■王瑩

聚焦多樣策略 彰顯優(yōu)化思想
——小學(xué)數(shù)學(xué)《找次品》教學(xué)設(shè)計及反思

■王瑩

【教學(xué)內(nèi)容】

義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)五年級下冊教材第134～135頁。

【背景分析】

《找次品》是人教版數(shù)學(xué)五年級下冊第七單元數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容。本節(jié)課學(xué)習(xí)中要找的次品具有以下特點：外觀與合格品完全相同，只是質(zhì)量有所差異，且事先已經(jīng)知道次品比合格品輕（或重），另外在所有待測物品中只有唯一的一個次品。

新課程標準指出：培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)要達到的重要目標之一。因而新課標教材系統(tǒng)而有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法。找次品的教學(xué)，旨在通過找次品滲透優(yōu)化思想，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系。優(yōu)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，運用它可有效地分析和解決問題。本節(jié)課以找次品這一操作活動為載體，讓學(xué)生通過觀察、猜測、試驗等方式感受解決問題策略的多樣性，在此基礎(chǔ)上，通過歸納、推理的方法體會運用優(yōu)化策略解決問題的有效性，感受數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)觀察、分析、推理以及解決問題的能力。

【設(shè)計思路】

為使教學(xué)過程符合學(xué)生的認知水平，在整個教學(xué)過程中，教師安排了從不同數(shù)量測品中找次品的方案設(shè)計，其中的目標各有側(cè)重。具體安排是：

（1）從3個待測物品中找較輕的一個，運用天平原理，知道每次比較都有兩種可能，即平衡和不平衡，為思維的嚴密性提供基礎(chǔ)。

（2）從5個待測物品中找較輕的一個，經(jīng)歷完整的邏輯推理過程，感受策略的多樣性。

（3）從9個待測物品中找次品，比較、探索最佳策略，經(jīng)歷從多樣化過渡到優(yōu)化的思維過程。

（4）從10個、20個待測物品中找次品，歸納從數(shù)字不是3的倍數(shù)的數(shù)量中找一個次品的策略，完善規(guī)律。

（5）讓學(xué)生回到開課需要解決的問題81個更大數(shù)據(jù)對利用天平找次品規(guī)律進行驗證。

【教學(xué)目標】

1.先用學(xué)具動手操作親歷找次品的過程，繼而思考梳理用簡單的數(shù)學(xué)符號記錄，對找次品問題進行分析，歸納出解決這類問題的最優(yōu)策略——把待測物品平均分成3組，經(jīng)歷由多樣到優(yōu)化的思維過程。

2.以找次品活動為載體，讓學(xué)生通過觀察、猜測、試驗、推理等方式感受解決問題策略的多樣性及運用優(yōu)化的方法解決問題的有效性。

3.讓學(xué)生體會用縮小范圍逐步逼近的方法來解決問題的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生思考問題的嚴密性和口頭語言表達的邏輯性。

【教學(xué)重點】

發(fā)現(xiàn)解決找次品這類問題的最佳策略。

【教學(xué)難點】

理解并認可最佳策略的有效性。

【教學(xué)準備】

教具：圓片、簡易天平板貼、PPT課件。

學(xué)具：圓片。

【教學(xué)過程】

淵課前游戲冤師院我們來玩一個找人的游戲袁給出三個條件袁請你找出他是誰遙第一個條件院他是男生遙第二個條件院他在第二大組遙第三個條件院他坐在第三排遙

生院找到了袁是李明遙

師院如果只能從三個條件中挑一個去找人袁你挑哪個鑰

生院我選第三個條件遙因為前兩個條件的范圍太大了袁找的范圍縮得越小袁就越容易找遙

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

1.故事引入

師院大名鼎鼎的微軟公司前CEO比爾窯蓋茨袁在一次高級管理人員招聘面試中袁提了這樣一個有趣的問題院有81個小球袁外觀看起來完全一樣袁但其中有一個球稍稍輕一點袁你能想個辦法很快保證找到這個球嗎鑰一位年輕的應(yīng)聘者稍作思考后說袁我只用一個常見的工具袁就能很快保證找到這個球遙比爾聽了年輕人的具體辦法后點頭微笑袁這個聰明的年輕人后來成為了微軟的副總裁遙

