賈亞瓊

【摘要】極限的概念、思想是高等數(shù)學(xué)的第一道門檻，本文主要討論了教師在極限概念的教學(xué)中，學(xué)生最容出現(xiàn)的三類問題，以及這些問題對應(yīng)的解決方案.

【關(guān)鍵詞】極限；教學(xué)方法；符號語言

【中圖分類號】G642.4【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

一、極限概念教學(xué)中的問題

極限概念不僅是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的分水嶺，更是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).所以，理解極限的思想，掌握極限的概念和方法是學(xué)生步入大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的第一道門檻，因而教師對極限概念的教學(xué)也成為了高等數(shù)學(xué)教學(xué)重中之重.然而，就像極限理論的發(fā)展迂回曲折一樣，學(xué)生對極限概念的學(xué)習(xí)也面臨著許多艱難險阻，這些困難如果沒有很好地解決，可能會對后面微積分的學(xué)習(xí)產(chǎn)生不良影響.接下來我們具體分析極限概念教學(xué)中的問題[1].

1.感性到理性

學(xué)習(xí)的發(fā)展過程本身就是從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象，從感性到理性，從有形到符號，而高等數(shù)學(xué)更是復(fù)雜、抽象、理性、符號的集成，因而，這門課對學(xué)生的抽象、理性，符號語言認(rèn)識思維能力也就提出了較高的要求和挑戰(zhàn).而教師在這其中也扮演了十分重要的角色，特別是如何解決感性到理性、有形到抽象等等的過渡，是奠定一堂課效果的基石.

而極限概念中的無限思想，正是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的標(biāo)志.學(xué)生過去對無限的理解基本來源于經(jīng)驗認(rèn)識，例如，有的從宇宙的浩瀚無際來理解無限，有的把天上的星星數(shù)也數(shù)不清就認(rèn)為是無限多顆，也有的把樹上的葉子來比喻無限多等等，所以學(xué)生對無限的理解并不一致，甚至是對于極限中的無限的思想來說是錯誤的認(rèn)識.所以，幫助學(xué)生突破過去從感性上對無限可能錯誤的理解，并建立起學(xué)生在理性上對無限在數(shù)學(xué)中的認(rèn)識，是極限概念教學(xué)中的第一步.進(jìn)一步到極限概念的描述性定義的理解，也同樣面臨著把學(xué)生感覺中對過去極限的經(jīng)驗認(rèn)知，轉(zhuǎn)化為用理性語言描述的知識的感性到理性的跨越.

2.描述性概念到抽象符號語言定義

當(dāng)學(xué)生達(dá)到第一步理性上對極限概念的理解接受后，接下來要面對的第二個需要跨越的障礙就是極限定義中抽象的符號語言的障礙[2].

可以看出，符號語言定義高度抽象概括，邏輯結(jié)構(gòu)嚴(yán)密而又復(fù)雜.而數(shù)學(xué)符號語言又屬于人工符號語言系統(tǒng)而非自然語言系統(tǒng)，所以這自然又成為學(xué)生學(xué)習(xí)、接受和理解極限定義的又一個障礙，這也是教學(xué)中的難點.

3.認(rèn)識符號語言到掌握、習(xí)慣抽象符號語言

當(dāng)學(xué)生完成第二步，接受并理解極限的符號語言定義后，面臨的第三個問題就是如何掌握并習(xí)慣這種符號語言，進(jìn)而熟練地運(yùn)用符號語言來解決證明極限等相關(guān)的問題.

二、極限概念的教學(xué)方法探討

針對以上提到的三點問題，教師在教學(xué)過程中可以設(shè)計不同的方法來解決相對應(yīng)的問題.下面逐一針對以上的三種問題來討論相適應(yīng)的解決方法.

1.數(shù)形結(jié)合

首先，針對學(xué)生對極限概念的理解上的從感性到理性跨越的問題，可以采用數(shù)形結(jié)合的方法來解決[4].因為從極限的理論上來看，極限的概念是復(fù)雜和高度抽象的，學(xué)生直接接受這種復(fù)雜、高度抽象的概念比較困難，所以需要先讓學(xué)生充分感知和體驗極限概念的定性描述，親身經(jīng)歷從具體到抽象的過程.而數(shù)形結(jié)合是一個很好的化抽象為形象的方法，所以在開始介紹極限概念的同時，以數(shù)列極限為例，教師應(yīng)當(dāng)列舉一定數(shù)量的存在極限的數(shù)列實例，這些實例盡量具體、簡單，并且可以清晰地在坐標(biāo)系中畫出來，引導(dǎo)學(xué)生通過圖像可以很輕松地觀察并判斷出這些數(shù)列的變化趨勢.有了這樣的體會，學(xué)生基本就可以接受“隨著n增大，數(shù)列{an}越來越接近某個常數(shù)A，則稱A為數(shù)列{an}的極限”這樣相對抽象的數(shù)列極限的描述性定義.

2.定義翻譯法

3.理論與實踐相結(jié)合

在通過翻譯法引出了極限的符號語言定義后，最后一步就是讓學(xué)生熟悉、掌握并習(xí)慣使用它來證明極限的存在問題.這也是極限定義教學(xué)中的重點和難點.在這里，教師可以通過實踐來向?qū)W生展示抽象的極限定義如何在具體的實例中使用.同樣以數(shù)列極限為例，因為在定義的翻譯中已經(jīng)展現(xiàn)了N的值確定的由來，即通過求解| an-A|<ε的不等式，由最后解出的n的范圍來確定N的值，所以在證明的過程中，也可以理所當(dāng)然地用這樣的步驟來確定N的值.雖然學(xué)生可能一開始在感覺上不習(xí)慣、不適應(yīng)，但整個定義來龍去脈的過程如果已經(jīng)在定義的講解中讓學(xué)生在理性上接受了，接下來就可以在實踐中去適應(yīng)這樣的思維、邏輯和步驟，通過教師講解的一些實例，再加上學(xué)生練習(xí)的一些實例，最終就可以克服學(xué)生感覺上的不習(xí)慣，變成學(xué)生熟悉并習(xí)慣的數(shù)學(xué)語言和思維.

三、總結(jié)

極限的概念、思想是高等數(shù)學(xué)的第一道門檻，本文討論了在教學(xué)中學(xué)生最容出現(xiàn)的三類問題對應(yīng)的解決方案.教學(xué)相長，在教學(xué)的過程中，學(xué)生出現(xiàn)的問題也是教師提高自身素養(yǎng)的機(jī)會，而教師的成長和進(jìn)步，也可以使學(xué)生在學(xué)業(yè)上得到更及時有效的幫助.因而在教學(xué)過程中，可以繼續(xù)去發(fā)現(xiàn)、了解學(xué)生的問題，并同時借鑒更多的優(yōu)秀經(jīng)驗來解決這些問題，不斷地提升教師自身能力和素質(zhì)，促進(jìn)教學(xué)更順利、有效地進(jìn)行.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李莉，謝琳.關(guān)于學(xué)習(xí)極限概念認(rèn)知障礙的研究與分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006年2月，15（1）：42-44.

[2]邵光華，劉明海.數(shù)學(xué)語言及其教學(xué)研究[J].課程·教材·教法，2005（2）.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]楊澤恒.數(shù)學(xué)分析課程極限理論教學(xué)的一些實踐與思考[J].大理學(xué)院學(xué)報，2007，6（10）：82-84，87.

[5]高興佑，向長福.如何破解極限定義教學(xué)難題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011年10月，20（5）：96-98.