馬云倩+蔣遠(yuǎn)營+吳慧珊

摘要：金融資產(chǎn)收益的波動率對于期權(quán)定價、資產(chǎn)投資組合以及風(fēng)險管理都十分重要，對于波動率的度量有幾種不同的方法，文章從極差的角度入手，總結(jié)并評價了近年來極差信息波動率在金融市場中的理論發(fā)展與應(yīng)用研究，并給出關(guān)于極差信息波動率研究的研究展望。

關(guān)鍵詞：極差；低頻極差波動模型；高頻數(shù)據(jù)；已實現(xiàn)極差波動率；市場微觀噪音

一、 引言

金融資產(chǎn)的波動率在衍生產(chǎn)品定價、資產(chǎn)分配與風(fēng)險管理等方面都發(fā)揮著重要的作用，一直是金融計量領(lǐng)域的研究熱點。隨著全球金融市場的一體化和金融工具的復(fù)雜化，對波動率的測度要求也越來越高。目前，關(guān)于波動的度量方法大致分為三類：低頻波動率模型、高頻已實現(xiàn)波動率和混頻已實現(xiàn)波動率模型。低頻波動率模型主要是（G）ARCH以及隨機(jī)波動模型；高頻已實現(xiàn)波動率采用高頻數(shù)據(jù)計算日內(nèi)收益的平方和；混頻已實現(xiàn)波動率模型是將高頻已實現(xiàn)波動率與低頻波動率模型結(jié)合起來。

以上三種關(guān)于波動率的測度方法雖然在理論和實際應(yīng)用中取得了較好的成果，但始終存在一些不足。這些方法都是采用的金融資產(chǎn)的收益率數(shù)據(jù)，只采用收盤價或開盤價信息，始終沒有充分利用所采集到的樣本信息。然而，一些研究表明來自于最高價與最低價之差的極差信息在估計波動率方面能夠得到比收益率數(shù)據(jù)更好的效果。極差數(shù)據(jù)使用了資產(chǎn)價格的最高價與最低價，與只使用收盤價的收益率數(shù)據(jù)相比利用了更多的資產(chǎn)價格數(shù)據(jù)信息。

極差在統(tǒng)計學(xué)中的概念是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，是對數(shù)據(jù)離散程度的一種度量。金融數(shù)據(jù)中的極差則是指在某段時間內(nèi)最高價與最低價之差。最早關(guān)于極差的研究可追溯到Feller（1951），在其文中率先推到出了零均值獨(dú)立同分布隨機(jī)變量和的極差的漸近分布。直到1980年P(guān)arkinson在Feller（1951）的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了金融資產(chǎn)對數(shù)價格極差的二階距與資產(chǎn)收益波動率之間存在一個倍數(shù)關(guān)系。具體地說，Parkinson（1980）假設(shè)股票價格服從一個零漂移項擴(kuò)散項為常數(shù)D的維納（Wiener）過程。對數(shù)價格極差的二階距與收益率數(shù)據(jù)的波動率（方差）之間的確存在一個明確的倍數(shù)關(guān)系。而且，與傳統(tǒng)使用收盤價或開盤價構(gòu)造的波動率估計量相比，使用極差信息構(gòu)造的估計量要有效5倍。這極大地促進(jìn)了極差波動率的發(fā)展。Garman和Klass（1980）將極差波動率估計量進(jìn)行了擴(kuò)展，使其包括更多的信息：開盤價和收盤價。Wiggins（1991），Rogers和Stachll（1991），Kunitomo（1992），以及Yang和Zhang（2000）等在研究中同樣得到了使用極差信息構(gòu)造波動率是更有效的估計的結(jié)論。

極差作為波動率的一種更有效的估計被證明后，越來越多的學(xué)者開始致力于極差信息金融市場波動率的研究。國內(nèi)尚且沒有學(xué)者對極差信息波動率的研究作出綜述與評價，本文將從極差的角度綜述并評價近年來極差波動率估計在低頻和高頻領(lǐng)域的理論研究與發(fā)展應(yīng)用。