師院同學(xué)們袁聽了這個小故事后你有什么疑問鑰想提出什么問題鑰

生院想知道年輕人是怎樣找到那個輕一點的球的鑰

師院老師也很想知道浴還想問什么鑰

生院想知道他用的是什么工具鑰

師院你們猜猜看鑰

生院天平遙

師院你們跟副總裁想得一模一樣哦浴用天平怎樣稱袁能一下子從81個小球中找到輕的那個袁咱們一起來想辦法解決浴

2.揭示課題

師院生活中袁有些物品外觀看起來完全一樣袁但是質(zhì)量略差袁我們把那些質(zhì)量略差的東西叫做次品袁那個輕一點的球就可以稱為次品遙今天這節(jié)課我們就來研究如何用天平找次品遙淵板書課題院找次品冤

師院大家都想知道年輕人是怎樣稱的袁那我們先來猜猜看袁他最后找到次品總共稱了幾次鑰

淵生自由猜測稱的次數(shù)冤

師院同學(xué)們猜的結(jié)果不一樣袁可能是因為81這個數(shù)據(jù)太大了遙你們有什么好辦法嗎鑰

生院我們可以從數(shù)量較小的開始想起浴

二、自主探究，感知策略

1.從3個中找次品，初步建立基本思維方式

師：最簡單的情況，用天平從2個球中找到輕的那個，會嗎？

生：會。只用稱一次，天平翹起來的那邊就是輕的。

師：那如果從3個球中找一個次品，有辦法嗎？需要稱幾次？思考一下。

生：還是一次。

師：有支持者嗎？請你上黑板用圓片代替小球，把稱的過程演示給大家看一看。

（生到黑板上，用圓片代替小球，在簡易活動天平兩邊進行操作）

師：大家都看清楚了嗎？來，我們把手伸出來，親自稱一次。想象一邊放一個球，外面還有一個，稱一次，如果平衡，會怎樣？

生齊答：如果平衡，次品就在外面。

師：你們真棒！能夠思考推理出剩下的一份是次品，用到了推理的數(shù)學(xué)思想！如果不平衡呢？

生：如果不平衡，次品就在翹起來的那邊。

師：也就是不管平不平衡，我們一次就能找到次品。

師板書：平衡→外，不平衡→內(nèi)。

2.從5個中找次品，初步體驗問題解決的方案

師：從3個里面找到次品我們都弄懂了，復(fù)雜點，來看看5個，請注意這個詞語——保證。請先獨立思考，拿出5個學(xué)具動手擺一擺，擺完的同學(xué)可以跟同桌小聲交流交流。

師：誰來說說你稱幾次能保證找到次品？

生：2次。

師：你能說說過程嗎？給你找個小幫手，你來說，他來擺。

生：天平的左右各放兩個小球，如果平衡，外面的就是次品。如果不平衡，次品在翹起來的那邊，把那兩個再稱一次，翹起來的就是次品，所以要稱兩次。（另一個學(xué)生在黑板用教具演示）

師：大家聽懂了嗎？我有個疑問了，2個2個的稱，天平平衡時，次品在哪？一次就找到了呀？

生1：這種情況不能保證找到。

生2：這是運氣好的情況。

師：考慮什么樣的情況就能保證找到？

生：考慮最不利的情況就能保證找到！

師：我們已經(jīng)把最壞的情況考慮進來了，也就是全面的考慮了所有的情況，按此方法，2次一定能保證找到次品。下面我們用簡潔的數(shù)學(xué)符號來記錄這種方法。

板書：5（2，2，1）→2（1，1）2次

3.初步歸納與感知

師：開始我們從3個里面找次品，現(xiàn)在我們又從5個里面找次品，不同的數(shù)量、不同的方法，可第一次稱時，卻不約而同都把總數(shù)分成3份，莫非是分成3份有什么好處嗎？誰來說說好處?

