姚其江

摘 要 本文從中考中的數(shù)學(xué)猜想題引入，分析了數(shù)學(xué)猜想在教學(xué)中的運(yùn)用，探討了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)猜想的引導(dǎo)方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力作了一定的研究。

關(guān)鍵詞 初中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)猜想 運(yùn)用引導(dǎo)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2014）05-0075-03

數(shù)學(xué)猜想，是指根據(jù)已知的事實(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)未知量及其關(guān)系做出的一種判斷。它既含有邏輯成分，又含有非邏輯的成分。因此他具有一定的科學(xué)性和很大程度的假定性，可以真也可以假。數(shù)學(xué)猜想對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起著重要的推動(dòng)作用，在數(shù)學(xué)發(fā)展的幾千年長(zhǎng)河中，許多重要定理是由數(shù)學(xué)家們通過(guò)實(shí)驗(yàn)、歸納、大膽提出猜想，再對(duì)猜想或證明其結(jié)論的正確性，或通過(guò)尋求反例推翻它。如歷史上著名的費(fèi)爾馬猜想、四色猜想、歐拉猜想、哥德巴赫猜想等等。這些猜想，有的已經(jīng)獲得了圓滿解決，有的至今仍吸引著數(shù)學(xué)家們?yōu)閷で蟠鸢付M(jìn)行著艱苦的攀登（如“哥德巴赫猜想”）（1742年），在探求這些猜想解決的征途上，使一個(gè)又一個(gè)數(shù)學(xué)分支，一種又一種數(shù)學(xué)新方法相繼誕生，推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)研究的長(zhǎng)足前進(jìn)，可以說(shuō)，沒(méi)有猜想，就沒(méi)有科學(xué)的進(jìn)步。

猜想，是一種高層次的思維活動(dòng)，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中的一種創(chuàng)造性思維。進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的重要途徑，因此，我們?cè)诮虒W(xué)中必須十分重視運(yùn)用猜想和引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想。

先從中考中的一種重要的題型——數(shù)學(xué)猜想題說(shuō)起。

一、中考中的數(shù)學(xué)猜想題

近幾年來(lái)各地中考試題中出現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)猜想題，這對(duì)學(xué)生掌握以雙基和建立良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神有重要的促進(jìn)作用。

下面列舉一些地區(qū)的^中考試卷中的猜想型試題。

1.根據(jù)給出的已知規(guī)律，猜想問(wèn)題的結(jié)論

這類題型是指問(wèn)題中給出幾個(gè)具體的關(guān)系式（有的這類關(guān)系可通過(guò)特例探求得出），要求通過(guò)對(duì)這些關(guān)系式的考察、實(shí)驗(yàn)、分析、對(duì)比、歸納，猜想出一般規(guī)律，并進(jìn)行運(yùn)用或證明。

例1.觀察下列各式：

==2，==3.==4

你能得到怎樣的結(jié)論？并給出證明。結(jié)論：

==n，（n>1的整數(shù)）。證略。

2.根據(jù)問(wèn)題給出的條件，猜想出問(wèn)題的結(jié)論，并給出證明

這類問(wèn)題一般是給出條件，而結(jié)論不確定或不唯一，其目的是讓學(xué)生根據(jù)題目所提供的各種信息去探求相應(yīng)的結(jié)論，也就是我們平常所說(shuō)的“執(zhí)因索果”，這類問(wèn)題的一般思路是，從所給條件（包括圖形特征）出發(fā)，進(jìn)行探索、歸納，大膽猜想出結(jié)論，然后對(duì)猜想的結(jié)論進(jìn)行證明。

（1）結(jié)論的發(fā)散性

例2.已知⊙O內(nèi)切四邊形ABCD，AB=AD，連結(jié)AC，BC，由這些條件你能推出哪些結(jié)論？（要求：繪出工整的圖，不寫畫法，圖中除A，B，C，D，O五個(gè)字母外，不再標(biāo)注其他字母，不再添加任何輔助線，不寫推理過(guò)程，推出五條結(jié)論給滿分，推出六條以上者應(yīng)給予加分。）（2009年寧波中考題）