二、 低頻極差波動率模型

雖然基于極差信息構(gòu)造的波動率估計得到了理論和模擬結(jié)果的支持，但是，在實證分析中表現(xiàn)的卻并不理想。Cox和Rubinstein（1985）曾對此作出研究，發(fā)現(xiàn)極差波動率估計量在實證方面表現(xiàn)欠佳。Chou（2005）認(rèn)為極差波動率估計在實踐中表現(xiàn)不佳在于它們忽略了價格極差的時間變動。為了解決這個問題，Chou（2005）受自回歸條件持續(xù)期（Autoregressive Conditional Duration，ACD）模型的啟發(fā)，利用極差波動率估計的思想和GARCH模型動態(tài)表現(xiàn)波動率特征的思想，提出了條件自回歸極差（Conditional Auto-Regressive Range，CARR）模型，并將該模型應(yīng)用于美國S&P500股票指數(shù)與臺灣加權(quán)指數(shù)周數(shù)據(jù)與日數(shù)據(jù)的實證分析上，獲得了良好的預(yù)測效果。

其模型為：

Rt=？姿t？著t

？姿t=？棕+■？琢iRt-i+■？茁j？姿t-j

？著t|It-l～f（l，？孜t）（1）

其中，極差被定義為：Rt=max{Pt}-min{Pt}，？姿t是基于到時間t時刻極差信息的條件均值，假定擾動項？著t具有均值為1的f（·）密度分布。同時，Chou（2005）在文中也提出了一個包含外生變量的CARR（Conditional Autoregressive Range with Exogenous Variables，CARRX或ECARR）模型，可以用于研究波動率與其他外生變量之間的關(guān)系。

CARR模型在形式上是GARCH模型的衍生，繼承了GARCH模型在刻畫波動率方面的動態(tài)優(yōu)越性，能夠很好的解決極差波動率估計在實證表現(xiàn)欠佳的問題。由于CARR模型在設(shè)計理念和實證表現(xiàn)的優(yōu)越性，越來越多的學(xué)者開始將該模型的思想推廣到其他時間序列收益率模型中。

Fernandesa等（2005）在CARR模型的基礎(chǔ)上提出了多元自回歸條件極差（Multivariate Conditional Autore- gressive Range，即MCARR）模型。Brandt和Jones（2006）利用極差信息提出了一個類似于Nelson's（1991）EGARCH模型的極差EGARCH模型，用日內(nèi)價格極差的平方根代替收益率的絕對值，并將該模型應(yīng)用于美國S&P500股票指數(shù)的實證研究，同樣得到了優(yōu)于收益率模型的預(yù)測效果。周杰、劉三陽（2006）在Parkinson（1980）的理論基礎(chǔ)上，修正了極差，提出了修正的CARR（ACARR），使得原來的CARR模型成為一個標(biāo)準(zhǔn)的模型。Chou等（2007）將CARR模型的思想推廣到了動態(tài)條件相關(guān)（Dynamic Conditional Correlation，DCC）模型中，并發(fā)現(xiàn)極差DCC模型在預(yù)測協(xié)方差方面優(yōu)于收益率波動模型。Chen等（2008）拓展了CARR模型，將CARR模型推過到了非線性情況，提出了非線性門限（Nonlinear Thres-hold，TCARR）模型。Chiang 和Wang（2011）在CARR模型的基礎(chǔ)上提出了一個時變對數(shù)條件自回歸極差（Time-Varying Logarithmic Conditional Autoregressive Range，TVLCARR）模型，用于評估金融市場的波動傳染。Lin等（2012）在CARR模型和平滑轉(zhuǎn)移ACD基礎(chǔ)上，提出了一個平滑轉(zhuǎn)移條件自回歸極差（Smooth Transition Cond-itional Autoregressive Range，STCARR）模型，用于捕捉國際金融股票市場平滑波動的非對稱性。

除了對低頻極差波動率模型CARR模型的擴(kuò)展研究，很多學(xué)者也將該模型應(yīng)用于金融市場的實證研究。夏天（2007）利用CARR模型研究了股市交易量與股票價格變化的關(guān)系，分析了混合分布假說在CARR模型中適用的，并基于該假說對我國股市的十只個股進(jìn)行了量價分析，實證表明，CARR模型比GARCH模型在量價動態(tài)關(guān)系研究中能得到更為穩(wěn)健的結(jié)果。Karanasos和Kartsaklas（2009）利用CARR模型研究了韓國市場在1995年～2005年期間極差波動率與交易量之間的關(guān)系。Chou和Liu（2010）用Liu和Wu（2007）提出的極差DCC模型檢驗均值—方差模型中波動擇時的經(jīng)濟(jì)價值，并將該模型與收益率DCC模型相比較，實證顯示極差DCC模型的預(yù)測能力較收益率DCC模型強(qiáng)。Sin（2013）用CARRX模型研究了影響亞洲股票市場波動率的因素，文中研究了滯后收益率、滯后絕對收益率、交易量、美國因子、歐洲因子以及亞洲自身因子這個5個因素，實證結(jié)果表明，滯后收益率與交易量是影響股票波動率的顯著因子。孫便霞、王明進(jìn)（2013）利用極差信息，在GARCH模型框架下，構(gòu)造了GARCH-R模型以及非對稱的AGARCH-R模型，實證表明包含極差信息的新波動模型在預(yù)測效果上優(yōu)于傳統(tǒng)的GARCH模型。

