羅遠(yuǎn)峰 LUO Yuan-feng；王凈 WANG Jing

（①遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，遵義 563002；②貴州省習(xí)水縣樹人中學(xué)，習(xí)水 564600）

（①School of Mathematics and Computer Science，Zunyi Normal College，Zunyi 563002，China；②Guizhou Xishui County Shuren Middle School，Xishui 564600，China）

0 引言

眾所周知，用近似值的方法描繪出函數(shù)圖像，若取值越精確、描點(diǎn)越稠密，所得圖象就越準(zhǔn)確。近似求解的方法發(fā)展到今天，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域一個(gè)獨(dú)立的分支?！爸鸩剿阉鞣ā⒍址?、牛頓法、迭代法、玄截法、拋物線法等”[1]，都是計(jì)算數(shù)學(xué)中用于計(jì)算近似值的基本方法。二分法已經(jīng)用于求方程近似的解、求函數(shù)零點(diǎn)及極值點(diǎn)的近似值、廣義多項(xiàng)式求值、證明實(shí)數(shù)連續(xù)性中的部分定理、證明不等式等。但卻還未涉足用以描繪函數(shù)的圖像。因此，本文闡述了如何用二分法描繪函數(shù)圖像及其優(yōu)越性。

表1 函數(shù)零點(diǎn)近似值表

1 二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟

“若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且有f（a）f（b）＜0，則f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點(diǎn)。通過不間斷地把函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法”[2]。求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟：①確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f（a）f（b）＜0，給定精確度 ε；②求中點(diǎn)；③計(jì)算 （fc）；若 （fc）=0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；若f（a）f（c）＜0，則令a（此時(shí)零點(diǎn)x0∈（a，c））；若f（b）f（c）＜0，則令a=c（此時(shí)零點(diǎn)x0∈（c，b））；④判斷是否達(dá)到精確度ε；即若|a-b|＜ε，則得到零點(diǎn)近似值a（或b），否則重復(fù)②～④。

2 用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)和極值

用二分法求函數(shù)極值的近似值，主要是利用函數(shù)的駐點(diǎn)來對(duì)函數(shù)的極值求近似值，這類問題要求函數(shù)本身在給定的區(qū)間上具有一階導(dǎo)數(shù)，如果所求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不是基本初等函數(shù)，那么選擇用二分法去求它的近似值完全適用。

例1：求函數(shù)y=x4-4x3-x的零點(diǎn)與極值的近似值（精確到 0.01）。

解：因?yàn)楹瘮?shù)y=x4-4x3-x可看成 x4、4x3和 x三個(gè)子函數(shù)的代數(shù)和，而x4是較 x3、x更高階的無窮小，當(dāng) x＜0 時(shí)，y＜0，當(dāng) x=0時(shí) y=0，當(dāng) x＞5 時(shí)，y＞0。因此，此函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為[0，5)。現(xiàn)利用逐步搜索法尋找函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，取區(qū)間長度為0.05求得函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為[4,4.5]（表1）。

由于|4.0625-4.054875|＜0.01，已達(dá)到精確度，所以，可取4.0625作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值，此時(shí)，函數(shù)y=x4-4x3-x相應(yīng)的近似值為y4.0625≈0.1279。因此，函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為0，另一個(gè)零點(diǎn)的近似值為4.0625。

由于函數(shù)在實(shí)數(shù)集上可導(dǎo)，有y′=4x3-12x2-1，令 y′=0可將上式變?yōu)?x2（x-3）-1=0，顯然，當(dāng) x=0時(shí)，y′＜0，當(dāng) x=4 時(shí)，y′＞0。當(dāng) x＜0 時(shí)，y′＜0，當(dāng) x＞4 時(shí)，y′＞0。因此導(dǎo)函數(shù) y′=4x3-12x2-1的極值點(diǎn)的近似值所在區(qū)間為（0，4）（表2）。

由于|3.0234375-3.03125|=0.0078125＜0.01，因此，導(dǎo)函數(shù)方程的零點(diǎn)近似解可取為x=3.02734375。又因?yàn)閤=3.02734375 時(shí) y′＞0，x=3.0234375 時(shí) y′＜0，所以函數(shù) y=x4-4x3-x的極值點(diǎn)的近似值為y≈-31。

表2 函數(shù)極值近似值

3 用二分法求函數(shù)的拐點(diǎn)

