王博

【摘要】數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)的知識(shí)，解決幾何的問(wèn)題.實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)；函數(shù)；簡(jiǎn)化；線性規(guī)劃

通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，它包含以形助數(shù)和以數(shù)輔形兩個(gè)方面，利用它可以把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀之長(zhǎng)，是優(yōu)化解題過(guò)程的重要途徑之一，是一種基本的數(shù)學(xué)方法.

在高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的如在解方程和解不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的值域、最值問(wèn)題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)解題中.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越.要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野.

1.解決集合問(wèn)題

在集合運(yùn)算中常常借助于數(shù)軸、Venn圖來(lái)處理集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，從而使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，使運(yùn)算快捷明了.

2.解決函數(shù)問(wèn)題

借助于圖像研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法.函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法.

3.解決方程與不等式的問(wèn)題

處理方程問(wèn)題時(shí)，把方程的根的問(wèn)題看作兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題；處理不等式時(shí)，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路.

例1 已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c（x<0）

2（x≥0），且f（-4）=f（0），f（-2）=-2，則方程f（x）=x解的個(gè)數(shù)為 .

解 利用幾何圖形來(lái)解題.

-b2×1=-2，則b=4，4×1×c-424×1=-2，則c=2.

因此f（x）=x2+4x+2.

注意：這里y1=f（x），y2=x.因此，解的個(gè)數(shù)是3個(gè).

4.解決三角函數(shù)問(wèn)題

有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問(wèn)題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖像來(lái)處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問(wèn)題的重要方法.

例2 函數(shù)y=sin2x+5π6的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是（ ）.

A.x=-π2 B.x=-π4 C.x=π3 D.x=5π4

解析 對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像作深入的觀察，可知，若直線x=a通過(guò)這一曲線的一個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，則它必為曲線的一條對(duì)稱(chēng)軸.因此，解這個(gè)問(wèn)題可以分別將x=-π2，-π4，π3，5π4代入函數(shù)的解析式，易得x=π3時(shí)，y=-1.故選C.

注意 要善于觀察圖形，發(fā)現(xiàn)基本性質(zhì).如本題若不能很好地掌握函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像性質(zhì)，而機(jī)械地畫(huà)出函數(shù)y=sin2x+5π6的圖像及其對(duì)稱(chēng)軸，雖然也可以做對(duì)，卻浪費(fèi)了寶貴的時(shí)間.

5.解決線性規(guī)劃問(wèn)題

線性規(guī)劃問(wèn)題是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值的問(wèn)題.從圖形上找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

例3 （ 2006年湖南）已知x≥1，

x-y+1≤0，

2x-y-2≤0，則x2+y2的最小值是.

解 在坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域，如圖所示，其中A（1，2），B（3，4）.將目標(biāo)函數(shù)x2+y2看成可行域中的點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)O的距離x2+y2的平方.則當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，x2+y2的最小值是5.

6.解決數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù).用數(shù)形結(jié)合的思想研究數(shù)列問(wèn)題是借助函數(shù)的圖像進(jìn)行直觀分析，從而把數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題來(lái)解決.

7.解決解析幾何問(wèn)題

解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解題中善于將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于對(duì)點(diǎn)、線、曲線的性質(zhì)及其相互關(guān)系的研究中.

例4 已知直線y=k（x+2）和雙曲線x2-4y2=4只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的不同取值有（ ）.

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

解析 如圖，y=k（x+2）的圖像是過(guò)定點(diǎn)（-2，0）的直線系，雙曲線的漸近線方程為y=±12x.故過(guò)點(diǎn)（-2，0）且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同的值.此外，過(guò)點(diǎn)（-2，0）且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同的值.故正確答案為D.

8.解決立體幾何問(wèn)題

立體幾何中用坐標(biāo)的方法將幾何中的點(diǎn)、線、面的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)行研究，可將抽象的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化純粹的代數(shù)運(yùn)算.

數(shù)形結(jié)合是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念和數(shù)感，進(jìn)行形象思維與抽象思維的交叉運(yùn)用，使多種思維互相促進(jìn)、和諧發(fā)展的主要形式；數(shù)形結(jié)合教學(xué)又有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.