理論與實證都證實了極差信息在估計波動率以及構(gòu)建波動率模型方面的優(yōu)越性，但這些理論與模型的前提都是假設(shè)金融資產(chǎn)價格過程的擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)，顯然這是一個不太符合現(xiàn)實且過于嚴(yán)格的假設(shè)，如何將這些理論和模型發(fā)展到更為寬松且更符合現(xiàn)實的條件下，如何將極差信息更好地應(yīng)用于金融資產(chǎn)收益波動率的刻畫，是一個值得研究的問題。

三、 高頻數(shù)據(jù)的極差波動率估計

隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，獲得和存儲數(shù)據(jù)的能力逐步增強(qiáng)，這使得高頻數(shù)據(jù)的獲得和使用成為了可能。在收益率數(shù)據(jù)中，波動率的一種非參數(shù)估計就是基于日內(nèi)高頻收益率數(shù)據(jù)計算的已實現(xiàn)波動率（Realized Variance，RV）。公式表述如下：

RV=■（p■-p■）2（2）

其中，n表示一天內(nèi)總的觀測的價格個數(shù)。該方法最早由Andersen & Bollerslev（2001）與Barndorff-Neilsen & Shephard（2002）提出，此后該方法得到了較大發(fā)展。

高頻數(shù)據(jù)容易受到微觀結(jié)構(gòu)噪音的影響，這使得RV的估計量不再具有一致性（Bandi & Russell，2005/2006），Hansen和Lunde（2006）等）。為了克服微觀結(jié)構(gòu)噪音的影響，眾多學(xué)者對此作出了努力，但究竟哪種估計量才是最有效的始終無法確定，為此只能做出不懈努力。在此背景下，Martens和Dijk（2007）結(jié)合極差思想提出了已實現(xiàn)極差波動率（Realized Range Variance，RRV），用價格極差代替平方收益得到一個更有效的估計量，該估計量比已實現(xiàn)波動率更有效。該估計量可表述如下：

RRV=■■Rt，i2（3）

同時他們給出了一個存在微觀噪音時的糾偏方法，稱為尺度已實現(xiàn)極差（Scaling Realized Range Variance，SRRV），這種方法對微觀噪音較為穩(wěn)健。與此同時，Christensen和Podolskij（2007）也獨(dú)立的提出了已實現(xiàn)極差并證明了該估計量在一定的假設(shè)條件下是更為有效的估計量。Christensen和Podolskij（2006）將已實現(xiàn)極差RRV與雙冪次變差結(jié)合起來，提出了一類新的波動率估計已實現(xiàn)極差雙冪次（Realized Range-based Bipower Variation，RRBV）估計量。Bannouh，Dijk和Martens（2009）提出了一種新的估計量已實現(xiàn)協(xié)極差（Realized Co-Range，RCR），在理想狀態(tài)下，該估計量比已實現(xiàn)協(xié)方差有效5倍。并且在模擬中發(fā)現(xiàn)，即使存在微觀噪音該估計量也比已實現(xiàn)協(xié)方差有效。

微觀結(jié)構(gòu)噪音對基于高頻數(shù)據(jù)計算的已實現(xiàn)波動來說是一個挑戰(zhàn)，隨著采樣頻率的提高噪音也會隨之積累。在高頻領(lǐng)域，對噪音的研究是個永恒的話題。Christensen等（2009）為了修正微觀噪音買賣反彈（bid-ask bounce）所產(chǎn)生的向上偏差，他們提出了一種雙時間尺度已實現(xiàn)極差（Two Time Scale Realized Range，TSRR），該方法能夠有效的降低微觀噪音買賣反彈所產(chǎn)生的影響。Christensen和Podolskij（2012）提出了一種新的估計量已實現(xiàn)極差多次變差（Realized Range-based Multipower Variation，RRMV），該方法可以用來估計收益率變差，并可得到存在跳時擴(kuò)散波動的穩(wěn)健估計。在文中他們還構(gòu)建了一個混合極差估計量（Hybrid Range-based Estimator）用以降低由微觀噪音引起的偏差。經(jīng)研究表明，已實現(xiàn)極差多次變差估計量是比已實現(xiàn)多次變差更為有效的估計量。Bannouh等（2013）為了修正同時存在買賣反彈（Bid-ask Boun-ce）和不規(guī)則交易（Infrequent Trading）微觀噪音情況下已實現(xiàn)極差估計量的偏差，在Christensen等（2009）提出的TSRR方法的基礎(chǔ)上提出了一個啟發(fā)式的偏差修正方法TSRRht（Heuristic Two Time Scale Realized Range），研究表明該估計量比TSRR以及TSRV都更為有效。

