《辭?！分袑斫獾慕忉屖牵骸袄斫馐峭ㄟ^揭露事物間的聯(lián)系而認(rèn)識新事物的過程?！崩斫庖彩墙逃繕?biāo)分類中的一個重要學(xué)習(xí)指標(biāo)，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對“理解”這一目標(biāo)層次的要求是：對概念和規(guī)律（定理、公式、法則等）達(dá)到理性認(rèn)識，不僅能夠說出概念和規(guī)律是什么，而且能夠知道它是怎么得出來的，它與其他概念和規(guī)律之間的聯(lián)系，有什么用途。所以，“理解”不是簡單的知識“記憶”“知道”“照本解釋”或者“照本運(yùn)用”，而應(yīng)該是學(xué)生在已有知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過思考發(fā)現(xiàn)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，并能以多種不同方式重新呈現(xiàn)，且在適當(dāng)?shù)那榫持姓_地應(yīng)用，從而使認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到擴(kuò)展和提高的過程。

數(shù)學(xué)理解則是指學(xué)生在已有數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，建立新知識的個人心理表征，建構(gòu)新知識的個人心理意義，不斷完善和發(fā)展頭腦中的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，并能將納入知識網(wǎng)絡(luò)中的新知識靈活地加以提取和應(yīng)用。本文試以“用字母表示數(shù)”的案例，來闡述筆者對基于兒童的數(shù)學(xué)理解的認(rèn)識。

一、 了解兒童的認(rèn)知發(fā)展水平，契合理解層次

皮亞杰將智慧的發(fā)展劃分為四個階段：感知運(yùn)算階段、前運(yùn)算階段、具體運(yùn)算階段、形式運(yùn)算階段。小學(xué)階段主要以具體運(yùn)算階段和形式運(yùn)算階段為主。

“用字母表示數(shù)”在四年級正式進(jìn)入學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知體系中。用字母表示數(shù)，需要理解用含有字母的式子表示數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果、計算公式、數(shù)學(xué)規(guī)律等等。學(xué)生之前一直接觸的是用具體的實(shí)數(shù)表示數(shù)量關(guān)系，現(xiàn)在則要逐步用抽象的符號來進(jìn)行描述和概括，他們開始接觸代數(shù)式、用方程解決實(shí)際問題，數(shù)學(xué)思維逐步走向抽象。這一內(nèi)容是符合四年級學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)的。10歲左右的兒童，大腦前額皮層發(fā)育完善，玩的天性開始有所收斂，大腦的抑制功能加強(qiáng)，思維能力的發(fā)展處于轉(zhuǎn)折時期，抽象概括、分類、比較和推理能力開始形成，思維的敏捷性和靈活性以及做題的速度和準(zhǔn)確性提高。這一階段，兒童逐步能夠不受事物內(nèi)容的限制，通過假設(shè)等方式進(jìn)行推理，形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

要讓兒童理解數(shù)學(xué)，首先要理解兒童，了解兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，才能做到科學(xué)育人。無論是教材所提供的學(xué)習(xí)內(nèi)容，還是教師主動尋找適合孩子學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)材料，都要能夠遵循兒童不同的年齡特點(diǎn)，用更適合兒童理解的方式進(jìn)行教學(xué)。

二、順應(yīng)兒童已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，切入理解基點(diǎn)

在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識之前，學(xué)生已經(jīng)具備了與所要學(xué)習(xí)的新知識相關(guān)的一些經(jīng)驗(yàn)和看法，這些已有的知識經(jīng)驗(yàn)不僅引導(dǎo)著學(xué)生對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的觀察和解釋，還影響著學(xué)生對教師和教材提供的信息的理解。