（2）結(jié)論的穩(wěn)定性

例3.如圖3，已知：AD是圓的直徑，BC切圓于D，AB，AC與圓分別相交于E，F(xiàn)，那么顯然有結(jié)論；AE·AB= AF·AC。

如果直線BC向上平移，使它與圓相交于兩點(diǎn)，而AB，AC與圓的交點(diǎn)仍分別是E和F，如圖3（2），在此條件下，AE·AB=AF·AC是否成應(yīng)？若成立，請(qǐng)予證明；若不成立.，請(qǐng)說(shuō)明理由。（2011年杭州市中考題）

（3）結(jié)論的存在性

例4.已知點(diǎn)A（-1，-1）在拋物線y= （k2-l）x2-2（k-2）x+1上。（1）求拋物線的對(duì)稱軸；（2）若點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，問(wèn)量否存在與拋物線只交于一點(diǎn)B的直線？如果存在，求符合條件的直線；如果不存在，說(shuō)明理由。（2011年嘉興中考題）

（4）結(jié)論的隱蔽性

例5.若⊙O1、⊙O2、⊙O3，……都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和B，點(diǎn)P是線段AB延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)，從點(diǎn)P向⊙O1、⊙O2、⊙O3，……各圓作切線，切點(diǎn)分別為C1，C2，C3……，（1）請(qǐng)你判斷這些切點(diǎn)怎樣的幾何圖形上；（2）請(qǐng)證明你得到的結(jié)論。（2010年蘇州市中考題）。

（5）結(jié)論的不定性

例6.如圖4，已知等邊△ABC的面積為S，⊙O是它的外接圓，點(diǎn)P是BC弧的中點(diǎn)。（1）試判斷過(guò)點(diǎn)C所作⊙O的切線與直線AB是否相交？并證明你的結(jié)論，（2）設(shè)直線CP為AB相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E。證明BE是⊙O的切線，并求△BDE的面積。（2009年廣州市中考題）。

3.根據(jù)已知結(jié)論，猜想出結(jié)論成立的條件。

這類試題是指問(wèn)題中結(jié)論明確，而需要完備使結(jié)論成立的條件的題目，它要求學(xué)生能掌握基礎(chǔ)知識(shí)并進(jìn)行逆向思維，也就是“執(zhí)果索因”，解題思路一般是，從所給結(jié)論出發(fā)，由特殊到一般，經(jīng)試驗(yàn)，猜想得出應(yīng)具備的條件，然后進(jìn)行證明。

例7.已知：如圖5，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)。（1）EF和AD之間有什么特殊的位置關(guān)系？請(qǐng)證明你找到的結(jié)論。（2）若四邊形AEDF是菱形，則△ABC滿足什么條件？（2012年常州市中考題）。

答：（1）EF垂直平分AD，證略。

（2）△ABC是等腰三角形（AB=AC）。

二、數(shù)學(xué)猜想在教學(xué)中的運(yùn)用舉例

從上述中考數(shù)學(xué)猜想題的例子中，可以看到這類問(wèn)題形式新穎，題設(shè)和結(jié)論都具有較大的開(kāi)放性，思考方向不定，因此，綜合性和邏輯性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的觀察、分析、比較、歸納、猜想、推理等諸多能力，適應(yīng)當(dāng)代社會(huì)的生活、生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展，有著十分重要的作用。

教學(xué)肩負(fù)著培養(yǎng)跨世紀(jì)人才的重任，最主要的是培養(yǎng)創(chuàng)造性人才，創(chuàng)造性人才的培養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中表現(xiàn)為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性思維能力。數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)是進(jìn)行思維訓(xùn)練的教學(xué)，而“猜想”是一種創(chuàng)造性的思維形式。所以培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力對(duì)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)十分重要，著名的數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說(shuō)：“要成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，……，你必須首先是一個(gè)好的猜想家?！弊阋?jiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)專家們對(duì)猜想能力的肯定與重視。培養(yǎng)學(xué)生“猜想”能力絕不是一朝一夕所能辦得到的，它需要我們長(zhǎng)期堅(jiān)持不懈，寓“猜想”能力的培養(yǎng)于平時(shí)的教學(xué)之中。在教學(xué)中，恰當(dāng)運(yùn)用猜想，可以促進(jìn)學(xué)生以一個(gè)創(chuàng)造者、發(fā)明者的身份去探究知識(shí)、無(wú)疑在心理上將會(huì)產(chǎn)生一種極大的滿足和喜悅，從而激發(fā)興趣，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)性。endprint

