曹金明

立體幾何是研究空間圖形的一門學科，要實現(xiàn)從平面幾何到立體幾何的思維飛躍與提升，需要在變化之中學習立體幾何.

一、注重概念的變化

對于平面幾何中的概念，在立體幾何中有些是適用的，有些不再適用，但需要重新加以定義才可適用.在平面幾何中有兩直線平行和垂直等表示位置關系的概念.在立體幾何中，要研究空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，當然要研究兩條直線所成的角、平行、垂直等關系.這些都是平面幾何中的概念在空間的拓廣.

平面幾何中角的定義是“由一點出發(fā)的兩條射線組成的圖形”，并以此為基礎引出兩條相交直線所成的角.在立體幾何中根據(jù)“平行公理”和“等角定理”，又引出兩條異面直線所成角的定義：由分別平行于兩條異面直線的兩條相交直線所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角.這樣就將平面的角拓廣為空間兩條異面直線所成的角.這個角的定義也為求兩條異面直線所成的角提供了思路，即通過將兩條異面直線平移，轉化成求同一平面內(nèi)兩條相交直線所成的角.

同樣，斜線與平面所成的角是指斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，這是一種利用射影將空間問題轉化成平面問題的方法.二面角的概念可以看成是平面幾何中角的概念的推廣： 平面幾何中角的定義是“由一點出發(fā)的兩條射線組成的圖形”，而立體幾何中二面角的定義是“從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的幾何圖形”.二面角可以由它的平面角來度量，這樣根據(jù)平面角的三要素，就將空間問題轉化成了平面問題.

在直線、平面位置關系的表述方面在平面幾何和立體幾何中既有完全不同的表述，又有在原來的基礎上相對統(tǒng)一又有些變化的表述.在平面幾何中的“垂直”與立體幾何中的“垂直”有所不同，平面幾何中的“垂直”表明兩條直線一定是相交的，而立體幾何中的“垂直”所涉及的兩條直線不一定“相交”，即兩條直線垂直僅保留了所成角的特點，這就給空間兩條垂直的直線以更大的自由度.在平面幾何中兩直線平行的定義是“在同一平面內(nèi)沒有公共點的兩條直線平行”，在立體幾何中直線與平面平行，兩個平面平行都是用“沒有公共點”來定義的，從概念的定義中不難看出它們的區(qū)別與聯(lián)系.

二、注重定理的變化

在平面幾何中的有些定理，在立體幾何中仍然適用，有的還可以推廣.

例如，在平面幾何中的定理“平行于同一條直線的兩條直線平行”在立體幾何中仍然適用，而且還可以推廣，如“平行于同一平面的兩個平面平行”；“角平分線上的任意一點到角的兩邊的距離相等”，可以推廣成“過二面角的棱作一個半平面將此二面角分成兩個相等的二面角（此半平面稱為此二面角的平分面），在這個半平面上的任意一點到二面角的兩個面的距離相等”.

在平面幾何中的有些定理，在立體幾何中卻不能適用.

例如，定理“垂直于同一條直線的兩條直線平行”，在空間就不再成立，垂直于同一條直線的兩條直線可能平行，可能相交，也可能是異面直線.

三、注重方法的變化

一個平面問題往往可以拓廣成一個空間問題.反之，有些空間問題，往往由一個對應的平面問題與它有相同（或相似）的形式與結構，解決這一平面問題的方法往往對解決相應的空間問題有很大的提示作用.這就是解決空間問題的類比方法.

另外，在平面幾何中處理問題的有些方法，在立體幾何中仍然適用.如平面幾何中求三角形內(nèi)切圓半徑的方法：設DABC的面積為S，三邊分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，圓心為O，其證明方法是將點O與三角形頂點連接起來，利用三個小三角形面積之和為定值（原三角形的面積），可以求出三角形內(nèi)切圓半徑r=2Sl（其中l(wèi)是三角形的周長）.

類似地，在立體幾何中求四面體內(nèi)切球半徑時，也可以將內(nèi)切球的球心與與四面體各頂點連接起來，則原四面體分為四個小四面體，利用四個小四面體的體積之和為定值（原四面體的體積），可以求出四面體內(nèi)切球的半徑r=3VS（其中V，S分別是四面體的體積和表面積）.

當然，利用向量的方法解決立體幾何中的“關系問題”和“度量問題”是一種重要而實用的方法.

在學習立體幾何時除了要注重概念的變化、定理的變化、方法的變化外，研究直線和平面的關系和性質時，應該以“運動”思路來探究.即在滿足某些約束條件的情況下，讓直線和平面運動起來，可以保持平面不動，讓直線旋轉或平移，也可以保持直線不動，讓平面旋轉或平移.通過這種運動，可以構成千萬個活動著的圖形，這樣，對于深入理解概念及判斷一些命題是否正確，是大有好處的.