比如：在四年級學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”前，學(xué)生在學(xué)習(xí)三年級下冊83頁“長方形和正方形的面積”時，已經(jīng)接觸到了長方形和正方形的面積公式S=a×b，S=a×a，在四年級上冊56頁“運(yùn)算律”已經(jīng)了解了加法交換律a+b=b+a，加法結(jié)合律a+b+c=a+（b+c），乘法交換律a×b=b×a，乘法結(jié)合律（a×b）×c=a×（b×c），四年級下冊54頁“運(yùn)算律”認(rèn)識了乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c。這些用字母表示的規(guī)律或運(yùn)算公式，分布在連續(xù)三個學(xué)期的三個單元里，也就是說，學(xué)生對“用字母表示數(shù)”的感知并不是一張白紙，只是沒有系統(tǒng)的認(rèn)識，還未連成相應(yīng)的知識結(jié)構(gòu)，未能完整地掌握用字母表示數(shù)的內(nèi)涵?；趦和斫獾臄?shù)學(xué)教學(xué)，一定是從兒童的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)里進(jìn)入學(xué)習(xí)，讓學(xué)生不覺得知識的陌生，順應(yīng)學(xué)習(xí)的發(fā)展，逐步趨于同化。

第一板塊設(shè)計：

教師提出學(xué)習(xí)任務(wù)：觀察四年級下冊教材第54頁上的（a+b）×c=a×b+b×c，這個用字母表達(dá)的規(guī)律表示什么意思？為什么要這樣表達(dá)？之前還有沒有這樣用字母來表達(dá)的數(shù)學(xué)公式？請你寫一寫，并舉一些具體的例子。

讓學(xué)生通過寫一寫已經(jīng)了解的用字母表示的公式，舉一舉可以表示的具體算式，讓學(xué)生從抽象到具象以及從具象到抽象兩個方面來理解用字母表示數(shù)的內(nèi)涵，感受體驗(yàn)用字母來表達(dá)規(guī)律的簡便和概括性。從課堂效果分析，這一起點(diǎn)的設(shè)計，是基于兒童的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的，學(xué)生比較全面地理解了用字母表示數(shù)更簡潔、更概括，這里的字母可以表示任何非0的數(shù)，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不少教師往往會忽視學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，更不會去研究不同的學(xué)生已有的不同的基礎(chǔ)。在教學(xué)設(shè)計和實(shí)施中，他們把學(xué)生的起點(diǎn)預(yù)設(shè)為“零”，缺少挑戰(zhàn)性，缺少個性化，不同的學(xué)生難以得到不同的發(fā)展。因此，數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)一定是建立在學(xué)生已有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上，教師可以通過前測等方式來了解學(xué)生的基礎(chǔ)。

三、設(shè)計具有思考價值的問題，豐富理解內(nèi)涵

教師在教學(xué)設(shè)計中要圍繞數(shù)學(xué)理解的核心問題，開展數(shù)學(xué)活動，通過問題解決來建構(gòu)對數(shù)學(xué)知識的理解，讓學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，尊重學(xué)習(xí)規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。

第二板塊設(shè)計：

“用字母表示數(shù)”在學(xué)生的認(rèn)知中，一般會認(rèn)為字母可以表示任何數(shù)。在第一板塊的學(xué)習(xí)中，學(xué)生還僅僅認(rèn)識到用字母表示運(yùn)算律和計算公式，這對于用字母表示數(shù)的理解來說還是淺層次的。因此，在第二板塊中我設(shè)計了兩個具有思考價值的問題，來推進(jìn)學(xué)生更深地理解用字母表示數(shù)也表示兩個數(shù)量之間的關(guān)系，還表示一個結(jié)果。同時，進(jìn)一步打破學(xué)生對字母表示任何數(shù)的思維局限，了解用字母表示的數(shù)是需要在一定的情境中進(jìn)行確定的，是有一定的條件的。

問題一：先寫一寫下面的問題應(yīng)該用什么式子表示，再想一想字母可能會表示什么數(shù)？

（1）一件上衣a元，一條褲子比上衣便宜12元。一條褲子（ ）元。（2）小亮有10張卡片，送給小紅b張，小亮還剩（ ）張。（3）小剛每天看課外書15頁，a天共看了（ ）頁。

問題二：出示兩個儲蓄罐，其中一個是空的，教師放進(jìn)10個硬幣，顯示有10元。另一個儲蓄罐有錢，但不知多少，可以用字母來表示。提問：如果我要把兩個儲蓄罐里的錢放在一起，如何用算式來表達(dá)？結(jié)果用什么來表達(dá)？

