蔣文芬

摘要：在初中數學教學中，因式分解是一個重點也是一個難點。本文主要講解了因式分解中的提取公因式問題，旨在為學生掌握因式分解提供幫助。

關鍵詞：初中數學；因式分解；提取公因式

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）03-0104

對于多項式的因式分解，最常用的方法有提公因式法、公式法以及簡單的十字相乘法。其中最基礎、最常用的方法是提公因式法。那么，我們在用提公因式法進行因式分解的時候，需要注意哪些內容呢？

一、明確因式分解的步驟

1. 找出公因式

所謂公因式，它包括“兩最”，即：

（1）多項式中，各個項的系數的最大公約數

（2）多項式中，各個項都共同擁有的字母，且要取該字母的最小指數冪

這兩個“最”相乘所謂的積，為我們所需要尋找的分因式。如：

多項式5a+20ab+10a2b中，

各項的系數分別為5、20、10，它們的最大公約數是5，

5a、20ab、10a2b三個項中共同擁有的字母是a，而a的最小指數冪是1次，可以省略不寫，這兩“最”相乘所得的積為5a，所以，多項式5a+20ab+10a2b的公因式為5a。

2. 進行因式分解

在進行因式分解時，就是把找出的公因式作為結果的一個單獨的因式，然后用原多項式的每一個項去除以這個公因式，并將所得的商相加的和，作為結果的另一個因式，如：

多項式5a+20ab+10a2b中的5a÷5a=1，所得的商為1

多項式5a+20ab+10a2b中的20ab÷5a=4b，所得的商4b

多項式5a+20ab+10a2b中的10a2b÷5a=2ab，所得的商2ab

然后我們將此三個商相加的所得和為1+4b+2ab看作是一個整體，把它作為結果的另一個因式，所以，多項式5a+20ab+10a2b分解因式的結果為5a（1+ 4b+ 2ab），即：

5a+20ab+10a2b=5a（1+ 4b+ 2ab）

二、在具體操作時，要注意找公因式的細節(jié)

1. 明確目標，即弄清楚所須進行因式分解的多項式究竟有多少個項，在尋找公因式的時候，要做到顧全大局、兼顧每一個項。

2. 尋找各個項的數字因數，把它們逐一找出來，并進行質因數的分解，通過計算，求出各個項的數字因數的最大公約數，將它作為結果的一個因式。

3. 尋找出各個項中所擁有的相同的字母，并把它們一一列舉出來。

4. 將所列舉出來的字母返回到原多項式的每一個項中，進行比較，提取出相同的那個字母的最小指數冪，將所提出的各個不同字母的最小指數冪相乘所得的積作為結果的又一個因式。

5. 把2、4兩個步驟中的結果相乘所得的積，就是我們所要尋找的多項式的最大公因式。

例如：找出下列各式的最大公因式：

（1）7x2-21x；

（2）a3 b2-12ab3c+ab；

（3）6（x-2）+（2-x） +2x-4；

（4）3x2+6x2y-12xy2

現在我們一起來分析一下上述各式：

在（1）中，要求分解的多項式只有兩個項，即7x2和21x，這兩個項的數字因數分別是7和21，而7和21的最大公約數是7；然后，這兩個項中含有的字母非常簡單，只有一個，那就是x；在“7x 2”項中，x的指數為2次，在“21x”項中x的指數是1次，其中，1次為最小指數冪，所以，我們就把x當成是結果的一個單獨的因式了；于是，對于多項式“7x2-21x”來說，它的最大公因式就應該是7與x相乘所得的積“7x”。

對于（2）題來說，要求分解的多項式是a3b2-12ab3c+ab，共有三個項，而不是兩個項了。這三個項分別是：a3b2、12ab3c和ab。

在項“a3b2”中，其數字因數為省略了的“1”，含有的字母有兩個，分別是a和b；

在項“12ab3c”中，其數字因數為12，含有的字母有三個，分別是a、b和c；

在項“ab”中，其數字因數也為省略了的“1”，含有的字母也有兩個，即是a和b；

對于數字因數1、12與1來說，其最大公約數為“1”；字母因數a在三個項中的次數分別是3、1和1，最小指數冪為“a”；字母因數b在三個項中的次數分別是2、3和1，最小指數冪為“b”；字母因數c在三個項中的次數分別是0、1和0，最小指數冪為“c0”，而“c0=1”；又因為：“1”與“a”、“b”、“c0”相乘所得的積是“abc”，所以，多項式 “a3b2-12ab3c+ ab”的最大公因式只能是“abc”了。

至于第（3）題，要求分解的多項式6（x-2）+（2-x）+2x-4的情況又和前兩個都有所不同了：

整體一看，此多項式有四個項，即：6（x-2）、（2-x）、2x和4，但是，當我們注意到括號的整體性時，就會很自然的想到把它的最后的兩個項結合起來，看成是一個整體，即為：（2x-4）=2（x-2），從而，原先的多項式就變成了：

6（x-2）+（2-x）+2（x-2）

考慮到 “（2-x）”與“（x-2）”互為相反數，即：（2-x）=-（x-2），故原先的多項式也可以改寫成：

6（x-2）-（x-2）+2（x-2）

這樣，原多項式就由四個項變成了三個項，即：6（x-2）、（x-2） 和2（x-2）。

在項“6（x-2）”中，其數字因數為“6”，含有的字母只有一個，即是“（x-2）”；

在項“（x-2）”中，其數字因數為省略了的“1”，含有的字母也只有一個“（x-2）”；

在項“2（x-2）”中，其數字因數為“2”，含有的字母還是只有一個，即是“（x-2）”；

因為數字因數6、1與2的最大公約數是“1”；字母因數（x-2）在三個項中的次數都是1，最小指數冪就為“（x-2）”；又因為：“1”與“（x-2）”相乘所得的積是“（x-2）”，所以，多項式“6（x-2）-（x-2）+2（x-2）”的最大公因式是“（x-2）”，即原多項式6（x-2）-（2-x）+2x-4的最大公因式是“（x-2）”。

那么，聰明的，現在你能夠告訴我：第（4）題中多項式 3x2+6x2y -12xy2的最大公因式是是什么嗎？試一試，相信你一定能獨立對它進行因式分解。

（作者單位： 貴州省遵義縣鴨溪鎮(zhèn)中學 563100）