在國內(nèi)關(guān)于高頻極差波動率的研究主要有，唐勇和張世英（2006）考慮到高頻數(shù)據(jù)的“日歷效應(yīng)”，提出了加權(quán)已實現(xiàn)極差波動率估計，而已實現(xiàn)極差是加權(quán)已實現(xiàn)極差的一個特例。并將該估計用于深證股市的實證研究，證實了該波動率估計比已實現(xiàn)極差更為有效。文鳳華等（2011）將加權(quán)已實現(xiàn)極差用于滬深300股指5分鐘高頻數(shù)據(jù)的實證研究，并在此基礎(chǔ)上研究加權(quán)已實現(xiàn)極差序列的特征和交易量對其的影響。

除了對低頻極差波動率模型CARR模型的擴(kuò)展研究，很多學(xué)者也將該模型應(yīng)用于金融市場的實證研究。夏天（2007）利用CARR模型研究了股市交易量與股票價格變化的關(guān)系，分析了混合分布假說在CARR模型中適用的，并基于該假說對我國股市的十只個股進(jìn)行了量價分析，實證表明，CARR模型比GARCH模型在量價動態(tài)關(guān)系研究中能得到更為穩(wěn)健的結(jié)果。Karanasos和Kartsaklas（2009）利用CARR模型研究了韓國市場在1995年～2005年期間極差波動率與交易量之間的關(guān)系。Chou和Liu（2010）用Liu和Wu（2007）提出的極差DCC模型檢驗均值—方差模型中波動擇時的經(jīng)濟(jì)價值，并將該模型與收益率DCC模型相比較，實證顯示極差DCC模型的預(yù)測能力較收益率DCC模型強(qiáng)。Sin（2013）用CARRX模型研究了影響亞洲股票市場波動率的因素，文中研究了滯后收益率、滯后絕對收益率、交易量、美國因子、歐洲因子以及亞洲自身因子這個5個因素，實證結(jié)果表明，滯后收益率與交易量是影響股票波動率的顯著因子。孫便霞、王明進(jìn)（2013）利用極差信息，在GARCH模型框架下，構(gòu)造了GARCH-R模型以及非對稱的AGARCH-R模型，實證表明包含極差信息的新波動模型在預(yù)測效果上優(yōu)于傳統(tǒng)的GARCH模型。

理論與實證都證實了極差信息在估計波動率以及構(gòu)建波動率模型方面的優(yōu)越性，但這些理論與模型的前提都是假設(shè)金融資產(chǎn)價格過程的擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)，顯然這是一個不太符合現(xiàn)實且過于嚴(yán)格的假設(shè)，如何將這些理論和模型發(fā)展到更為寬松且更符合現(xiàn)實的條件下，如何將極差信息更好地應(yīng)用于金融資產(chǎn)收益波動率的刻畫，是一個值得研究的問題。

三、 高頻數(shù)據(jù)的極差波動率估計

隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，獲得和存儲數(shù)據(jù)的能力逐步增強(qiáng)，這使得高頻數(shù)據(jù)的獲得和使用成為了可能。在收益率數(shù)據(jù)中，波動率的一種非參數(shù)估計就是基于日內(nèi)高頻收益率數(shù)據(jù)計算的已實現(xiàn)波動率（Realized Variance，RV）。公式表述如下：

RV=■（p■-p■）2（2）

其中，n表示一天內(nèi)總的觀測的價格個數(shù)。該方法最早由Andersen & Bollerslev（2001）與Barndorff-Neilsen & Shephard（2002）提出，此后該方法得到了較大發(fā)展。