在以上的學(xué)習(xí)活動中，圍繞數(shù)學(xué)理解的核心提出了兩個有一定思維深度的問題，學(xué)生在解決問題的過程經(jīng)歷了一個順應(yīng)、打破認(rèn)知結(jié)構(gòu)平衡、內(nèi)化的理解過程。

理解10+x和（10+x）有什么不同，這對于兒童來說是高層次的數(shù)學(xué)思維活動，必須建立直觀清晰的數(shù)學(xué)情境活動，讓學(xué)生把抽象和具象結(jié)合在一起。因此，我采用儲蓄罐演示的方式，讓孩子清晰地看到10+x是表示兩個儲蓄罐的錢要加在一起，而（10+x）是表示一個儲蓄罐的錢，學(xué)生能清楚地感知到（10+x）表達(dá)的是一個結(jié)果，10+x才表示一個關(guān)系式。

第二板塊的學(xué)習(xí)中，還有一個頗有價值的問題，那就是“字母可以表示什么數(shù)”，是對未知數(shù)數(shù)值范圍的確定。在具體的問題中，學(xué)生突破字母可以表達(dá)任何數(shù)的理解局限，放到情境中來理性判斷與選擇字母所能表示的數(shù)。這是學(xué)生從低層次思維走向高層次思維的重要一步，也為后續(xù)解方程，特別是中學(xué)的方程解打下基礎(chǔ)。由此建立比較嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生有更清晰的數(shù)學(xué)判斷與選擇，對“用字母表示數(shù)”有更深刻的內(nèi)涵理解。

兩個板塊中都有一根基于兒童理解的邏輯主線。用字母表示規(guī)律、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果，這是一條主線；另一條主線是讓學(xué)生感知用字母表示的數(shù)，可以是任何數(shù)，但也有可能是有取值范圍的，這需要根據(jù)情境進(jìn)行分析與判斷。這兩根主線穿插在兩個板塊里面，有機(jī)地融合起來。

教學(xué)過程中，核心問題的確定，關(guān)鍵問題的厘清，有價值問題的提煉，都是基于兒童的數(shù)學(xué)理解基礎(chǔ)上進(jìn)行分析、判斷、選擇的。其中的邏輯關(guān)系、層次關(guān)系需要在教學(xué)設(shè)計時予以關(guān)注?？芍c未知，任意與有范圍，常量與變量，這一組組具有辯證意蘊(yùn)的數(shù)學(xué)思想在學(xué)習(xí)中不斷被提及，不斷被滲透，不斷被同化，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、在“第一時間”建立認(rèn)知，整體性助力兒童理解

學(xué)生的數(shù)學(xué)理解往往是螺旋上升，隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)程而不斷深化的。比如在小學(xué)階段學(xué)生以為數(shù)就是自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，后來增加了一個負(fù)數(shù)，但隨著認(rèn)知的深入，才認(rèn)識到實(shí)數(shù)、虛數(shù)，有理數(shù)、無理數(shù)，整數(shù)、分?jǐn)?shù)……這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)推進(jìn)，是符合兒童的認(rèn)知特點(diǎn)的，但也帶來一個問題：學(xué)生會固化對某一個知識的整體認(rèn)識，在后續(xù)學(xué)習(xí)中要打破認(rèn)知的局限有一定的困難。因此，在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們要根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，盡可能在“第一認(rèn)知時間”里讓學(xué)生整體感知，然后再逐步深入理解。

用字母表示數(shù)，四年級是一節(jié)起始課，但用字母表示數(shù)在代數(shù)思想的領(lǐng)域中是非常重要的一節(jié)課，讓孩子整體感知一下代數(shù)思想是非常必要的。

第三板塊學(xué)習(xí)：

1.一本筆記本的單價是a元。你會填寫下表嗎？

2.

