李志江

【摘要】本文指出了導(dǎo)數(shù)教學(xué)中的幾個問題以及創(chuàng)新處理的方法.包括：求解瞬時速度的分析； 復(fù)合函數(shù)的分解與求導(dǎo)； 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的兩個易錯點(diǎn)； 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)價值.以往對此問題的研究很少，本文通過分析得出了巧妙引入導(dǎo)數(shù)概念的方法、求導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵之處和導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中的易錯點(diǎn)以及對策.

【關(guān)鍵詞】微積分；瞬時速度；復(fù)合函數(shù)；導(dǎo)數(shù)

微積分教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一，導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)一般被認(rèn)為是比較簡單的，因而無論是講授還是學(xué)習(xí)的時候都容易掉以輕心.對于微積分的學(xué)習(xí)，極限思想是基本思想，導(dǎo)數(shù)概念是基本概念，掌握不好導(dǎo)數(shù)概念及其求解方法就無法學(xué)好導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，而積分和求導(dǎo)數(shù)是逆運(yùn)算的關(guān)系，不會求導(dǎo)去積分更是天方夜譚.結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)及學(xué)生本身的認(rèn)知特點(diǎn)，本文主要給出導(dǎo)數(shù)教學(xué)中幾個問題以及創(chuàng)新處理的方法.

一、概念引入時的矛盾論

導(dǎo)數(shù)概念的引入，一般教材都要利用牛頓提出的求變速直線運(yùn)動在某一時刻的瞬時速度這個例子，即已知物體作變速直線運(yùn)動，其運(yùn)動方程為s=s（t） （s表示位移，t 表示時間），求物體在 t0 時刻的速度.根據(jù)在中學(xué)階段學(xué)習(xí)的物理知識知道運(yùn)動物體的速度等于位移除以時間即v=st，但是利用這個公式所求的速度是物體的平均速度，在目前階段也只能求物體的平均速度.設(shè)該物體在時刻t0的位置是s（t0），在時刻t0 +Δt的位置是s（t0+Δt），則從t0 到 t0 +Δt這段時間內(nèi)，物體的位移是Δs=s（t0+Δt） -s（t0），所以在時間段Δt=（t0+Δt）- t0內(nèi)物體的平均速度為： v=ΔsΔt，然而求出平均速度并沒有求出物體的瞬時速度.在這個地方實(shí)際上有個矛盾，一是我們可以看出來如果Δt這個時間增量越小即越接近于0那么平均速度就會越接近時刻t0的瞬時速度，二是平均速度的求解公式中Δt是分母不能等于0.這個矛盾的解決實(shí)際上體現(xiàn)了極限思想的優(yōu)越性，即讓Δt無限接近于0同時又不能其等于0的方法，就是讓Δt趨近于0.因此對上述v求出當(dāng)Δt時→0的極限，這個極限的結(jié)果就是運(yùn)動物體在t0的瞬時速度vt0，而得到這個極限后再進(jìn)一步分析，這個極限實(shí)際上是個函數(shù)增量與自變量增量比值的極限，也就是函數(shù)變化率的問題.對于這個引例的精心分析和細(xì)致講解，一方面可以充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和進(jìn)一步深化極限思想，另一方面對于學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的定義有非常重要的作用.

二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

導(dǎo)數(shù)這部分知識的學(xué)習(xí)，如何求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是個重點(diǎn)內(nèi)容，對于函數(shù)求導(dǎo)基本方法一般都認(rèn)為有直接積分法（直接利用公式法）、四則運(yùn)算法則、反函數(shù)求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，對于一些特殊的函數(shù)還有隱函數(shù)求導(dǎo)法和對數(shù)求導(dǎo)法.函數(shù)求導(dǎo)的易錯點(diǎn)和難點(diǎn)之一就是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，例如對函數(shù)y=ln（x+1+x2）求導(dǎo)，這是一個常見的函數(shù)求導(dǎo)問題，其方法就是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則解決，但是學(xué)生在具體應(yīng)用時候會出現(xiàn)各種各樣的錯誤，比如有以下幾種情況：

1.求出y′=1x+1+x2，出錯的原因是沒有進(jìn)行復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，只是把y當(dāng)作一個簡單函數(shù)求導(dǎo).

2.求出y′=1x+1+x2（x+1+x2），出錯的原因是在求解過程沒有對1+x2求導(dǎo).

3.求出y′=1x+1+x2（x+1+x2）2x，其錯誤原因是求導(dǎo)過程混亂、思路不清晰.

綜合以上幾種情況下面給出解決問題的建議.

我們認(rèn)為處理這類題目的關(guān)鍵是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，即鏈?zhǔn)椒▌t的運(yùn)用，要掌握其基本方法和基本思路，那就是分解、求導(dǎo)、消去中間變量.當(dāng)然這里面其實(shí)求導(dǎo)和消去中間變量難度較小，最容易出錯和不好把握的反而是復(fù)合函數(shù)的分解，對于給了一個復(fù)合函數(shù)如何分解是很多學(xué)生頭疼的問題，甚至很多老師在這個地方也容易說不清楚，很容易出現(xiàn)模棱兩可的現(xiàn)象.其實(shí)在這個地方體現(xiàn)了對于復(fù)合函數(shù)分解 “度”的把握問題，將復(fù)合函數(shù)分解成的各個函數(shù)應(yīng)該是基本初等函數(shù)或者是基本初等函數(shù)的和差積商，因此將上述函數(shù)分解為：y=lnu，u=x+v，v=w，w=1+x2，分解好了再去求導(dǎo)就直接利用公式即可，最后再消去中間變量.由此看來，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本方法中關(guān)鍵不是求導(dǎo)了，反而是對于復(fù)合函數(shù)的正確分解.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是求導(dǎo)數(shù)這一類問題中非常容易出錯的點(diǎn)，特別是在初始階段.如果真正地利用上述描述的這個步驟來操作，就能避免出現(xiàn)求導(dǎo)不到位或者求導(dǎo)過多的現(xiàn)象.

三、導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)價值

我曾經(jīng)見到這樣一道題目：一位汽車司機(jī)在收費(fèi)亭處拿到一張罰款單，說他在限速70公里/小時的收費(fèi)道路上2小時內(nèi)走了148公里，罰款單列出的違章理由是超速行駛，問收費(fèi)亭做得是否正確并說明理由.估計很多學(xué)生都會對這個問題感興趣，這是大家日常生活中比較常見的一個問題，但是一般還真不好回答這個問題，因?yàn)橛X得收費(fèi)亭肯定是正確的，可理由又說不出來.其實(shí)如果學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)并進(jìn)一步研究它的應(yīng)用，那么這個問題就很容易回答了.具體來說是這樣的，學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)后一般教材在研究導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時都要學(xué)習(xí)三個中值定理.其中有個Lagrange定，理其物理解釋是：函數(shù)在[a，b]上的平均變化率等于在（a，b）內(nèi)某個點(diǎn)處的瞬時變化率.我們通過對導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)已經(jīng)知道速度就是位移對時間的變化率，瞬時速度就是瞬時變化率，所以對于該題目而言，汽車司機(jī)的平均變化率也就是平均速度是74公里/小時，而道路的限速是70公里/小時，所以肯定是超速了.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)有關(guān)知識去分析和解決類似這個題目的問題，是數(shù)學(xué)知識來源于生活又回到生活的典型范例，此類運(yùn)用可以讓枯燥的數(shù)學(xué)課堂生動起來.