肖自萌

摘要：導數是聯(lián)系高等數學與初等數學的紐帶，高中階段引進導數的學習有利于學生更好地理解函數的性質，導數能幫助那些之前沒學好解析式、值域、最(極)值、單調區(qū)間等函數問題以及切線問題、不等式問題、數列問題的學生重新認識這些知識點，而且導數在高中數學中占有很大的比例，在高考中，它是重點的考察內容。

關鍵詞：導數；新課程；應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)07-0135

導數在現行的高中數學教材中處于一種特殊的地位，導數的問題具有綜合性強、方法靈活的特點，它不僅考查學生基礎知識、基本方法的掌握情況，也能考查學生創(chuàng)造思維能力，以及學生繼續(xù)學習高數的潛質，本文主要闡述筆者對導數的淺薄認識。

一、導數在高中數學新課程中的地位

《數學課程標準》指出：高中數學課程是由必修課程和選修課程兩部分構成的。必修課程是整個高中數學課程的基礎，選修課程是在完成必修課程學習的基礎上，希望進一步學習數學的學生根據自己的興趣和需求選修。在選修1-1和選修2-2中都選擇了導數及其應用。顯然，導數的重要性不言而喻。

1. 有利于學生更好地理解函數的性質、掌握函數的思想

數形結合是高中數學的重要思想方法，它能讓我們更快、更準確地得出答案，而這里準確作圖是關鍵的一步，如果所涉及的函數是基本初等函數，用描點法就可以作出函數的圖像。但是，如果所涉及的函數是非基本初等函數，比如y=x3-2x2+x-1，y=ex-x-1等函數，僅用描點法就很難較為準確地作出圖像。但是，掌握了導數的知識之后，學生就可以利用函數的一階導數判定函數的單調區(qū)間、極值點、最值點；這樣根據這些性質，學生能夠畫出更加準確的圖像，進而用數形結合進行解題。

其實我們不難發(fā)現，函數是建立在中學數學知識和導數之間的一座橋梁，不管是在證明不等式，解決數列求和的有關問題，還是解決一些實際應用問題，我們都可以構造函數模型，并且利用導數，來解決相關問題。

2. 有利于學生弄清曲線的切線問題

學生由于受“圓上某點的切線”的定義的影響，誤認為曲線在某點處的切線，就是與曲線有一個公共點的直線。如果學習了導數的定義及其幾何意義后，學生就知道f(x)在點x=x0的切線斜率k，正是割線斜率在x→x0時的極限，即

k=lim

由導數的定義k=f ′(x)，，所以曲線y=f (x)在點(x0，y0)的切線方程是y-y0=f ′(x0)(x0，y0)

這就是說：函數f在點x0的導數f ′(x0)是曲線y=f (x)在點(x0，y0)處的切線斜率。

從而，學生就掌握了切線的一般定義：設有曲線C及C上的一點P，在點P外另取曲線C上一點Q，作割線PQ，當點Q沿曲線C趨向點P時，如果割線PQ繞點P旋轉而趨向極限位置PT，那么直線PT就稱為曲線C在點P處的切線。

二、導數在解題中的應用

導數給高中數學增添了新的活力，特別是導數廣泛的應用性，為解決函數、切線、不等式、數列等實際問題帶來了新思路、新方法，而高考中導數的應用更是層出不窮，以下我們看看導數的類型題。

1. 利用導數解決函數問題

(1)利用導數求函數的解析式

用解析式表示函數關系，便于研究函數的性質，而利用導數求函數的解析式，函數的一些基本性質就會顯得更加地明了。

例1. 已知函數f(x)=的圖象在點M(-1，f(-1))處的切線的方程為：x+2y+5=0。求函數的解析式。

解：由函數f(x)=的圖象在點M(-1，f(-1))處的切線的方程為：x+2y+5=0知：-1+2f(-1)+5=0，即f(-1)=-2，f ′(-1)=-。

∵f ′(x)=，解得：a=2，b=3(∵b+1≠0，b=-1舍去)。所以所求的函數的解析式為：f (x)=

(2)利用導數求函數的值域

求函數的值域是中學數學中的重點，也是難點，方法因題而異，不易掌握。但是，如果學生采用導數來求解，則較為容易，且一般問題都可行。

例2. 求函數y=x2-2x+5，x∈[0，3]的值域。

分析：先確定函數的定義域，然后根據定義域判斷f ′(x)的正負，進而求出f (x)函數的值域。

解：由y′=2x-2=0得x=1，又x=1，y=1-2+5=4，又x=0時y=5，x=3時，y=9-6+5=8，∴函數的值域為[4，8]。

注：變式的解法很多，除了答案中給出的導數的方法外，還可以利用配方來求解：y=x2-2x+5=(x-1)2+4，∵0≤x≤3，∴-1≤x-1≤2，∴0≤(x-1)2≤4，∴4≤(x-1)2≤8，即值域為[4，8]，另外，我們還可以結合二次函數的圖象來進行求解。

(3)利用導數求函數的最(極)值

求函數的最(極)值是高中數學的重點，也是難點，是高考經常要考查的內容之一，它涉及到了函數知識的很多方面，用導數解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰，也容易掌握，從而進一步明確函數的性態(tài)。

一般地，函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上可導，則f(x)在[a，b]上的最值求法：(1) 求函數f(x)在(a，b)上的極值點；(2)計算f(x)在極值點和端點的函數值；(3)比較f(x)在極值點和端點的函數值。