生：分為三份，我們稱一次就可以確定次品要么在左邊、要么在右邊、要么在外面，可以確定次品的范圍。

評析：本課的活動性和操作性比較強，學(xué)生動手實踐、小組討論、自主探究是教學(xué)方式的最佳選擇。由于有上面的鋪墊，學(xué)生知道了用天平稱的原理，從5個待測物品中找次品，學(xué)生在試驗中可能會得出幾種結(jié)果，但大部分會出現(xiàn)以上兩種方法。教師再運用操作法或畫圖法幫助學(xué)生理解思考過程，能更好地訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力，并引導(dǎo)學(xué)生初步理解“至少稱2次就一定能找到這個次品”的理由。當然，畫圖示法時必須讓學(xué)生了解各個數(shù)字、符號所表示的含義。

三、深化探究，尋找規(guī)律

1.從9個中找次品，優(yōu)化找次品的最佳方案

師：5個里面找次品，圓滿解決了，再復(fù)雜一點，請看——有9個外觀一樣的小球，其中有一個是次品（重量稍輕），現(xiàn)在給你一架沒有砝碼的天平，你至少需要稱幾次，保證能把這個次品找出來？要求發(fā)生了什么變化？能解釋一下是什么意思嗎？請先獨立思考，動筆像黑板上這樣記錄你的思維過程，有困難的同學(xué)可以借助學(xué)具擺一擺，寫完了可以跟同桌交流一下想法。

（生思考交流）

師：剛才聽到有的同學(xué)說要3次，還有的同學(xué)說2次就行，到底至少幾次呢？看來需要交流交流，先從多的來，誰剛才說要3次的？說說你是怎樣稱的？

生1：在天平兩邊各放4個小球，外面還剩1個。稱一次，考慮最不利的情況，次品在內(nèi)，天平不平衡。接下來從翹起來的4個里面找次品，兩邊各2個，天平不平衡，再把翹起來的那邊稱一次，可以找到次品，總共稱了3次。

師板書：9（4，4，1）→4（2，2）→2（1，1）3次

生2：我是在天平兩邊各放2個小球，外面還剩5個。稱一次后考慮最不利的情況，次品在外面。接下來再從5個里面找次品，就是剛才我們解決過的問題，還需要兩次找到，也是3次保證找到次品。

師板書：9（2，2，5）→5（2，2，1）→2 （1，1）3次

師：那2次就找到次品的同學(xué)，也來說說你的方法？

生：我是把小球平均分成3份，天平兩邊各3個，外面還有3個。平均分，這里不存在運氣問題，不管平衡還是不平衡，次品一定在某一個3里面，接下來再用一次就可找到?？偣?次找到次品。

師板書：9（3，3，3）→3（1，1，1）2次

評析：從待測物品是3的倍數(shù)中找次品，讓學(xué)生經(jīng)歷從多樣化過渡到優(yōu)化的思維過程。學(xué)生從動手實驗并嘗試用圖示法記錄操作過程，到完全脫離實物操作，只用圖示法進行分析，實現(xiàn)了從具體形象思維到抽象邏輯思維的過渡，初步感知解決找次品問題的基本策略和方法。采用小組合作的方式進行，并要求選1～2種分法進行試驗，能提高探究的效率，保證在較短的時間內(nèi)把幾種情況都分析到]

2.比較優(yōu)化，尋找最佳

師：這些方法，稱了一次后都不能保證找出次品，那稱一次起什么作用呢？

生：縮小范圍。

師：通過第一次的稱量，生1把范圍從9縮小到4；生2……

師：提一個高難度的問題：從9個玻璃球中找出一個次品，都是把9分成了3份，為什么最后這種方法稱了2次就找出了次品，而前面都要稱3次呢？

生：因為最后這種方法稱了一次后把范圍縮的最小，所以最快找到！

師：那我們怎么分能讓每一份的范圍最??？

生：平均分。

師：連在一塊就是——平均分三份，這就是我們快速找到次品的方法！平均分成三份，每一份的范圍會最小。可是有些數(shù)去除以3以后是有余數(shù)的呀，有余數(shù)的怎么平均分？舉個例子，7，怎么分？8分成怎樣的3份？