1.通過(guò)類比猜想概念

在概念教學(xué)時(shí)，要重視概念的形成過(guò)程，要了解知識(shí)的發(fā)現(xiàn)發(fā)展過(guò)程，要善于引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)腦筋去發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)特征，去認(rèn)識(shí)概念間的關(guān)系。在學(xué)習(xí)因式分解概念時(shí)，筆者首先讓學(xué)生回憶小學(xué)質(zhì)因數(shù)分解概念，然后引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)與式、因數(shù)與因式之間的區(qū)別與聯(lián)系，鼓勵(lì)學(xué)生去猜想因式分解的概念。

2.通過(guò)歸納猜想公式

所說(shuō)的歸納，主要指的是不完全歸納，或者說(shuō)是經(jīng)驗(yàn)性的歸納，即通過(guò)部分實(shí)例推測(cè)具有普遍意義的數(shù)學(xué)性質(zhì)，這在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要位置，教材中很多性質(zhì)、規(guī)律等都是這樣歸納出來(lái)的。如初中代數(shù)“同底數(shù)的冪的乘法法則”的提出，103€譴02= （10€？0€？0）€？10€？0）=l05 23€？2=（2€？€？）€祝？€？）=25，經(jīng)驗(yàn)歸納，提出猜想：

∴am·an=am+n

歸納結(jié)論：同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。又如公式（a+b）2=a2+2ab十b2的教學(xué)老師可先提出兩個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題l：（a+b）2和a2+b2相等嗎？學(xué)生用具體數(shù)字代入進(jìn)行試驗(yàn)得知，兩者不相等，這時(shí)教師再提出問(wèn)題2：要使等式（a+b）2=a2+ +b2成 立，方框內(nèi)應(yīng)加上一個(gè)什么樣的代數(shù)式？

當(dāng)學(xué)生對(duì)教師提出的問(wèn)題躍躍欲試的時(shí)候，教師趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生取特殊值進(jìn)行試驗(yàn)，找出規(guī)律，大膽猜想，經(jīng)過(guò)學(xué)生的探索得出猜想：方框內(nèi)應(yīng)填上代數(shù)式2ab。

經(jīng)過(guò)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的公式，無(wú)論從思想感情上，還是在學(xué)習(xí)興趣上，都要比直接給出公式再加以證明更富有吸引力。

3.猜定理

（1）通過(guò)直觀形象提出猜想

通過(guò)直觀形象能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出猜想的內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)中有很多，特別在平面幾何中更是到處可見(jiàn)。如，“三角形內(nèi)角和定理的教學(xué)中，讓學(xué)生用紙板做一個(gè)任意三角形，把它的三個(gè)角按圖中的虛線剪下，并在一起，讓學(xué)生提出猜想。這樣做既能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路，提高教學(xué)效果。

（2）在定理、公式的教學(xué)時(shí)，不能只滿足于結(jié)論的證明及應(yīng)用。而應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，去猜想，去探究它們的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。如引導(dǎo)學(xué)生由三角形中位線定理去猜想梯形的中位線定理，由平行線等分線定理去探究平行線分線段成比例定理等。

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，善于運(yùn)用猜想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)思維能力，開(kāi)發(fā)智力方面，應(yīng)當(dāng)引起我們的重視。

