圖中，若∠D=40°，∠B=30°，試求∠P的度數(shù)；

（2）如果圖中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試寫出∠P與∠D、∠B之間數(shù)量關(guān)系.

在解答（1）時(shí)，學(xué)生充分運(yùn)用了例題結(jié)論，兩次運(yùn)用結(jié)論，通過列方程組求出∠P=38°；解答（2）時(shí)，學(xué)生利用（1）的特殊性解決問題，得出∠P= （∠B+∠D）.雖然本題對于初一學(xué)生有一定的難度，但它是以例題為原型生長出來的問題，只要引導(dǎo)學(xué)生在變化中始終抓住例題之本，解決新的問題也就水到渠成，迎刃而解了.

二、發(fā)散思維，注重習(xí)題的一題多解

“條條大路通羅馬”，解決同一個(gè)問題，方法往往有多種，一題多解在鞏固和加深所學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力與創(chuàng)新能力方面具有重要的意義.

例如：探討計(jì)算1+2 +2 +…+2 的一題多解方法.

解法一：可通過教材提供的方法探究解決：2 -2 =2 ，2 -2 =2 ，…，再觀察得出規(guī)律，最后活用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算.所以原式=（2 -2 ）+（2 -2 ）+…+（2 -2 ）=2 -2 =2 -1.

解法二：這道習(xí)題也可用“倍差法”求解：設(shè)S=1+2 +2 +…+2 ，將等式兩邊同時(shí)乘以2，得2S=2+2 +2 +…+2 +2 ，將兩式相減，得2S-S=2 -1，即1+2 +2 +…+2 =2 -1.

解法三：當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)《整式乘法》后，再次和學(xué)生探討：計(jì)算1+2 +2 +…+2 .首先請學(xué)生動(dòng)手操作：

（x-1）（x+1）=x -1，（x-1）（x +x+1）=x -1，（x-1）（x +x +x+1）=x -1，

……猜想：（x-1）（x +x +…+x +x+1）= .

這種解法就是運(yùn)用上述規(guī)律：“借雞生蛋”解決.所以原式=（2-1）（2 +2 +…+2 +2+1）=2 -1.本題借的“雞”（2-1）是特例，當(dāng)然有時(shí)要借（3-1）時(shí)，則要除以2，這是要提醒學(xué)生注意的.

教師在教學(xué)中要利用好這類習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生平時(shí)多觀察、多積累，就能有效培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和創(chuàng)造性.

三、探究創(chuàng)新，重視習(xí)題的變式拓展

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)貙}、習(xí)題進(jìn)行演變、引申、拓展，無疑是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，開拓思路，培養(yǎng)研究性思維能力的一種十分有效的方法.

例如：在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O.

（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，則∠BOC= ；

（2）若∠A=76°，則∠BOC= ；

（3）若∠BOC=120°，則∠A= ；

（4）當(dāng)∠A=n°（n為已知數(shù)）時(shí)，猜測∠BOC= ，并用所學(xué)的三角形的有關(guān)知識說明理由.

這個(gè)問題通過學(xué)生分析：只要抓住△ABC和△BOC的內(nèi)角和，結(jié)合∠ABC、∠ACB的平分線就可以解決問題.三角形的角平分線有內(nèi)外角的平分線，如果把它們進(jìn)行重組后，又有什么新問題呢？

變式1：如圖，O是∠ABC與外角∠ACE的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由.

分析：本題雖然看似和原題一樣，但解決問題的方法卻不一樣，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用△ABC和△BOC的外角解決，就能輕松得出∠BOC= ∠A.

變式2：如圖O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？

分析：本題的解法是運(yùn)用△BOC的內(nèi)角和知識結(jié)合△ABC的外角公式來解決，得出∠BOC=90°- ∠A.

數(shù)學(xué)的奧秘和樂趣就在這些變化中體現(xiàn)得淋漓盡致，學(xué)生也會(huì)興趣盎然，如果就內(nèi)角平分線變化為∠ABC、∠ACB的等分線，則又有一番新景象.

變式3：已知△ABC中，∠A=x°，

（1）如圖，若∠ABC和∠ACB的三等分線相交于點(diǎn)O 、O ，則用x表示∠BO C= 度.

（2）如圖，若∠ABC和∠ACB的n等分線相交于點(diǎn)O 、O …O ，則用x表示∠BO C= 度.

探索是教學(xué)的生命線，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若能注重變式教學(xué)，不斷拋出新的問題，讓學(xué)生在不斷探究、不斷反思中，提高應(yīng)變能力、獨(dú)創(chuàng)能力，特別有利于創(chuàng)新精神的培養(yǎng)和實(shí)踐能力的形成，也有利于提高獨(dú)立分析問題的能力.