生1：7除以3余1，把多的一個放在外面，分成2，2，3。

生2：8除以3余2，把多的兩個左右各放一個，分成3，3，2。

四、練習(xí)鞏固，拓展延伸

師：同學(xué)們總結(jié)得真好！那我們就來考慮更復(fù)雜的情況，請看，從10個里面找一個較輕的次品，至少要幾次？

生1：我分成3、3、4這三份，稱一次后考慮最不利的情況，次品在4個中，再稱2次找到次品，總共稱了3次。

生2：我跟他的想法不一樣，我在天平兩邊各放5個小球，稱一次，再從翹起來的5個里面找次品，也是3次找到的。

師：這兩種方法都是用了3次保證找到了次品，如果碰到的數(shù)據(jù)很大，你更愿意用哪一種方法？為什么？

生：用分3份的方法，因為這樣能把范圍縮的更小。

師：給一個更大的數(shù)據(jù)，20，有沒有辦法？先想想把20分成怎樣的3份？

生：把小球分成7，7，6三份，稱一次，考慮最不利的情況，次品在7個里面。再把7個分成2，2，3三份，接下來從3個里面找次品。總共需要3次就找到了。

評析：從待測物品不是3的倍數(shù)中找次品，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的數(shù)學(xué)分析模式，完善找次品的基本策略和方法，體會運用優(yōu)化的思想解決問題的有效性，這也是本課的重要目標。

師：現(xiàn)在再讓你解決比爾蓋茨的面試題，有辦法了嗎？試一試。

生：把81個小球平均分成3份，第一次稱，不管有沒有平衡，次品一定在某個27里面；第二次稱，不管有沒有平衡，次品一定在某個9里面；從9個里面找前面我們已經(jīng)研究過了需要2次，總共4次就保證能找到。

師板書：81（27，27，27）→27（9，9，9）→94次

師：你說得太棒了！這個結(jié)果，你們剛才沒有想到吧？數(shù)學(xué)真的很奇妙！

五、總結(jié)與思考

師：時間過的真快，我們就快下課了，這節(jié)課你有什么收獲？

生1：我們碰到復(fù)雜的問題可以先從簡單的入手。

生2：解決同一個問題有不同方法時，咱們選那個最簡便的方案。

師：對！這些好的思維方式在以后的學(xué)習(xí)中還會繼續(xù)發(fā)揮作用！

評析：讓學(xué)生回顧和總結(jié)，經(jīng)歷知識形成過程的一般的建模方式，完善找次品從簡單的入手，引導(dǎo)學(xué)生觀察，自己歸納出規(guī)律，優(yōu)化的思想解決問題策略的有效性，拓展延伸到課外，把握住教師的指導(dǎo)性和學(xué)生的自主性

【教學(xué)反思】

從選課到試教，再從教學(xué)到收獲，這其中波折不斷，但我依然收獲著它饋贈給我的那些獨特的感悟。

1.抓準時機，自然滲透數(shù)學(xué)思想

日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏曾說過：作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年可能就忘了，惟有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維、研究方法和著眼點等，這些隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益。國內(nèi)有專家總結(jié)，小學(xué)六年，數(shù)學(xué)教學(xué)要留給學(xué)生三大基本能力：一是邏輯推理能力，二是透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力，三是化繁為簡的能力。

數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認識，從數(shù)學(xué)認識過程中提煉出的觀點，它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中的規(guī)律，是學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的紐帶，是由知識轉(zhuǎn)化為技能的橋梁。培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及解決問題的方法，有著重要的意義。而學(xué)生數(shù)學(xué)思想的又是由淺入深，循序漸進的過程。需要教師在教學(xué)中，抓準時機，適時滲透，使學(xué)生一點一滴的感悟數(shù)學(xué)思想。