高頻數(shù)據(jù)容易受到微觀結(jié)構(gòu)噪音的影響，這使得RV的估計量不再具有一致性（Bandi & Russell，2005/2006），Hansen和Lunde（2006）等）。為了克服微觀結(jié)構(gòu)噪音的影響，眾多學(xué)者對此作出了努力，但究竟哪種估計量才是最有效的始終無法確定，為此只能做出不懈努力。在此背景下，Martens和Dijk（2007）結(jié)合極差思想提出了已實現(xiàn)極差波動率（Realized Range Variance，RRV），用價格極差代替平方收益得到一個更有效的估計量，該估計量比已實現(xiàn)波動率更有效。該估計量可表述如下：

RRV=■■Rt，i2（3）

同時他們給出了一個存在微觀噪音時的糾偏方法，稱為尺度已實現(xiàn)極差（Scaling Realized Range Variance，SRRV），這種方法對微觀噪音較為穩(wěn)健。與此同時，Christensen和Podolskij（2007）也獨(dú)立的提出了已實現(xiàn)極差并證明了該估計量在一定的假設(shè)條件下是更為有效的估計量。Christensen和Podolskij（2006）將已實現(xiàn)極差RRV與雙冪次變差結(jié)合起來，提出了一類新的波動率估計已實現(xiàn)極差雙冪次（Realized Range-based Bipower Variation，RRBV）估計量。Bannouh，Dijk和Martens（2009）提出了一種新的估計量已實現(xiàn)協(xié)極差（Realized Co-Range，RCR），在理想狀態(tài)下，該估計量比已實現(xiàn)協(xié)方差有效5倍。并且在模擬中發(fā)現(xiàn)，即使存在微觀噪音該估計量也比已實現(xiàn)協(xié)方差有效。

微觀結(jié)構(gòu)噪音對基于高頻數(shù)據(jù)計算的已實現(xiàn)波動來說是一個挑戰(zhàn)，隨著采樣頻率的提高噪音也會隨之積累。在高頻領(lǐng)域，對噪音的研究是個永恒的話題。Christensen等（2009）為了修正微觀噪音買賣反彈（bid-ask bounce）所產(chǎn)生的向上偏差，他們提出了一種雙時間尺度已實現(xiàn)極差（Two Time Scale Realized Range，TSRR），該方法能夠有效的降低微觀噪音買賣反彈所產(chǎn)生的影響。Christensen和Podolskij（2012）提出了一種新的估計量已實現(xiàn)極差多次變差（Realized Range-based Multipower Variation，RRMV），該方法可以用來估計收益率變差，并可得到存在跳時擴(kuò)散波動的穩(wěn)健估計。在文中他們還構(gòu)建了一個混合極差估計量（Hybrid Range-based Estimator）用以降低由微觀噪音引起的偏差。經(jīng)研究表明，已實現(xiàn)極差多次變差估計量是比已實現(xiàn)多次變差更為有效的估計量。Bannouh等（2013）為了修正同時存在買賣反彈（Bid-ask Boun-ce）和不規(guī)則交易（Infrequent Trading）微觀噪音情況下已實現(xiàn)極差估計量的偏差，在Christensen等（2009）提出的TSRR方法的基礎(chǔ)上提出了一個啟發(fā)式的偏差修正方法TSRRht（Heuristic Two Time Scale Realized Range），研究表明該估計量比TSRR以及TSRV都更為有效。

在國內(nèi)關(guān)于高頻極差波動率的研究主要有，唐勇和張世英（2006）考慮到高頻數(shù)據(jù)的“日歷效應(yīng)”，提出了加權(quán)已實現(xiàn)極差波動率估計，而已實現(xiàn)極差是加權(quán)已實現(xiàn)極差的一個特例。并將該估計用于深證股市的實證研究，證實了該波動率估計比已實現(xiàn)極差更為有效。文鳳華等（2011）將加權(quán)已實現(xiàn)極差用于滬深300股指5分鐘高頻數(shù)據(jù)的實證研究，并在此基礎(chǔ)上研究加權(quán)已實現(xiàn)極差序列的特征和交易量對其的影響。

