朱建軍

摘 要：立足課本例題，挖掘一些一題多解的思維方法，提出有助于學(xué)生各種思維習(xí)慣形成的解題方法，傳授給學(xué)生，讓他們從中學(xué)會(huì)思考。這對于學(xué)生的逆向思維和發(fā)散思維的能力及學(xué)生分析能力的培養(yǎng)是行之有效的。

關(guān)鍵詞：課堂例題；探究；啟發(fā)；思維

中圖分類號：G427 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）13-089-1

縱觀近幾年來的江蘇高考數(shù)學(xué)試題，源于課本的題型占據(jù)了一定的份量，我們重視例題教學(xué)的同時(shí)，還要探索解題途徑的過程，這實(shí)質(zhì)上是不斷變更的過程，一個(gè)題目立足已給定的條件，從試題中挖掘一些一題多解的思維方法，提出有助于學(xué)生各種思維習(xí)慣形成的解題方法，傳教給學(xué)生，讓他們從中學(xué)會(huì)思考。

必修五第二章P43例題3

在等差數(shù)列{an}中，已知第1項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為310，第11項(xiàng)到第20項(xiàng)的和為910，求第21項(xiàng)到第30項(xiàng)的和。

解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，由題意，根據(jù)前10項(xiàng)的和為310，第11項(xiàng)到第20項(xiàng)的和為910，帶入基本量后，可以解得：a1=4，d=6，從而，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，首項(xiàng)為a21，末項(xiàng)為a30，可計(jì)算得結(jié)果為1510.

從上例中我們發(fā)現(xiàn)：等差數(shù)列的前10項(xiàng)和，次10項(xiàng)和，后10項(xiàng)和成等差數(shù)列.

進(jìn)一步，引導(dǎo)學(xué)生思考，你能得出更一般的結(jié)論嗎？

結(jié)論：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，次n項(xiàng)和，后n項(xiàng)和，……也成等差數(shù)列。

在教學(xué)過程中，我們還可變換等價(jià)條件，改造題型，添加題設(shè)、結(jié)論等各種方式達(dá)到舉一反三，觸類旁通的效果，這對于學(xué)生的逆向思維和發(fā)散思維的能力及學(xué)生分析能力的培養(yǎng)是一種行之有效的方法。

變題：在等差數(shù)列{an}中，S10=100，S100=10，求S110.

思考一：利用上述性質(zhì)求解，簡化運(yùn)算。

解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)上述性質(zhì)，可得：前10項(xiàng)和，第11項(xiàng)到第20項(xiàng)的和，……，第101項(xiàng)到第110項(xiàng)的和成等差數(shù)列。所以，新數(shù)列前10項(xiàng)和為原數(shù)列的前100項(xiàng)和為10，運(yùn)算可得，公差d=-22.從而，新數(shù)列前11項(xiàng)和為原數(shù)列的前110項(xiàng)和為-110.

思考二：利用基本量方法，代數(shù)方程思想求解。

解析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，由題意，直接代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，可得a1=1099100，d=-1150.所以，S110=-110.

此種思路是教學(xué)著重強(qiáng)調(diào)的常規(guī)解法，學(xué)生比較容易接受與理解。

思考三：利用函數(shù)思想，待定系數(shù)法求解。

解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為：Sn=An2+Bn（A，B為常數(shù)），則代入數(shù)據(jù)，可解得A=-11100，B=11110，所以，S110=-110.

思考四：利用本身屬性（定義）求解。

解析：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以第11項(xiàng)到第20項(xiàng)的和為-90.利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)，可以得到：第1項(xiàng)加第110項(xiàng)的和等于第11項(xiàng)加第100項(xiàng)的和均為-2，因而，利用等差數(shù)列前110項(xiàng)和公式，可得S110=-110.

思考五：利用整體思想求解。

解析：在蘇教版必修五教科書后練習(xí)中，我們曾今推導(dǎo)過一個(gè)結(jié)論：前p+q項(xiàng)的和為-（p+q）.對照上述結(jié)論，可得：S110=-110.

思考六：構(gòu)造新數(shù)列求解。

解析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，由題意，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，可以得到，{Snn}是公差為d2的等差數(shù)列.可得，S110=-110.

思考七：利用直線中三點(diǎn)共線的充要條件解題。

解析：在等差數(shù)列{an}中，點(diǎn)（n，Snn），n=1，2，3，…是斜率為d2的直線上的一個(gè)點(diǎn)列，則構(gòu)造三點(diǎn)A（10，S1010），B（100，S100100），C（110，S110110），由三點(diǎn)共線，他們的斜率相等，即：kAB=kAC.從而，可計(jì)算得到S110=-110.

對于以上等差數(shù)列中求和問題，提供了多種解題方法，其思考的過程就是將諸多知識和能力進(jìn)行綜合運(yùn)用的過程。如果在平常的教學(xué)過程中，能夠堅(jiān)持這樣啟發(fā)引導(dǎo)，必將能激發(fā)學(xué)生思維，拓寬學(xué)生分析問題的思路，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，達(dá)到解決問題的目的，從而提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

[參考文獻(xiàn)]

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[2]韓軍利.高中數(shù)學(xué)中的一題多解問題.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（03）.