如在創(chuàng)設(shè)情境“從81個小球中找一個次品”后，請學(xué)生猜測要稱幾次才能找到次品，大家的答案各不相同。老師問大家“可能是因為81這個數(shù)據(jù)太大了，你們有什么好辦法嗎？”學(xué)生想到“我們可以從數(shù)量較小的開始研究”。這里滲透了化繁為簡的數(shù)學(xué)思想?；睘楹喴蔀橐环N能力，必須要有習(xí)慣的化繁為簡的意識和熟練的化繁為簡的方法，所以，在增加的問題和課本例題之間有意強化了化繁為簡的策略意識。

又如在從3個里面找次品時，當學(xué)生回答“如果平衡，次品就在外面”時，是將天平外看作了無形的托盤，通過天平平衡推理出了外面的是次品。我抓住時機對學(xué)生進行肯定“你們真棒！能夠思考推理出剩下的一份是次品，用到了推理的數(shù)學(xué)思想！”問題是學(xué)生思考解決的，老師只是告訴學(xué)生思考是的數(shù)學(xué)思想——推理思想。學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中體會到了數(shù)學(xué)思想，而且在解決問題的過程中運用了數(shù)學(xué)思想，想必很有成就感。自然會將推理的數(shù)學(xué)思想滲透到思維之中。

2.分散難點，層層推進化難為易

本課教學(xué)的重點是通過觀察、猜測、試驗、推理等方式總結(jié)歸納出找次品這類問題的最優(yōu)方法——將物品總數(shù)盡量平均分成三份，找到次品所用的次數(shù)最少。要想順利突破重難點，就要在教學(xué)過程中解決兩個難題：（1）為什么要分成3份？（2）分成怎樣的3份？解決好上面兩個問題，學(xué)生才算是真正的理解了找次品的方法。為了把教學(xué)難點化難為易，在教學(xué)過程中，我把本節(jié)課的教學(xué)難點由淺入深適時滲透到教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中，逐個擊破，降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負擔。

如在“從3個中找次品，初步建立基本思維模型”的環(huán)節(jié)中，三個小球中找一個次品就滲透了“分3份”的思想。分3份能夠在天平不平衡時找到次品在天平內(nèi)，更可貴的是還能夠在天平平衡時推理出次品在天平外。天平外其實也是個無形的托盤，在教學(xué)環(huán)節(jié)中猶如蜻蜓點水般的一點而過，卻給了學(xué)生開啟思維的鑰匙，為教學(xué)環(huán)節(jié)和環(huán)節(jié)埋下了伏筆。

又如在教學(xué)“從5個中找次品”的環(huán)節(jié)中，活動完畢后我請學(xué)生思考“開始我們從3個里面找次品，現(xiàn)在我們又從5個里面找次品，不同的數(shù)量、不同的方法，可第一次稱時，卻不約而同都把總數(shù)分成3份，莫非是分成3份有什么好處嗎？誰來說說好處?”引導(dǎo)學(xué)生體會分成3份后只要稱一次，不管平不平衡，都能把次品鎖定在3份中的一份里。

在前兩個教學(xué)環(huán)節(jié)中，解決了“為什么分3份”的教學(xué)難點，為后面教學(xué)“從9個里面找次品”掃清了障礙。在“從9個中找次品”的環(huán)節(jié)中，我讓學(xué)生自主探究從9個小球中找次品的方法，然后匯報出三種方法分別是：9(4，4，1)分法，3次找到次品；9(2，2，5)分法，3次找到次品；9(3，3，3)分法，2次找到次品。

學(xué)生很容易得出平均分成3份是最優(yōu)方法。緊接著我請學(xué)生思考“都是分成3份，為什么第三種方法只要2次就能找到次品？”學(xué)生觀察后理解：范圍越小越容易找，只有平均分才能使每一份的范圍縮的最小。是3的倍數(shù)的平均分成3份的教學(xué)難點突破以后，除以3有余數(shù)的情況也就不攻自破了——余1放在外面，余2就左右各放一個。這樣分，每份的范圍最接近。我將本節(jié)課的教學(xué)難點適時地滲透到了各個教學(xué)環(huán)節(jié)之中，化難為易，既充實了課堂內(nèi)容，又減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔。

（作者單位：湖北省武昌水果湖第二小學(xué)）

責任編輯 王愛民