除了對低頻極差波動率模型CARR模型的擴(kuò)展研究，很多學(xué)者也將該模型應(yīng)用于金融市場的實證研究。夏天（2007）利用CARR模型研究了股市交易量與股票價格變化的關(guān)系，分析了混合分布假說在CARR模型中適用的，并基于該假說對我國股市的十只個股進(jìn)行了量價分析，實證表明，CARR模型比GARCH模型在量價動態(tài)關(guān)系研究中能得到更為穩(wěn)健的結(jié)果。Karanasos和Kartsaklas（2009）利用CARR模型研究了韓國市場在1995年～2005年期間極差波動率與交易量之間的關(guān)系。Chou和Liu（2010）用Liu和Wu（2007）提出的極差DCC模型檢驗均值—方差模型中波動擇時的經(jīng)濟(jì)價值，并將該模型與收益率DCC模型相比較，實證顯示極差DCC模型的預(yù)測能力較收益率DCC模型強(qiáng)。Sin（2013）用CARRX模型研究了影響亞洲股票市場波動率的因素，文中研究了滯后收益率、滯后絕對收益率、交易量、美國因子、歐洲因子以及亞洲自身因子這個5個因素，實證結(jié)果表明，滯后收益率與交易量是影響股票波動率的顯著因子。孫便霞、王明進(jìn)（2013）利用極差信息，在GARCH模型框架下，構(gòu)造了GARCH-R模型以及非對稱的AGARCH-R模型，實證表明包含極差信息的新波動模型在預(yù)測效果上優(yōu)于傳統(tǒng)的GARCH模型。

理論與實證都證實了極差信息在估計波動率以及構(gòu)建波動率模型方面的優(yōu)越性，但這些理論與模型的前提都是假設(shè)金融資產(chǎn)價格過程的擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)，顯然這是一個不太符合現(xiàn)實且過于嚴(yán)格的假設(shè)，如何將這些理論和模型發(fā)展到更為寬松且更符合現(xiàn)實的條件下，如何將極差信息更好地應(yīng)用于金融資產(chǎn)收益波動率的刻畫，是一個值得研究的問題。

三、 高頻數(shù)據(jù)的極差波動率估計

隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，獲得和存儲數(shù)據(jù)的能力逐步增強(qiáng)，這使得高頻數(shù)據(jù)的獲得和使用成為了可能。在收益率數(shù)據(jù)中，波動率的一種非參數(shù)估計就是基于日內(nèi)高頻收益率數(shù)據(jù)計算的已實現(xiàn)波動率（Realized Variance，RV）。公式表述如下：

RV=■（p■-p■）2（2）

其中，n表示一天內(nèi)總的觀測的價格個數(shù)。該方法最早由Andersen & Bollerslev（2001）與Barndorff-Neilsen & Shephard（2002）提出，此后該方法得到了較大發(fā)展。

高頻數(shù)據(jù)容易受到微觀結(jié)構(gòu)噪音的影響，這使得RV的估計量不再具有一致性（Bandi & Russell，2005/2006），Hansen和Lunde（2006）等）。為了克服微觀結(jié)構(gòu)噪音的影響，眾多學(xué)者對此作出了努力，但究竟哪種估計量才是最有效的始終無法確定，為此只能做出不懈努力。在此背景下，Martens和Dijk（2007）結(jié)合極差思想提出了已實現(xiàn)極差波動率（Realized Range Variance，RRV），用價格極差代替平方收益得到一個更有效的估計量，該估計量比已實現(xiàn)波動率更有效。該估計量可表述如下：

RRV=■■Rt，i2（3）

同時他們給出了一個存在微觀噪音時的糾偏方法，稱為尺度已實現(xiàn)極差（Scaling Realized Range Variance，SRRV），這種方法對微觀噪音較為穩(wěn)健。與此同時，Christensen和Podolskij（2007）也獨(dú)立的提出了已實現(xiàn)極差并證明了該估計量在一定的假設(shè)條件下是更為有效的估計量。Christensen和Podolskij（2006）將已實現(xiàn)極差RRV與雙冪次變差結(jié)合起來，提出了一類新的波動率估計已實現(xiàn)極差雙冪次（Realized Range-based Bipower Variation，RRBV）估計量。Bannouh，Dijk和Martens（2009）提出了一種新的估計量已實現(xiàn)協(xié)極差（Realized Co-Range，RCR），在理想狀態(tài)下，該估計量比已實現(xiàn)協(xié)方差有效5倍。并且在模擬中發(fā)現(xiàn)，即使存在微觀噪音該估計量也比已實現(xiàn)協(xié)方差有效。

