章志生

【摘要】正確解決排列組合問題關(guān)鍵是認清問題特征，選擇合適方法.確定正確的分類標準并貫穿解題過程的始終，是處理“全能”問題的關(guān)鍵.

【關(guān)鍵詞】排列組合；全能問題；方法

在排列組合問題的教學(xué)中，一題多解似乎是不少老師特別是年輕教師公認的禁忌，因為很多排列組合應(yīng)用題換一種解法，往往很有道理卻又答案不同，要在諸多方法當中辨出個李逵和李鬼真的很傷腦筋.所以不少老師在這一部分的教學(xué)中十分謹慎，不敢隨意變題，甚至輕易否定學(xué)生的其他思路，怕自己被繞進去.而教者以為，善教者能于無疑處起疑，我們又怎能在有疑處回避呢？相反，即便是錯誤的思路，卻也是訓(xùn)練學(xué)生思維能力的絕好機會，怎可隨便放過！

教者在教學(xué)中就遇到了這樣一個情況，在一次練習的講評課上，一道常見的排列組合問題由不同的學(xué)生用不同的方法得出了不一樣的答案，而且公說公有理婆說婆有理，到底誰是誰非呢？教者靈機一動，暫先不置可否，順勢開展了一次課堂探討活動.

1.問題的導(dǎo)入

問題是這樣的：某歌舞演出隊共有10人，其中7人能唱歌，5人會跳舞，今從10人中選2人唱歌2人跳舞，問共有多少種不同的選派方案？

這是排列組合問題中的一種常見的易錯題，通過簡單分析學(xué)生容易得到其中既會唱歌又會跳舞的是7+5-10=2人，只會唱歌的是7-2=5人，只會跳舞的是5-2=3人.因其中有2人既會唱歌又會跳舞，屬于“全能”型，所以平時教學(xué)中我們常把類似問題通俗地稱為“全能”問題或“多面手”問題.教學(xué)中教者結(jié)合多數(shù)同學(xué)的意見引導(dǎo)學(xué)生抓住一個線索：唱歌選手的來源！分三類情形：

第一類，從只會唱歌的5人中選2人唱歌，此時還有5人會跳舞，從中任選2人跳舞，有C25·C25=100種方法；

第二類，從只會唱歌的5人和全能的人中各選選1人唱歌，從剩下的4個會跳舞的人中選2人，有C15·C12·C24=60種方法；

第三類，2名全能選手全被選出唱歌，剩下3名會跳舞者選2人，有C22·C13=3種.

故本題共有100+60+3=163種不同的方法.

因課前曾讓同學(xué)們預(yù)習過，所以同學(xué)們對本題也有過比較深入的思考.大家理解了這種思路后，立刻對自己的原有思路進行反思，紛紛提出自己的見解，于是引發(fā)了如下的討論.

2.“錯誤”的產(chǎn)生與爭論

學(xué)生甲：因為7+5=12>10，這說明，10人中有2人既會唱歌也會跳舞，有5人只會唱歌，有3人只會跳舞.于是我分兩類考慮：第一類，從只會唱歌的5人中選2人唱歌再從會跳舞的5人中選2人跳舞；第二類，從只會跳舞的3人中選2人跳舞再從會唱歌的7人中選2人唱歌.這樣共有C25·C25+C23·C27=163種不同的選派方案.

巧了，正好與參考答案吻合，而且各類人都用到了.甲的方法對不對呢？教者啟發(fā)大家共同思考.

于是學(xué)生乙很快站起來指出：甲同學(xué)的解決方案初一看似乎合理，但是細一想，漏洞是很明顯的，兩名全能選手中1人唱歌1人跳舞的情形沒有考慮到，而兩類方法中2名全能選手均未被選中的情形又重復(fù)計算了.

教者：那么重復(fù)計算的部分和遺漏的部分能否抵消呢？

大家快速計算：1人唱歌1人跳舞的有C12·C15·C13=30種情形，2人均未被選中的情形有C25·C23=30種，兩種結(jié)果完全相同，重復(fù)計算的部分和遺漏的部分正好抵消了！

教者：這兩個數(shù)據(jù)的抵消，是其中暗藏著一種規(guī)律還是僅在本題中恰是一次巧合呢？我們把數(shù)據(jù)改一改，看看這種做法是否行得通？

學(xué)生當場把數(shù)據(jù)換換，得到了一個變題：某歌舞演出隊共有10人，其中8人能唱歌，6人會跳舞，今從10人中選2人唱歌2人跳舞，問共有多少種不同的選派方案？

大家立刻展開演算：

依照甲同學(xué)的處理方法，可以這樣列式：8+6-10=4，10人中有，4人既會唱歌也會跳舞，有4人只會唱歌，有2人只會跳舞.于是：第一類，從只會唱歌的4人中選2人唱歌再從會跳舞的6人中選2人跳舞；第二類，把只會跳舞的2人選出來跳舞再從會唱歌的8人中選2人唱歌.這樣共有C24C26+C22C28=118種不同的選派方案.

而以唱歌選手的來源為線索得到如下結(jié)果：C24C26+C14C14C25+C24C22=256，結(jié)果不同了！不用多說，顯然前例的結(jié)果相等只是一種巧合！

3.基本方法的歸納

那么，此類問題的一般性的思考方式是什么呢？應(yīng)當以什么為抓手呢？經(jīng)過反復(fù)討論，大家形成共識：從集合論的角度看，“全能”的對象其實就是兩個集合的公共元素.解題時可以應(yīng)用文恩圖先求得對應(yīng)集合的元素個數(shù)，再由分類原理按元素的性質(zhì)進行分類，依照事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，最后將各類方法數(shù)相加.分類時要做到標準明確，分步層次清楚，不重不漏.分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終，是解決此類問題必須堅持的原則.