張鴻超

(呼倫貝爾學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼倫貝爾021008)

淺析數(shù)學(xué)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用*

張鴻超

(呼倫貝爾學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼倫貝爾021008)

本文通過對中學(xué)解題過程中一般數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的探究，幫助學(xué)生自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法指導(dǎo)解題過程，形成解決數(shù)學(xué)問題的有效策略。

數(shù)學(xué)方法;應(yīng)用;中學(xué)數(shù)學(xué)

盡管中學(xué)數(shù)學(xué)教材中大量的優(yōu)秀例題、習(xí)題，都蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)方法，但在中學(xué)，數(shù)學(xué)方法仍是一個(gè)隱性的知識系統(tǒng)。因此，對數(shù)學(xué)方法相關(guān)內(nèi)容的揭示會(huì)更有助于提高學(xué)生空間想象能力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和探索創(chuàng)新能力，使學(xué)生把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和培養(yǎng)能力有機(jī)聯(lián)系起來，更好地提高個(gè)體的思維品質(zhì)，培養(yǎng)更多創(chuàng)新型人才。

1 中學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中常用的幾種數(shù)學(xué)方法

1．1普通歸納法(不完全歸納法)

所謂普通歸納法(不完全歸納法)，就是對一類事物部分特殊事項(xiàng)加以抽象提高，通過分析、研究、推理得出一般屬性和規(guī)律。其特點(diǎn)是:

(1)以一定的事實(shí)做為基礎(chǔ)，所判斷的范圍小于結(jié)論應(yīng)當(dāng)判斷的范圍。

例如，多邊形內(nèi)角和的求和公式就是通過求得部分多邊形的內(nèi)角和，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律進(jìn)而歸納得出n邊形內(nèi)角和的。

從每個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出所有的對角線，四邊形會(huì)被分成2個(gè)三角形，五邊形會(huì)被分成3個(gè)三角形，六邊形會(huì)被分成4個(gè)三角形，……，十二邊形會(huì)被分成10個(gè)三角形。于是便發(fā)現(xiàn)所分得的三角形的個(gè)數(shù)總比它的邊數(shù)少2。而每個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，那么，n邊形的內(nèi)角和顯然為(n－2)× 180°。

(2)得出的結(jié)論可能不正確。

例如，對“函數(shù)式y(tǒng)=x2+x+41中，x取任何非負(fù)整數(shù)，y都是質(zhì)數(shù)”的判斷時(shí)，通過個(gè)別計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量x取0，1，2，3，……，38，39時(shí)，得出y的值為41，43，47，53，…，1601，這些數(shù)都是質(zhì)數(shù)，于是歸納得出x取任何非負(fù)整數(shù)，y都是質(zhì)數(shù)的結(jié)論。但這個(gè)結(jié)論卻是個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論。因?yàn)楫?dāng)x=40時(shí)，得出y的值為1681，而1681能被1和它本身整除外，還能被41整除，顯然y不是質(zhì)數(shù)，而是合數(shù)了。

(3)得到的結(jié)論是否正確，需要經(jīng)過理論的證明和實(shí)踐的檢驗(yàn)。

例如，1+8=9，

即13+23=32=(1+2)2

1+8+27=36，

即13+23+33=62=(1+2+3)2，

1+8+27+64=100，

即13+23+33+43=102=(1+2+3+4)2

……

由此，我們可以推斷得出

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明，這個(gè)結(jié)果是正確的。

盡管普通歸納法(不完全歸納法)的結(jié)論不是完全可靠，但在數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用中，卻有著十分重要的意義。

一是，在基礎(chǔ)知識有限的情況下為了暫且接受其真實(shí)性，常常用普通歸納法(不完全歸納法)給出。這樣的處理方法，在理論上是雖然存在缺陷，但就整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)而言是合理的，既合乎認(rèn)識規(guī)律，也有助于人們從具體的事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律。

二是，利用普通歸納法(不完全歸納法)，恰當(dāng)?shù)乜疾鞌?shù)學(xué)問題的某些特殊情形，可以幫助我們由問題的特殊性認(rèn)識其一般性，探明到解決問題的方向，尋求到正確的解題路徑。

三是，通過普通歸納法(不完全歸納法)探求結(jié)論，可以給人們提供一定的信息，幫助人們發(fā)現(xiàn)和提出新問題，豐富數(shù)學(xué)研究內(nèi)容，推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

1．2數(shù)學(xué)歸納法

所謂數(shù)學(xué)歸納法，一般地，證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n)，有如下步驟:

(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立。n0對于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況;

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n0，k為自然數(shù))P(k)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

綜合(1)(2)，對一切自然數(shù)n(≥n0)，命題P(n)都成立。

②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即:

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，有:

