李賢鍇

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，在教材中沒有專門的章節(jié)介紹它，而是伴隨著基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)和做題練習(xí)而展開的.在教學(xué)中，要重視對常用數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉，它們是數(shù)學(xué)的精髓，是解題的指導(dǎo)思想.

一、建模思想

建模思想就是通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題的一種思想方法.

例如，在講“分式”時，分式方程是將具體問題“數(shù)學(xué)化”的重要模型，通過經(jīng)歷“實際”問題-分式方程模型-求解-驗證解的合理性的“數(shù)學(xué)化”過程，體會分式方程的模型思想.分式是“整式”之后對代數(shù)式的進(jìn)一步研究，所以研究方法與整式相同.如，讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示現(xiàn)實情境中數(shù)量關(guān)系（分式、分式方程）的過程，經(jīng)歷通過觀察、歸納、類比、猜想獲得分式基本性質(zhì)以及分式加、減、乘、除運(yùn)算法則的過程，體會分式、分式方程的模型思想，進(jìn)一步發(fā)展符號感.

二、方程思想

方程思想是指把一個數(shù)學(xué)問題通過途徑轉(zhuǎn)化為方程，從而使問題得到解決的數(shù)學(xué)思想方法.它在探索解題思路時經(jīng)常使用，特別是對解決與數(shù)量有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時行之有效.

例如，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-3，-2）和點(diǎn)B（1，6），求此函數(shù)的解析式.解答此題，可先設(shè)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b，再把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，即可得到一個二元一次方程組，解此方程組即可求出k，b的值，從而確定函數(shù)的解析式.利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)y=kx+b中兩個待定的系數(shù) k，b，其實質(zhì)是根據(jù)已知條件列出k，b的二元一次方程組，從而把一次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組問題，既體現(xiàn)了方程的思想，也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.

三、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是將要研究和解決的問題轉(zhuǎn)化為另一個容易解決的問題或已經(jīng)解決的問題，即把“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”，把“未知”轉(zhuǎn)化“已知”，把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”，把“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”的思想方法.在解答數(shù)學(xué)問題時，如果直接求解比較困難時，就可以將其轉(zhuǎn)化為另一種形式求解.

在一些數(shù)學(xué)問題的解決中，轉(zhuǎn)化思想成了一種很適用的解題技巧.轉(zhuǎn)化思想注重把注意力和著眼點(diǎn)放在問題的結(jié)構(gòu)上，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，適時地調(diào)整和改變原有的思維方式，以求得問題的解決.可以說，轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題中的一個很重要的策略或解題技巧.

四、數(shù)形結(jié)合思想

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休.”說得真好.這句話很形象地說明了數(shù)形結(jié)合的重要意義.數(shù)和式是問題的抽象與概括，圖形和圖象則是問題的具體化與直觀化.作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可以分為兩大類型，或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；或者借助形的直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”.

五、類比思想

類比是一種在不同的對象之間，或者在事物與事物之間，根據(jù)它們的某些方面（如特征、屬性、關(guān)系等）的相似之處進(jìn)行比較，通過聯(lián)想和猜想，推斷出它們在其他方面也可能相似，從而建立猜測和發(fā)現(xiàn)真理的方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比可以幫助學(xué)生利用已有的知識來認(rèn)識、理解和掌握新知識.

例如，在講“分式和最簡分式的概念”時，通過類比分?jǐn)?shù)，從具體到抽象、從特殊到一般地認(rèn)識分式.分?jǐn)?shù)與分式的關(guān)系是具體與抽象、特殊與一般的關(guān)系.分?jǐn)?shù)等表示具體的數(shù)值，或者說每個分?jǐn)?shù)表示兩個特殊的整數(shù)的除法；分式則具有一般的、抽象的意義.分式的概念、基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則，都是從分?jǐn)?shù)的概念、基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則中經(jīng)過再抽象而產(chǎn)生的.在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)對分?jǐn)?shù)有較多的了解，因此在學(xué)生對分?jǐn)?shù)已有認(rèn)識的基礎(chǔ)上，通過分式與分?jǐn)?shù)的類比，從具體到抽象、從特殊到一般地認(rèn)識分式.從學(xué)情分析來看，經(jīng)過七年級一年的學(xué)習(xí)，學(xué)生初步養(yǎng)成了自主探究意識.一方面，在七年級上冊中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式，分式與整式一樣也是代數(shù)式，因此研究與學(xué)習(xí)的方法與整式相類似；另一方面，“分式”是“分?jǐn)?shù)”的“代數(shù)化”，學(xué)生可以通過類比進(jìn)行分式的學(xué)習(xí).

六、分類討論思想

依據(jù)數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做分類的思想.將事物進(jìn)行分類，然后對劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的方法都屬于分類探究的方法.事實上，某些數(shù)學(xué)問題涉及的概念、法則、性質(zhì)、公式是分類給出的，或者在解答過程中，條件或結(jié)論不唯一時，會產(chǎn)生幾種可能性，這時就需要分類討論，從而得出各種情況下的結(jié)論.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重分類討論思想的引導(dǎo)，可以考查學(xué)生思維的周密性，使其克服思維的片面性，防止漏解.分類必須遵循以下兩條原則：（1）每一次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；（2）分類要做到不重復(fù)、不遺漏.分類的步驟要求：（1）明確對象的全體；（2）確定分類標(biāo)準(zhǔn)；（3）分類討論；（4）歸納小結(jié)得出結(jié)論.