王如剛

摘要：在高考數(shù)學(xué)中，含參問題既是考查的重點又是考查的難點。對此，筆者在本文中運用一系列具體的例題加以解釋說明，以便為學(xué)生的解題提供可參考的思路。

關(guān)鍵詞：含參問題；討論點；例題解析

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）09-0124

含參數(shù)的一元二次不等式的解法常常涉及到參數(shù)的討論問題，如何選擇討論標準是學(xué)生不易掌握的內(nèi)容。其實，學(xué)生只要把握下面的三個“討論點”，一切便可迎刃而解。

討論點一：二次項系數(shù)是否為零、正數(shù)或負數(shù)，目的是討論不等式是否為二次不等式及二次函數(shù)圖像的開口方向。

討論點二：判別式是否為正數(shù)、零或負數(shù)，目的是討論二次方程解的個數(shù)問題。

討論點三：兩根差的正負，目的是比較根的大小。

示例1. 解下列不等式：

（1）m（x-1）（x+3）>0；

分析：該小題在三個“討論點”中，只需按“討論點一”討論即可，即對二次項系數(shù)是否為零、正數(shù)或負數(shù)進行分類討論。

解答：①m=0，無解

②m>0，解為{x x>1或x<-3}

③m<0，解為{x -3

（2）x2+mx+1<0；

分析：該小題在三個“討論點”中，只需按“討論點二”討論即可，即對判別式是否為正數(shù)、零或負數(shù)進行分類討論。

解答：①當△>0，即m2-4>0，m>2或m<-2時

解為{x ■

②△=0，即m=±2時，解為

③△<0，即-2

（3）x2-x-a（a-1）>0

分析：該小題在三個“討論點”中，只需按“討論點三”討論即可，即對相應(yīng)的二次方程的兩根大小進行分類討論。

解答：（x-a）（x+a-1）>0

相應(yīng)一元二次方程兩根x1=a，x2=-（a-1）

作差：a-[-（a-1）]=2a-1

令2a-1>0，即當a>■時，a>-（a-1）

∴不等式解為{x x>a或x<-（a-1）}；

當a=■，不等式解為{x x≠■}；

當a<■，不等式解為{x x-（a-1）}，

以上三個小題展現(xiàn)了含參一元二次不等式問題討論的三種最基礎(chǔ)類型，即討論二次項系數(shù)、討論判別式、討論兩根的大小。學(xué)生熟練掌握這三種分類討論標準，對其他的一些變式或拓展也可進行分析解答。

示例2. 解關(guān)于x的不等式：mx2-3（m+1）x+9>0（m∈R）

分析：通過因式分解得相應(yīng)方程有兩解，因此該題無需討論判別式，但仍需要討論二次項系數(shù)及兩根大小。

解答：m=0時，解為{x x<3}

m≠0時，相應(yīng)方程兩根x1=■，x2=3

①當m<0時，∵■<3∴解為{x ■

②m>0時，

當■<3時，即m>1時，解為{x x>3或x<■}；

當■=3時，即m=1時，解為{x x≠3}；

當■>3時，即0■或 x<3}；

當一個問題中需要兩個及以上的分類標準時，學(xué)生必須按順序?qū)γ總€分類標準進行分類。一般地，這三個分類標準的順序依次為：先討論二次項系數(shù)，然后討論判別式，最后討論兩根大小。

有些題目表面看不是含參一元二次不等式問題，但經(jīng)過轉(zhuǎn)化與化歸后其實質(zhì)仍是含參的一元二次不等式問題。

示例3. 已知函數(shù)f（x）=ax+■+c（a>0）的圖像在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1.

（1）用a表示出b，c；

（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍.

解答：（1）解得b=a-1c=1-2a

（2）由（1）知，f（x）=ax+■+1-2a.

令g（x）=f（x）-ln x

=ax+■+1-2a-ln x，x∈[1，+∞），

則g（1）=0，

g′（x）=a-■-■

=■=■

①當01.

若1

②當a≥■時，■≤1.

若x>1，則g′（x）>0，g（x）是增函數(shù)，所以g（x）>g（1）=0，即f（x）>ln x，故當x≥1時，f（x）≥lnx.

綜上所述，所求a的取值范圍為[■，+∞）。

在解題過程中，學(xué)生應(yīng)不斷提升自己的思維品質(zhì)，尤其是在我國高考選拔的制度下，這樣對某一類問題歸納總結(jié)，優(yōu)化思想的方法特別重要。一句話，高考數(shù)學(xué)是命題專家與帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)應(yīng)考的教師以及考生之間的一種微妙的“猜題與（下轉(zhuǎn)第126頁）（上接第124頁）反猜題”，“試圖運用套路與反套路”的一場“游戲”，這就要求學(xué)生必須洞察數(shù)學(xué)問題、方法、思想的來龍去脈，即設(shè)法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。唯有如此，學(xué)生才能在高考中立于不敗之地。

例如，2010年全國高考遼寧卷理科第21題第1小題：已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax2+1討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性。

解答：f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=■+2ax=■；

當a≥0時，f ′（x）>0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；

當a≤-1時，f ′（x）<0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；

當-10；x∈（■，+∞）時，f ′（x）<0，故f（x）在（0，■）單調(diào)遞增，在（■，+∞）單調(diào)遞減。

我們反思這道高考題的解答過程，雖然其表面是含有參數(shù)的對數(shù)函數(shù)問題，但化簡之后其實質(zhì)仍然是含有參數(shù)的一元二次不等式問題。因此，學(xué)生在解題過程中，應(yīng)擦亮雙眼，認清事物的本質(zhì)，從而利用有效的解題方法使問題迎刃而解。

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)錢清中學(xué) 312000）