盛媛媛

摘 要：職業(yè)院校三角函數(shù)部分最重要的公式就是三角函數(shù)誘導公式，所包含的公式非常多，而且比較復雜，傳統(tǒng)誘導公式的講解辦法步驟多而且比較麻煩，學生對公式沒有很好地進行分析和理解，那么解決這一問題的一個很好辦法就是改變傳統(tǒng)的三角函數(shù)教學模式，對三角函數(shù)誘導公式進行拓展，以便學生能夠很好地理解。

關鍵詞：職業(yè)院校；誘導公式；課堂教學模式；特點

所謂三角函數(shù)誘導公式從本質上來講，就是將角n·（π/2）±α的三角函數(shù)轉化為角α的三角函數(shù)。其通常使用萬能推導公式、三倍角推導公式、和差化積推導公式來進行推導。無論在哪本教材中，三角函數(shù)誘導公式這一節(jié)所涉及的公式都是相當多。在許多參考書里共同提到了記憶誘導公式的統(tǒng)一口訣：“奇變偶不變，符號看象限”。多少年來，參考書這么寫，老師們這么教，長期以來我國三角函數(shù)誘導公式的教學過程都比較老套，主要是因為教材規(guī)定了教學內容，本文先從傳統(tǒng)教學模式說起。

一、三角函數(shù)的本質分析

三角函數(shù)誘導公式具有周期性以及對稱性，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知任意角的三角函數(shù)值是由角的終邊位置決定的，以360°為周期，任意角的三角函數(shù)值都能化為0～360°的內角的三角函數(shù)值。根據(jù)數(shù)學中對角的定義，任意角α終邊和-α的終邊關于x軸對稱，π+α角的終邊與α角的終邊是反向延長的關系，π-α角終邊與-α角的終邊也是反向延長的關系。根據(jù)任意角的對稱性以及周期性來對誘導公式進行理解就比較簡單，可以把任意角的三角函數(shù)轉化為銳角三角函數(shù)。

二、傳統(tǒng)教學模式分析

職業(yè)院校三角函數(shù)誘導公式的內容一般都是在上冊部分，教學內容包括角α±k·360°（k是任意整數(shù)）、-α的誘導公式的學習和應用，在推導公式時通常借助單位圓、角定義以及角的三角函數(shù)定義等來進行推導過程教學，在學習完以后，教師通常是要求學生來求解任意角的三角函數(shù)值，以及包括任意三角函數(shù)式的化簡證明等。職業(yè)院校的學生相對于普通高中學生來說，基礎有些差，教師在講解完以后，在記憶公式以及正確的使用方面感覺難度比較大。對于職業(yè)院校的學生來說，數(shù)學三角函數(shù)誘導公式多而復雜，在學習時往往沒有什么積極性，因此在學習以及記憶公式時就難以使用正確的方法，教學效果往往不夠理想，隨著教學知識的不斷深入，學生遇到的難度就越來越大。

如在對cos（- ）進行求解時，按照傳統(tǒng)的解題方式，求解過程依照以下四個步驟：任意負角的余弦→正角的余弦→0～2π余弦函數(shù)→0～π余弦→銳角的余弦。也就是說利用誘導公式將cos（- ）逐漸轉化為cos（- ）=cos（ ）=cos（ ）=-cos（ ）=cos（ ）來進行計算，整個求解過程比較繁瑣，很多思維不夠活躍的職業(yè)院校學生必然會感到十分困難。就第一步化負為正的步驟，在進行教學時，教師常常是把任意角α設為銳角來進行推導公式，而所講的例子- 并不是銳角，不知能否利用公式cos（-a）=cosα來進行求解，往往還會出現(xiàn)質疑公式的現(xiàn)象。

三、擴展性的教學模式在三角函數(shù)誘導公式中的使用

針對以上學生遇到的問題，根據(jù)江蘇省職業(yè)學校數(shù)學教材編寫組編寫的數(shù)學教材來進行教學，可以采用拓展法來進行誘導公式的學習，如關于-α、180°±α的誘導公式的學習中可以拓展為-α±k·360°、（2k+1）180°±α的誘導公式（k是整數(shù)），具體包括的公式（部分）如sin（k·360°-α）=-sinα；cos（k·360°-α）=cosα；tan（k·360°-α）=-tanα；sin[（2k+1）180°-α]=sinα；tan[（2k+1）180°-α]=-tanα；sin[（2k+1）180°+α]=sinα。這種擴展的教學模式能有效降低學習的難度，也能激發(fā)學生的學習興趣，下文是解決問題的實施步驟。