四、靈活運(yùn)用，重視習(xí)題思維變向

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對學(xué)生進(jìn)行雙向思維交替訓(xùn)練，有效提高學(xué)生由正向思維轉(zhuǎn)換到逆向思維的能力.同時(shí)也幫助學(xué)生克服思維定勢和思維的呆板性起到良好的作用，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，從而在解題中左右逢源，如魚得水.

例如：學(xué)習(xí)《冪的運(yùn)算》后，學(xué)生對于2 ×2 都會(huì)運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算得出2 ，教師在學(xué)生熟練掌握基礎(chǔ)知識的原則下，不妨提出2 =2 ×2 讓學(xué)生思考.這其實(shí)是逆用這個(gè)法則，它表示把一個(gè)冪寫成幾個(gè)同底數(shù)的冪相乘，在解決某些問題時(shí)常常有用.

探究1：已知a =2，a =3，求a 的值.

分析：本題就是逆用同底數(shù)冪的運(yùn)算法則得：a =a ·a =2×3=6

探究2：已知a=2 ，b=3 ，c=4 ，試比較a、b、c的大小關(guān)系.

分析：解決本題逆用冪的乘方法則可得：a=2 =（2 ） =64 ，b=3 =（3 ） =243 ，c=4 =（4 ） =256 ，從而輕松快速地比較得出a、b、c之間的大小關(guān)系.

在初中數(shù)學(xué)中，不僅是某些法則可以這樣逆用，某些公式、定理等也可以這樣運(yùn)用.

應(yīng)用1：已知x +2xy+2y +2y+1=0，求2x+y的值.

分析：本題可以運(yùn)用完全平方公式解決.

應(yīng)用2：已知a≠b，且a +3a-7=0，b +3b-7=0，求a +b 的值.

分析：本題如果逆用根和系數(shù)的關(guān)系可知：a、b是關(guān)于x的一元二次方程x +3x-7=0的兩根，從而可得a+b=-3，ab=-7，所以a +b =（a+b） -2ab=23.

逆向思維是數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的求異思維方式，它能讓學(xué)生很快解決一些表面看似繁復(fù)的問題.因此，在教學(xué)中應(yīng)有意識地培養(yǎng)，不斷提高學(xué)生的思維品質(zhì).

五、探本求源，重視習(xí)題蘊(yùn)涵的思想方法

數(shù)學(xué)思想方法寓于數(shù)學(xué)知識之中，揭示了數(shù)學(xué)概念、原理、規(guī)律的本質(zhì)，是溝通基礎(chǔ)與能力的橋梁.學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握是螺旋式上升的，不能一蹴而就，在每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，應(yīng)當(dāng)針對學(xué)生的認(rèn)知水平，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容潛移默化地進(jìn)行，重視培養(yǎng)學(xué)生在習(xí)題中數(shù)學(xué)思想的滲透和確定.

如《一元一次不等式》復(fù)習(xí)題中，教材安排了一道探索研究：

用等號或不等號填空：

（1）比較2x與x +1的大?。?/p>

①當(dāng)x=2時(shí)，2x x +1

②當(dāng)x=1時(shí)，2x x +1

③當(dāng)x=3時(shí)，2x x +1

（2）任意取幾個(gè)x的值，計(jì)算并比較2x與x +1的大??；

（3）無論x取什么值，2x與x +1總有這樣的大小關(guān)系嗎？試說明理由.

教材安排這個(gè)探究，原因之一就是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“特殊與一般的思想”常通過考察其特殊情況，由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)，揭示其一般規(guī)律.可見思想方法才是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的源頭，鞏固了思想，樹立了意識，才能窺一斑而見全豹，解一題而得全部.教材的很多例題、習(xí)題中還體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”，“分類討論”等思想方法.學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)思想方法等于掌握了“萬能”的金鑰匙，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和解題能力無疑會(huì)極大提高，數(shù)學(xué)素養(yǎng)會(huì)有質(zhì)的飛躍.

當(dāng)然習(xí)題潛能量的探究遠(yuǎn)遠(yuǎn)不只這些.只要教師始終意識到學(xué)生是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主人，通過課堂教學(xué)的星星之火，通過習(xí)題練習(xí)的點(diǎn)點(diǎn)光芒，就定能點(diǎn)亮學(xué)生探究之路，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、不斷創(chuàng)造的過程，充分發(fā)揮例題習(xí)題應(yīng)有的價(jià)值，彰顯數(shù)學(xué)魅力，那么學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中定能如活水之魚，鮮活而富有生命力.