陳姚佳

摘 要：激光束照射在鏡面圓柱上會產(chǎn)生奇妙的光帶。本文通過物理建模和數(shù)學證明發(fā)現(xiàn)這些光帶的形狀為圓錐曲線，并通過設計裝置對證明結果進行實驗驗證，最后給出這種現(xiàn)象潛在的應用前景。

關鍵詞：激光束；鏡面圓柱；圓錐曲線；離心率；實驗裝置

上課時，從老師激光筆發(fā)出的光束無意中照在具有鏡面圓柱的金屬教鞭上，竟然在黑板上反射出一條漂亮光滑的曲線光帶。這一奇妙的物理現(xiàn)象（如圖1所示）引起了我的好奇。我反復做了多次實驗，發(fā)現(xiàn)通過調(diào)整激光的入射角度或者改變具有鏡面圓柱的天線（或小不銹鋼針）與墻壁所成的角度，可以改變反射到墻壁上的曲線光帶的形狀，而且這些光帶具有一定的變化規(guī)律。這些發(fā)現(xiàn)引起我極大的興趣，于是想探究產(chǎn)生這些現(xiàn)象的原因。

一、 物理建模與數(shù)學證明

為了研究上述現(xiàn)象，我首先將研究對象確定為：當激光束垂直于反射投影面時，激光束照射到鏡面圓柱側面所產(chǎn)生的典型光帶形狀。同時利用光反射的物理定律，即激光束沿直線傳播，其照射的鏡面圓柱側面可視為許多小鏡面。然后，采用高中數(shù)學中立體幾何等知識進行數(shù)學證明。

假設激光線束MA垂直于投影平面照射在點C（如圖2所示），同時射到鋼針JI的點A上，MA與JI所成的夾角為α，直線JI與平面π相交于點B。易知若圓柱的外側面為鏡面，一束光線在其外側面上進行反射，則反射光線與圓柱的軸所成的夾角等于入射光線與該圓柱的軸所成的夾角。于是激光束的反射光線可視為經(jīng)過入射點A形成了一個圓錐面Ω，在平面π與圓錐面Ω圍成的幾何體內(nèi)作一個球O，使得它與圓錐面相切于圓R且與平面相切與點D，記圓R所在平面為平面π′，圓錐面Ω與平面π相交所得的軌跡是一條曲線Γ，平面π與平面π′交于直線m。直線AB為圓錐面Ω的軸，直線BD的延長線與平面π′交于點G，平面ABD與圓錐面Ω相交于射線AE和射線AF，點E和點F都在平面π′上。顯然，直線GE是直線GD在平面π′內(nèi)的射影并且經(jīng)過點R?！螩GE是平面π與平面π′所成的二面角之平面角。設直線AF與平面所成夾角大小為β，顯然0°<β<90°，且∠AFR =∠CEG=β。由幾何光學知識可知∠CAB=∠MAJ =∠BAF=α。于是得到α+β=90°。這樣就可以在直角三角形CEG中，∠CGE=α。

從上述數(shù)學證明可得到如下結論：（1） 當入射激光MA與鏡面圓柱鋼針JI所成的夾角為α時，在垂直激光光束的反射投影面上所產(chǎn)生光帶曲線上任意一點到焦點的距離和到準線的距離之比是定值。根據(jù)圓錐曲線第二定義，可推出這些光帶曲線為圓錐曲線。（2） 從上述數(shù)學證明，我們得到圓錐曲線的光帶形狀是受到離心率的控制，e=tanα給出了α角與所顯示的圓錐曲線離心率e的定量關系。當α<π/4時，Γ為一條橢圓曲線；當α=π/4時，Γ是一條拋物線；當α>π/4時，Γ變成雙曲線的一支。通過改變?nèi)肷浼す馀c小鋼針的夾角α，可以獲得橢圓、拋物線和雙曲線的光帶。

二、裝置設計與實驗驗證

根據(jù)公式e=tanα，經(jīng)過認真思考和多次改進，依據(jù)圖3實驗原理圖（a），我設計并制作了如圖3（b）所示的實驗裝置。該裝置由激光筆、反射效果好的不銹鋼圓柱鋼針、底座、固定支架、有刻度的轉(zhuǎn)盤、水平儀等組成。該裝置操作方便，可直接讀出夾角α和圓錐曲線的離心率e。實驗中我發(fā)現(xiàn)圓柱鋼針的軸線應平行于水平面，并使激光發(fā)射點的圓形小孔直徑不大于圓柱鋼針的直徑。我還設計如圖3（c）所所示的刻度表盤，該旋轉(zhuǎn)圓盤上不僅可指示夾角α，還可直觀讀出離心率為e的大小。當激光筆發(fā)出的激光束射到圓柱鋼針時，通過改變轉(zhuǎn)盤的角度可以準確控制所反射出來的圓錐曲線的離心率，在與激光束垂直的投影面（如墻壁、白板或黑板）投射出不同形狀的圓錐曲線。

在實驗中，通過調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)圓盤的角度以控制α的大小，實驗結果如圖4所示，其與理論推導與計算結果吻合。

三、 總結與展望

本文從激光筆發(fā)出的激光束照射在鏡面圓柱所產(chǎn)生奇妙光帶這一有趣物理現(xiàn)象出發(fā)，構建了可定量研究的物理模型，從數(shù)學上論證解析了這一物理現(xiàn)象。在此基礎上，我還設計并制作了一款可準確控制并直觀演示離心率的實驗裝置，研究了激光束與鏡面圓柱夾角變化所引起的圓錐曲線的變化規(guī)律。目前，我正在進一步研究圓柱鋼針的形狀和表面瑕疵與光帶形狀畸變的規(guī)律，這對于在線快速判斷工件的加工精度是非常有用的。此外，由于利用本文的實驗裝置可以便捷、精確地展示實現(xiàn)不同的圓錐曲線，因此可望應用于數(shù)學、物理等教學實踐。