（1）小華家到學(xué)校的路程是（ ）米。

（2）小軍家到小麗家的路程是（ ）米。

（3）小華家到小麗家的路程是（ ）米。

這兩個內(nèi)容，是書上的題目，我沒有定位于知識的理解內(nèi)化，而是從學(xué)生建構(gòu)整體認(rèn)知的理念出發(fā)，進(jìn)行了價值提升：第一題滲透“變與不變”的函數(shù)思想，讓學(xué)生感受單價不變，數(shù)量變化總價也在發(fā)生變化；第二題滲透方程思想。因?yàn)楸竟?jié)課教材只提到用含有字母的式子來表示算式，但其實(shí)含有字母的式子是方程的一個部分，是否能在第一認(rèn)知時間里讓他們順著含有字母的式子來理解含有字母的等式呢？我在設(shè)計中根據(jù)小華家到學(xué)校的路程是800+x，提出了一個問題：“只要知道什么量，就能知道小軍家到學(xué)校的路程？”學(xué)生非常自然地說只要知道小華家到學(xué)校的具體路程，就能知道小軍家到學(xué)校的路程了。教師在800+x的基礎(chǔ)上變成了一個方程式800+x=1500（雖然沒有把“這就是方程”的概念告訴給學(xué)生，但他們應(yīng)該在第一時間內(nèi)就留下了深刻的印象）。學(xué)生從含有字母的式子轉(zhuǎn)變到含有字母的等式，非常自然，建構(gòu)了相對完整的認(rèn)知鏈。在小軍家到小麗家的路程是x+y的認(rèn)識基礎(chǔ)上，學(xué)生提出x+y=1700，教師讓他們分析含有兩個未知數(shù)的等式時能不能得出結(jié)果，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不行。但如果和第一個算式結(jié)合起來，倒是能算出另一個結(jié)果的，這里就滲透了初中的二元一次方程組的知識。這種滲透式的學(xué)習(xí)，給學(xué)生在第一時間的學(xué)習(xí)中留下印象，對兒童數(shù)學(xué)理解的整體性是有幫助的。

五、對單元進(jìn)行整體重組設(shè)計，提升數(shù)學(xué)理解

基于兒童的數(shù)學(xué)理解，在教學(xué)時首先要改變的是教師對教材認(rèn)識的觀念。如“用字母表示數(shù)”一課，我基于兒童的數(shù)學(xué)理解，對單元整體進(jìn)行了調(diào)整與重組。第一課時，引導(dǎo)學(xué)生在第一時間認(rèn)識用字母表示數(shù)，因此，我重點(diǎn)讓孩子們感受用字母表示數(shù)、表示數(shù)量關(guān)系、表示一個結(jié)果，尋找數(shù)的范圍，感知含有字母的等式是如何產(chǎn)生的等等。在整體理解和感知后，在第二課時再進(jìn)入到學(xué)習(xí)書寫與簡寫的環(huán)節(jié)，也就是用字母表示數(shù)的技能訓(xùn)練。第三課時再把數(shù)字帶入含有字母的式子，解決實(shí)際問題。課時數(shù)不變，但在設(shè)計上的張力更大，空間更寬，可以讓學(xué)生感知和理解的東西更豐富。

基于兒童的數(shù)學(xué)理解，必須了解兒童，了解兒童的認(rèn)知特點(diǎn)、認(rèn)知規(guī)律，了解他們前在的、潛在的認(rèn)知基礎(chǔ)與方法。數(shù)學(xué)教學(xué)不能停留在片段性的零碎知識層面，也不能僅僅滿足教給一般的程序和方法，而要把教學(xué)內(nèi)容并入數(shù)學(xué)思想的脈絡(luò)中，還原它的意義情境，讓學(xué)生在這個背景下理解、生成知識。這不但能幫助學(xué)生有效地構(gòu)建各自系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)并隨時通暢地提取信息，也能促使各種數(shù)學(xué)知識融會貫通而使學(xué)生達(dá)到思考自如的狀態(tài)，真正實(shí)現(xiàn)基于兒童的數(shù)學(xué)理解。

（金松武，常州市西新橋小學(xué)，213000）

責(zé)任編輯：宣麗華