微觀結(jié)構(gòu)噪音對基于高頻數(shù)據(jù)計算的已實現(xiàn)波動來說是一個挑戰(zhàn)，隨著采樣頻率的提高噪音也會隨之積累。在高頻領(lǐng)域，對噪音的研究是個永恒的話題。Christensen等（2009）為了修正微觀噪音買賣反彈（bid-ask bounce）所產(chǎn)生的向上偏差，他們提出了一種雙時間尺度已實現(xiàn)極差（Two Time Scale Realized Range，TSRR），該方法能夠有效的降低微觀噪音買賣反彈所產(chǎn)生的影響。Christensen和Podolskij（2012）提出了一種新的估計量已實現(xiàn)極差多次變差（Realized Range-based Multipower Variation，RRMV），該方法可以用來估計收益率變差，并可得到存在跳時擴(kuò)散波動的穩(wěn)健估計。在文中他們還構(gòu)建了一個混合極差估計量（Hybrid Range-based Estimator）用以降低由微觀噪音引起的偏差。經(jīng)研究表明，已實現(xiàn)極差多次變差估計量是比已實現(xiàn)多次變差更為有效的估計量。Bannouh等（2013）為了修正同時存在買賣反彈（Bid-ask Boun-ce）和不規(guī)則交易（Infrequent Trading）微觀噪音情況下已實現(xiàn)極差估計量的偏差，在Christensen等（2009）提出的TSRR方法的基礎(chǔ)上提出了一個啟發(fā)式的偏差修正方法TSRRht（Heuristic Two Time Scale Realized Range），研究表明該估計量比TSRR以及TSRV都更為有效。

在國內(nèi)關(guān)于高頻極差波動率的研究主要有，唐勇和張世英（2006）考慮到高頻數(shù)據(jù)的“日歷效應(yīng)”，提出了加權(quán)已實現(xiàn)極差波動率估計，而已實現(xiàn)極差是加權(quán)已實現(xiàn)極差的一個特例。并將該估計用于深證股市的實證研究，證實了該波動率估計比已實現(xiàn)極差更為有效。文鳳華等（2011）將加權(quán)已實現(xiàn)極差用于滬深300股指5分鐘高頻數(shù)據(jù)的實證研究，并在此基礎(chǔ)上研究加權(quán)已實現(xiàn)極差序列的特征和交易量對其的影響。

除了對低頻極差波動率模型CARR模型的擴(kuò)展研究，很多學(xué)者也將該模型應(yīng)用于金融市場的實證研究。夏天（2007）利用CARR模型研究了股市交易量與股票價格變化的關(guān)系，分析了混合分布假說在CARR模型中適用的，并基于該假說對我國股市的十只個股進(jìn)行了量價分析，實證表明，CARR模型比GARCH模型在量價動態(tài)關(guān)系研究中能得到更為穩(wěn)健的結(jié)果。Karanasos和Kartsaklas（2009）利用CARR模型研究了韓國市場在1995年～2005年期間極差波動率與交易量之間的關(guān)系。Chou和Liu（2010）用Liu和Wu（2007）提出的極差DCC模型檢驗均值—方差模型中波動擇時的經(jīng)濟(jì)價值，并將該模型與收益率DCC模型相比較，實證顯示極差DCC模型的預(yù)測能力較收益率DCC模型強(qiáng)。Sin（2013）用CARRX模型研究了影響亞洲股票市場波動率的因素，文中研究了滯后收益率、滯后絕對收益率、交易量、美國因子、歐洲因子以及亞洲自身因子這個5個因素，實證結(jié)果表明，滯后收益率與交易量是影響股票波動率的顯著因子。孫便霞、王明進(jìn)（2013）利用極差信息，在GARCH模型框架下，構(gòu)造了GARCH-R模型以及非對稱的AGARCH-R模型，實證表明包含極差信息的新波動模型在預(yù)測效果上優(yōu)于傳統(tǒng)的GARCH模型。

理論與實證都證實了極差信息在估計波動率以及構(gòu)建波動率模型方面的優(yōu)越性，但這些理論與模型的前提都是假設(shè)金融資產(chǎn)價格過程的擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)，顯然這是一個不太符合現(xiàn)實且過于嚴(yán)格的假設(shè)，如何將這些理論和模型發(fā)展到更為寬松且更符合現(xiàn)實的條件下，如何將極差信息更好地應(yīng)用于金融資產(chǎn)收益波動率的刻畫，是一個值得研究的問題。

三、 高頻數(shù)據(jù)的極差波動率估計

隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，獲得和存儲數(shù)據(jù)的能力逐步增強(qiáng)，這使得高頻數(shù)據(jù)的獲得和使用成為了可能。在收益率數(shù)據(jù)中，波動率的一種非參數(shù)估計就是基于日內(nèi)高頻收益率數(shù)據(jù)計算的已實現(xiàn)波動率（Realized Variance，RV）。公式表述如下：