1.公式的推導

本文所講的擴展的教學模式同樣也是沿用教材的推導方法來進行教學，同樣需要借助單位圓、角的定義和形式等來進行推導，在進行公式推導的教學之前，教師與學生一起回憶一下這些定義。

對于k·360°±α（k∈Z）公式的推導，在直角坐標系中化一個單位元，把任意角α以及-α放在其中，以Ox軸作為始邊，雖然是沿著原點進行旋轉，但是角的終邊仍然是關于x軸對稱，k·360°-α與-α終邊相同，所以k·360°-α的終邊與α也是關于x軸對稱。設定任意角α與k·360°-α的終邊與單位圓的交點是P和P′，P和P′同樣關于x軸對稱，P坐標為（cosα，sinα），則P′的坐標就是（cosα，

-sinα），由于P′是k·360°-α的終邊與單位圓的交點，所以坐標應該是（cos（k·360°-α），sin（k·360°-α）），因此可以得出cos（k·360°-α）=cosα，sin（k·360°-α）=-sinα，由于tanα=sinα/cosα，因此可以得出tan（k·360°-α）=-tanα。對于（2k+1）·180°±α（k∈Z）公式的推導，依照上面的推導方式，利用單位圓以及角的定義性質等進行推導，可以得出sin[（2k+1）·180°±α]=sinα；cos[（2k+1）·180°±α]=±cosα；tan[（2k+1）·180°±α]=±tanα。

2.公式的記憶

根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，三角函數(shù)值的正負號是依照坐標來確定的，教師可以把任意角在四個象限的三角函數(shù)值做出一個表格或圖表來增強學生的記憶，大致可以歸納為第一象限全為正，第二象限只有正弦為正，第三象限只有正切為正，第四象限只有余弦為正。除了標準化的記憶之外，最重要的是理解，拓展后的誘導公式本質上與原誘導公式是相同的，有了對k·360°-α（k∈Z）以及k·360°+α（k∈Z）所在象限的概念，教師再指導學生對三角函數(shù)值進行學習進一步歸納公式，就能很好的記憶公式。

3.誘導公式的使用

本文主要通過例子來講解誘導公式的使用，如例一：求以下函數(shù)值cos（- ）、tan（-510°）、sin（ ），解析：把- 寫為-6π+ ，6π是180°的偶數(shù)倍， 在第一象限，因此利用公式k·360°±α（k∈Z）就可以把cos（- ）轉變?yōu)殇J角進行求解cos（ ）；tan（-510°）中可以把-510°寫成-3×180°+30°，-3×180°是180°的奇數(shù)倍，利用（2k+1）·180°+α的誘導公式就可以求解tan（-510°）；sin（ ）的求解，先把19π/4寫為5π- ，5π是180°的奇數(shù)倍，可以利用（2k+1）·180°-α來進行求解。通過以上的分析過程，上述問題就可以這樣來解答，cos（- ）=cos（-6π+ ）=cosπ/3= ；sin（ ）=sin（5π- ）=sin = ；tan（-510°）=tan（-3×180°+30°）=tan30°= 。

例二化簡并求值：

（1） ；

（2） .

解析：585°寫作3×180°+45°可以看做是180°的奇數(shù)倍加上一個銳角；690°寫作2×360°-30°；495°可以寫作3×180°-45°，因此，

= =

= = ；3π+α可以看做180°的奇數(shù)倍加上一個銳角，α+5π是第三象限角，4π-α與-α可以看做第四象限角，2π+α是第一象限角， = =-cosα.

綜上所述，本文先以三角函數(shù)誘導公式的重難點為切入點，講述傳統(tǒng)的教學模式使用，說明傳統(tǒng)教學模式存在的缺陷，重點講述了擴展后的三角函數(shù)誘導公式的教學模式，教學實踐證明，這種新型的教學模式，能使得學生更容易接受和使用，在解題應用時能夠極大地簡化過程，激發(fā)學生的學習興趣。當然本文主要以江蘇省職業(yè)學校數(shù)學教材編寫組編寫的數(shù)學教材來進行講解三角函數(shù)誘導公式的，針對不同教材以及學生的發(fā)展特點，應采取合適的教學模式，更多的研究仍然需要教育工作者的繼續(xù)努力。

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（作者單位 南京市公用事業(yè)技工學校）

編輯 孫玲娟