即當(dāng)n=k+1時(shí)，原式也成立．

根據(jù)①、②可得對一切自然數(shù)n原式都成立．

上述用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程是不對的，原因是當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論是利用拆項(xiàng)法推出來的，沒有利用歸納假設(shè)n=k這一步，這不符合數(shù)學(xué)歸納法的要求．

正確的解題方法應(yīng)為:當(dāng)n=k+1時(shí)，有:

因此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)，原式也成立。

值得注意的是數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可。完成第二步驟時(shí)，要運(yùn)用命題P(k)成立這一假定，去推導(dǎo)命題P(k+1)也成立。

1．3建模法

所謂建模方法，是分析和解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)過調(diào)查研究、了解對象信息、抽象簡化后，用數(shù)學(xué)的符號和語言，把它表述為數(shù)學(xué)式子，通過計(jì)算得到模型結(jié)果來解決實(shí)際問題，并接受實(shí)際檢驗(yàn)的方法。

例如:如果用6000元可以買一臺筆記本電腦，現(xiàn)在先付1200元，其余部分以貸款形式按每月付900元在6個(gè)月內(nèi)付清，那么，貸款的年利率為多少?

方法一:建立直觀模型。把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即每月還貸款800元計(jì)算，付21月的貸款利息為600元的貸款年利率多少?

由此得出期限(單位年)為21/12=7/4(年)

利息:600=800×i×7/4

i=42．86%

方法二:問題逐步分解。

(1)付款總額:1200+900×6=6600

(2)應(yīng)還利息:6600－6000=600

(3)借貸金額:6000－1200=4800(P)

(4)每月還清:4800/6=800(P/n)

(5)期限:(1+2+3+4+5+6)/12=7/4(年)

(6)600=800×i×7/4，i=42．86%

1．4數(shù)形結(jié)合法

所謂數(shù)形結(jié)合就是通過“數(shù)”與“形”之間的對應(yīng)、轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想。所謂“數(shù)”，就是指數(shù)或式，所謂“形”，就是指圖形或圖像。在一定的條件下，它們可以互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)“數(shù)”與“形”既對立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。

一般通過坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量化靜為動(dòng)求解?；蛲ㄟ^分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化到另一個(gè)角度來考慮，如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點(diǎn)間的距離等?；驑?gòu)造一個(gè)幾何圖形，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)圖表等。

解:

例2:已知最小正周期為2的函數(shù)y=f(x)，當(dāng)x∈［－1，1］時(shí)，f(x)=x2，則函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象與y=|log5x|的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為多少?

解:本題考查周期函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及含有絕對的函數(shù)的圖象的畫法，本題考查數(shù)形結(jié)合思想．由圖象可知，有5個(gè)交點(diǎn)。

例3．已知函數(shù)f(x)=|x2－4x+3|

若與y=x+a至少有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解:作出圖象．

既|x2－4x+3|=x+a，于是，在同一坐標(biāo)系下再作出y=x+a的圖象．

當(dāng)直線y=x+a過點(diǎn)(1，0)時(shí)，a=－1;

得x2－3x+a+3=0．由Δ=0．

2 結(jié)論

在教學(xué)過程中，為了很好的提高中學(xué)生問題解決的能力，應(yīng)該重視學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的掌握，重視學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解題的訓(xùn)練，從解題方法入手，引導(dǎo)數(shù)學(xué)思維，尋找解題技巧，同時(shí)，重視歸納總結(jié)，加強(qiáng)解題規(guī)律和方法的掌握，培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力。

學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的掌握，不是一朝一夕能做到的，需要教師根據(jù)教學(xué)實(shí)際，長期堅(jiān)持有目的、有計(jì)劃地進(jìn)行培養(yǎng)和訓(xùn)練。

［1］任樟輝.數(shù)學(xué)思維論［J］.廣西:廣西教育出版社，1990.

［2］鄭毓信，肖柏榮.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論［M］.四川:四川教育出版社，1989.

［3］涂榮豹.數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中的元認(rèn)知［N］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002.

［4］錢珮玲.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法［M］.北京:北京師范大學(xué)出版社，2001，9.

［5］徐利志.數(shù)學(xué)方法論選講［M］.武漢:華中科技大學(xué)出版社，2000，1.

The Analyses of the Application of Mathematical Method During the Process of Problem Solving in Middle School

ZHANG Hong－chao
(College of Mathematical Sciences，Hulunbuir College;Baotou 014030)

The article researchs the application of General mathematical method during the process of problem solving in middle school，and helps the middle school student to solve the problems through the guidance of mathematical method and form the effective strategies of solving the mathematical problems.

mathematical method;application;teaching in middle school

G632

A

1004－1869(2014)01－0095－04

2013－12－30

張鴻超(1968－):男，副教授，教育碩士，研究方向，數(shù)學(xué)教育。