覃發(fā)崗　寧紀獻

摘要：對柯西不等式基本形式作了介紹，給出了柯西不等式的應用。

關鍵詞：不等式；應用；柯西不等式

1.引言

柯西不等式是數(shù)學中一個非常重要的不等式，本文將給出其在數(shù)學的其他方面的應用。

柯西不等式[1-3] 已知ai，bi∈Ri=1，2，…，n，則∑ni = 1ai bi 2≤∑ni = 1a2i ∑ni = 1b2i ，當且僅當a1b1=a2b2=…=anbni=1，2，…，n時等號成立。

2.主要結(jié)果

2.1在證明等式中的應用

例1若α，β∈0，π4且（1-tanβ）sinα+（1+tanβ）cosα=2sec β，求證：α+β=π4。

證明由柯西不等式得，

[（1-tanβ）sinα+（1+tanβ）cosα]2≤（1-tanβ）2+（1+tanβ）2」（sin2α+cos2α）=2（1+tan2β）=2sec2β，

則

（1-tanβ）sinα+（1+tanβ）cosα≤2secβ

當（1-tanβ）cosα=（1+tanβ）sinα即tanα=1-tanβ1+tanβ=tanπ4-β時等號成立。

又α，β∈0，π4，所以α=π4-β，即α+β=π4。

2.2在證明不等式中的應用

例2設x，y，z是正數(shù)，證明：1+yz+zx（1+x+y）2+1+zx+xy（1+y+z）2+1+xy+yz（1+z+x）2≥1

證明由柯西不等式得

[z（x+y）+1]x+yz+1≥（x+y+1）2，

即

（zx+zy+1）x+y+zz≥（x+y+1）2，

所以

1+yz+zx（1+x+y）2≥zx+y+z（1）

同理可得

1+zx+xy（1+y+z）2≥xx+y+z，（2）

1+xy+yz（1+z+x）2≥yx+y+z（3）

將上面三個不等式⑴，⑵，⑶相加，得

1+yz+zx（1+x+y）2+1+zx+xy（1+y+z）2+1+xy+yz（1+z+x）2≥1，

故原不等式得證.

2.3在解方程或方程組問題中的應用

例3解方程4x+3+21-2x=15

解原方程可變形為2·2x+32+21-2x=15

由柯西不等式可得

（15）2=15=2·2x+3221-2x2

≤[（2）2+22]2x+322+（1-2x）2=15，

其中等號成立的充要條件為2x+322=1-2x2。

解得

x=-13，

故原方程的解為x=-13。

例4在實數(shù)集內(nèi)解方程x2+y2+z2=2

3x+4y-5z=10。

解由柯西不等式得

（x2+y2+z2）32+42+（-5）2」=（3x+4y-5z）2，

又

（x2+y2+z2）[32+42+（-5）2]=2×（9+16+25）=100=102，

（3x+4y-5z）2=102，

故

（x2+y2+z2）（32+42+（-5）2）=（3x+4y-5z）2。

即柯西不等式中只有取等號時上式才成立，從而由柯西不等式中等號成立的條件，得

x3=y4=z-5，

它與3x+4y-5z=10聯(lián)立得：

x=35，y=45，z=-1。

2.4在求參數(shù)范圍中的應用

例5已知對于滿足等式x2+6y2=6的任意實數(shù)，對（x，y）恒有ax+y≤5，求實數(shù)a的范圍。

解由柯西不等式得，

（ax+y）2=ax+166y2

≤a2+16（x2+6y2）

=6a2+1，

故