RV=■（p■-p■）2（2）

其中，n表示一天內(nèi)總的觀測的價格個數(shù)。該方法最早由Andersen & Bollerslev（2001）與Barndorff-Neilsen & Shephard（2002）提出，此后該方法得到了較大發(fā)展。

高頻數(shù)據(jù)容易受到微觀結(jié)構(gòu)噪音的影響，這使得RV的估計量不再具有一致性（Bandi & Russell，2005/2006），Hansen和Lunde（2006）等）。為了克服微觀結(jié)構(gòu)噪音的影響，眾多學(xué)者對此作出了努力，但究竟哪種估計量才是最有效的始終無法確定，為此只能做出不懈努力。在此背景下，Martens和Dijk（2007）結(jié)合極差思想提出了已實現(xiàn)極差波動率（Realized Range Variance，RRV），用價格極差代替平方收益得到一個更有效的估計量，該估計量比已實現(xiàn)波動率更有效。該估計量可表述如下：

RRV=■■Rt，i2（3）

同時他們給出了一個存在微觀噪音時的糾偏方法，稱為尺度已實現(xiàn)極差（Scaling Realized Range Variance，SRRV），這種方法對微觀噪音較為穩(wěn)健。與此同時，Christensen和Podolskij（2007）也獨(dú)立的提出了已實現(xiàn)極差并證明了該估計量在一定的假設(shè)條件下是更為有效的估計量。Christensen和Podolskij（2006）將已實現(xiàn)極差RRV與雙冪次變差結(jié)合起來，提出了一類新的波動率估計已實現(xiàn)極差雙冪次（Realized Range-based Bipower Variation，RRBV）估計量。Bannouh，Dijk和Martens（2009）提出了一種新的估計量已實現(xiàn)協(xié)極差（Realized Co-Range，RCR），在理想狀態(tài)下，該估計量比已實現(xiàn)協(xié)方差有效5倍。并且在模擬中發(fā)現(xiàn)，即使存在微觀噪音該估計量也比已實現(xiàn)協(xié)方差有效。

微觀結(jié)構(gòu)噪音對基于高頻數(shù)據(jù)計算的已實現(xiàn)波動來說是一個挑戰(zhàn)，隨著采樣頻率的提高噪音也會隨之積累。在高頻領(lǐng)域，對噪音的研究是個永恒的話題。Christensen等（2009）為了修正微觀噪音買賣反彈（bid-ask bounce）所產(chǎn)生的向上偏差，他們提出了一種雙時間尺度已實現(xiàn)極差（Two Time Scale Realized Range，TSRR），該方法能夠有效的降低微觀噪音買賣反彈所產(chǎn)生的影響。Christensen和Podolskij（2012）提出了一種新的估計量已實現(xiàn)極差多次變差（Realized Range-based Multipower Variation，RRMV），該方法可以用來估計收益率變差，并可得到存在跳時擴(kuò)散波動的穩(wěn)健估計。在文中他們還構(gòu)建了一個混合極差估計量（Hybrid Range-based Estimator）用以降低由微觀噪音引起的偏差。經(jīng)研究表明，已實現(xiàn)極差多次變差估計量是比已實現(xiàn)多次變差更為有效的估計量。Bannouh等（2013）為了修正同時存在買賣反彈（Bid-ask Boun-ce）和不規(guī)則交易（Infrequent Trading）微觀噪音情況下已實現(xiàn)極差估計量的偏差，在Christensen等（2009）提出的TSRR方法的基礎(chǔ)上提出了一個啟發(fā)式的偏差修正方法TSRRht（Heuristic Two Time Scale Realized Range），研究表明該估計量比TSRR以及TSRV都更為有效。

在國內(nèi)關(guān)于高頻極差波動率的研究主要有，唐勇和張世英（2006）考慮到高頻數(shù)據(jù)的“日歷效應(yīng)”，提出了加權(quán)已實現(xiàn)極差波動率估計，而已實現(xiàn)極差是加權(quán)已實現(xiàn)極差的一個特例。并將該估計用于深證股市的實證研究，證實了該波動率估計比已實現(xiàn)極差更為有效。文鳳華等（2011）將加權(quán)已實現(xiàn)極差用于滬深300股指5分鐘高頻數(shù)據(jù)的實證研究，并在此基礎(chǔ)上研究加權(quán)已實現(xiàn)極差序列的特征和交易量對其的影響。