例3.求函數f(x)=x4-8x2+2在區(qū)間[-1，3]上的最大值和最小值。

分析：先求出f(x)的極值點，然后比較極值點與區(qū)間[-1，3]端點的函數值，即可得該函數在區(qū)間上的最大值和最小值。

解：f ′(x)=4x3-16x=4x(x+2)(x-2)，令f ′(x)=0得x1=-2，x2=0，x3=2。導數f ′(x)的正負以及f(-1)，f(3)如下表：

從上表可以看出，當x=3時，函數有最大值11；當x=2時，函數有最小值14。

(4)利用導數求函數的單調區(qū)間

函數的單調性是函數的一個重要性質，是研究函數時經常要注意的一個性質。函數的單調性與函數的導數密切相關，運用導數知識來討論函數單調性時，結合導數的幾何意義，只需考慮f ′(x)的正負即可，當f ′(x)>0時，f(x)單調遞增；當f ′(x)<0時，f(x)單調遞減。此方法簡單快捷而且適用面廣。

例4. 已知函數f(x)=x3-3ax2+2bx在點x=1處有極小值-1，試確定a，b的值，并求出f(x)的單調區(qū)間。

分析：應先利用極值確定f(x)函數中的參數a，b，再利用導數討論其單調區(qū)間。

解：f ′(x)=3x2-6ax+2b根據題意有x=1是方程f ′(x)=0的一個根，則3-6a+2b=0，又f(1)=1-3a+2b=-1解得a=，b=，此時f(x)=x3-x2-x，f ′(x)=3x3-2x-x，由f ′(x)>0得x<-或x>1；由f ′(x)<0得-

2. 利用導數解決切線問題

求過某一點的切線方程，這種題型分為點在曲線上和點在曲線外兩種情況，f ′(x0)的幾何意義就是曲線在點P(x0，f(x0))處切線的斜率，過點P的切線方程為y-f(x0)=f ′(x0)(x-x0)，但應注意點P(x0，f(x0))在曲線y=f(x)上，否則易錯。

例5. 若曲線y=x2+1的切線垂直于直線2x+6y+3=0，試求這條切線的方程。

分析：此類題型為點不在曲線上求切線方程，應先設出切點坐標，表示出切線方程，把已知點代入方程，求出切點坐標后，再求切線方程

解：容易求y′=3x，因為切線垂直于直線2x+6y+3=0，所以切線的斜率為3，令f ′(x)=0得x0=1，所以切點的坐標為(1，)，所以所求的切線的方程為y-=3(x-1)，即6x-2y=0。

3. 利用導數解決含參不等式問題

縱觀這幾年的高考，凡涉及到不等式證明的問題，其綜合性強、思維量大，因此歷來是高考的難點。利用導數證明不等式，就是利用不等式與函數之間的聯(lián)系，直接或間接地等價變形后，結合不等式的結構特征，構造相應的函數。通過導數運算判斷出函數的單調性，將不等式的證明轉化為函數問題。

例6. 已知函數f(x)=x3-x2+bx+c，若f(x)在x=1時取得極值，且x∈[-1，2]時，f(x)

分析：f(x)

解：由題意得x=1是方程3x2-x+b=0的一個根，設另一根為x0，則，x0+1=

x0×1=

∴x0=-

b=-2，∴f(x)=x3-x2-2x+c，f ′(x)=3x2-x-2，當x∈(-1，-)時，f ′(x)>0，x∈(-，1)時，f ′(x)<0，x∈(1，2)時，f ′(x)>0，∴當x=-時，f(x)有極大值+c，又f (-1)=+c，f(2)=2+c，即當x∈[-1，2]時，f(x)的最大值為f(2)=2+c，∵當x∈[-1，2]時，f ′(x)2+c，解得c<-1或c>2。所以c的取值范圍是(-∞，-1)∪(2，+∞)。

5. 利用導數解決實際問題

利用導數，不僅可以解決函數、切線、不等式、數列問題，而且還可以解決一些實際應用問題。學習的最終目的，是要求學生具有運用導數知識解決實際問題的意識、思想方法以及能力。近幾年，高考越來越注重對實際問題的考查，比如最優(yōu)化問題、最低成本問題等，而利用導數解決這些問題非常方便。

例7. 某商場從生產廠家以每件元購進一批商品，若該商品零售價定為p元，則銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關系：Q=8300-170p-p2，問該商品零售價定為多少時利潤L最大，并求出最大利潤(利潤銷售收入進貨支出)。

解析：L=(p-20)(8300-170p-p2)=-p3-150p2+11700p-166000且p>20。求導得L′=-3p2-300p+11700，令L′=0得p=30或p=-130(舍去)，并且當p<30時，L′>0，p>30時，L′<0，則當p=30時，L取得極大值，最大值為21000元。即當該商品零售價定為30元時利潤最大，最大利潤為21000元。

三、結束語

導數及其應用是微積分學的重要組成部分，是解決許多問題的有力工具，它全面體現了數學的價值：既給學生提供了一種新的方法，又給學生提供了一種重要的思想?？傊?，開設導數不僅促進學生全面認識了數學的價值，而且發(fā)展了學生的辯證思維能力，也為今后進一步學好微積分打下基礎。因此，在高中階段為學生開設導數及其應用具有深刻的意義。