蘇曉海， 楊立夫

(陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

本文所涉及的圖都是簡單的無向連通圖。設(shè)圖G的頂點(diǎn)集和邊集分別記為V(G)和E(G)，|V(G)|和|E(G)|分別表示圖G的頂點(diǎn)數(shù)(階數(shù))和邊數(shù)。一個圖G的圈數(shù)λ定義為λ=|E(G)|-|V(G)|+1，λ=1的圖稱為單圈圖。如果u和v是圖G的兩個頂點(diǎn)，則連接它們的最短路的邊數(shù)稱為這兩點(diǎn)之間的距離，記為d(u，v)。設(shè)f=uv，g=xy是圖G的兩條邊，則f和g的平均距離記作D′(f，g)，定義為

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)G?C4(Pn-3)，所以當(dāng)n>10時具有第三大邊平均Wiener指標(biāo)的n階單圈圖是C4(Pn-3)(見圖1)。

圖1 單圈圖C4(Pn-3)、C3(Tn-2) 及其子圖Tn-2

從而

,(n>10),

分兩種情況證明：

由于n>10，m=3，故k取值只可能是1，2或3。

圖2 單圈圖 及其子圖

又因為

所以

由于

綜上所討論可知，當(dāng)n>10時，

且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)G?C4(Pn-3)。所以，當(dāng)n>10時具有第三大邊平均Wiener指標(biāo)的n階單圈圖是C4(Pn-3)。定理得證。

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