函數(shù)拐點(diǎn)是函數(shù)圖象上凸和下凸的分界點(diǎn)，而函數(shù)的凸性在具體描述函數(shù)的性態(tài)和證明不等式方面有廣泛的運(yùn)用。因此，利用二分法求函數(shù)拐點(diǎn)的近似值能夠更準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖像，拓展二分法的應(yīng)用。在求函數(shù)拐點(diǎn)的近似值時(shí)，仍需要從函數(shù)拐點(diǎn)的定義入手，利用函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來為二分法的應(yīng)用提供條件。所以，要求函數(shù)具備二階導(dǎo)數(shù)。

例2：求函數(shù)y=x4-4x3-ln|x|（x∈R，x≠0）的零點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)的近似值（精確到0.01），并描繪函數(shù)的圖像。

解：由于此函數(shù)在（x∈R，x≠0）上存在二階導(dǎo)數(shù)，其二階導(dǎo)函數(shù)為，令 y″＜0，利用逐步搜索法取區(qū)間長度為0.5，得出二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（1.5，2）和（0，1），區(qū)間端點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)值然后求二階導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的近似值。

由于|1.976525-1.98437125|＜0.01，|0.375-0.3828125|＜0.01，因此可取二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分別為x1=0.375，x2=0.976525。此時(shí)，y1≈0.97，y2≈-16.41。由函數(shù)拐點(diǎn)的定義可知，（x1，y1）是函數(shù)的拐點(diǎn)，又因?yàn)椋▁2，y2）左側(cè)下凸，右側(cè)下凸。所以（x2，y2）不是函數(shù)的拐點(diǎn)。參照例1的方法，求得函數(shù)y=x4-4x3-ln|x|的零點(diǎn)近似值分別為x3=0.5495，x4=4.015；導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)近似值分別為x5=-0.4175，x6=3.0215,此時(shí),函數(shù)極值的近似值分別為 y5≈1.2,y6≈-29.37。

4 用二分法描繪函數(shù)圖像的認(rèn)識(shí)

4.1 用二分法描繪函數(shù)圖像的優(yōu)越性 利用二分法描繪函數(shù)圖像主要是利用函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)的近似值，以整體把握函數(shù)的基本性質(zhì)，進(jìn)而描繪出函數(shù)的圖像，而且在求某些函數(shù)的漸近線上仍然可以運(yùn)用二分法。另外，“基于區(qū)間套定理的理論基礎(chǔ)結(jié)合‘代整為零，積零為整’的數(shù)學(xué)思想，二分法可以有效證明不等式?！盵3]“二分法簡單直觀，特別適合用來求迭代法的初值?！盵4]總之，用二分法求近似值的思想易于理解，便于掌握。

4.2 用二分法描繪函數(shù)圖像的弱點(diǎn)及改進(jìn)設(shè)想 從以上幾個(gè)例子容易看出，“用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值收斂速度太慢”，如果不借助計(jì)算機(jī)，很難操作，且用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)方面常常很難找全零點(diǎn)所在的區(qū)間。另外“用二分法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，如果在區(qū)間[a，b]內(nèi)有多個(gè)實(shí)根，則單獨(dú)利用二分法只能得到其中一個(gè)實(shí)根”[5]。因此在找函數(shù)的零點(diǎn)問題上，可考慮用函數(shù)的極值、單調(diào)性、拐點(diǎn)等來探求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，可以綜合運(yùn)用其它來描繪函數(shù)圖像，這樣便解決了收斂速度過慢的問題，但在這方面需要進(jìn)一步探索。

5 結(jié)束語

本文僅僅研究了二分法描繪函數(shù)圖像的一些步驟，結(jié)合自身實(shí)踐對(duì)該方法的優(yōu)劣與發(fā)展提出了看法和設(shè)想，認(rèn)識(shí)難免膚淺，還需今后進(jìn)一步探究。另外，也期待對(duì)該方法有研究者的交流指導(dǎo)。

[1]肖筱南.現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算方法[M].北京:北京大學(xué)出版社,2003，7（第1版）：80-83.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1（A版）[M].北京：人民教育出版，2007，1（第 2版）：89-91.

[3]劉小明.二分法思想的應(yīng)用[J].高中生之友,2011，12(9)：27-28.

[4]鄭成德,李志斌,王國燦,孫日明,李炎淼.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京：清華大學(xué)出版社,2010，9（第1版）:142-158.

[5]徐士良.數(shù)值分析與計(jì)算法[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2007，1（第1版）：154-156.