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1.通過(guò)類比猜想概念

在概念教學(xué)時(shí)，要重視概念的形成過(guò)程，要了解知識(shí)的發(fā)現(xiàn)發(fā)展過(guò)程，要善于引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)腦筋去發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)特征，去認(rèn)識(shí)概念間的關(guān)系。在學(xué)習(xí)因式分解概念時(shí)，筆者首先讓學(xué)生回憶小學(xué)質(zhì)因數(shù)分解概念，然后引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)與式、因數(shù)與因式之間的區(qū)別與聯(lián)系，鼓勵(lì)學(xué)生去猜想因式分解的概念。

2.通過(guò)歸納猜想公式

所說(shuō)的歸納，主要指的是不完全歸納，或者說(shuō)是經(jīng)驗(yàn)性的歸納，即通過(guò)部分實(shí)例推測(cè)具有普遍意義的數(shù)學(xué)性質(zhì)，這在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要位置，教材中很多性質(zhì)、規(guī)律等都是這樣歸納出來(lái)的。如初中代數(shù)“同底數(shù)的冪的乘法法則”的提出，103€譴02= （10€？0€？0）€？10€？0）=l05 23€？2=（2€？€？）€祝？€？）=25，經(jīng)驗(yàn)歸納，提出猜想：

∴am·an=am+n

歸納結(jié)論：同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。又如公式（a+b）2=a2+2ab十b2的教學(xué)老師可先提出兩個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題l：（a+b）2和a2+b2相等嗎？學(xué)生用具體數(shù)字代入進(jìn)行試驗(yàn)得知，兩者不相等，這時(shí)教師再提出問(wèn)題2：要使等式（a+b）2=a2+ +b2成 立，方框內(nèi)應(yīng)加上一個(gè)什么樣的代數(shù)式？

當(dāng)學(xué)生對(duì)教師提出的問(wèn)題躍躍欲試的時(shí)候，教師趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生取特殊值進(jìn)行試驗(yàn)，找出規(guī)律，大膽猜想，經(jīng)過(guò)學(xué)生的探索得出猜想：方框內(nèi)應(yīng)填上代數(shù)式2ab。

經(jīng)過(guò)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的公式，無(wú)論從思想感情上，還是在學(xué)習(xí)興趣上，都要比直接給出公式再加以證明更富有吸引力。

3.猜定理

（1）通過(guò)直觀形象提出猜想

通過(guò)直觀形象能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出猜想的內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)中有很多，特別在平面幾何中更是到處可見(jiàn)。如，“三角形內(nèi)角和定理的教學(xué)中，讓學(xué)生用紙板做一個(gè)任意三角形，把它的三個(gè)角按圖中的虛線剪下，并在一起，讓學(xué)生提出猜想。這樣做既能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路，提高教學(xué)效果。

（2）在定理、公式的教學(xué)時(shí)，不能只滿足于結(jié)論的證明及應(yīng)用。而應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，去猜想，去探究它們的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。如引導(dǎo)學(xué)生由三角形中位線定理去猜想梯形的中位線定理，由平行線等分線定理去探究平行線分線段成比例定理等。

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，善于運(yùn)用猜想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)思維能力，開(kāi)發(fā)智力方面，應(yīng)當(dāng)引起我們的重視。

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1.通過(guò)類比猜想概念

在概念教學(xué)時(shí)，要重視概念的形成過(guò)程，要了解知識(shí)的發(fā)現(xiàn)發(fā)展過(guò)程，要善于引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)腦筋去發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)特征，去認(rèn)識(shí)概念間的關(guān)系。在學(xué)習(xí)因式分解概念時(shí)，筆者首先讓學(xué)生回憶小學(xué)質(zhì)因數(shù)分解概念，然后引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)與式、因數(shù)與因式之間的區(qū)別與聯(lián)系，鼓勵(lì)學(xué)生去猜想因式分解的概念。

2.通過(guò)歸納猜想公式

所說(shuō)的歸納，主要指的是不完全歸納，或者說(shuō)是經(jīng)驗(yàn)性的歸納，即通過(guò)部分實(shí)例推測(cè)具有普遍意義的數(shù)學(xué)性質(zhì)，這在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要位置，教材中很多性質(zhì)、規(guī)律等都是這樣歸納出來(lái)的。如初中代數(shù)“同底數(shù)的冪的乘法法則”的提出，103€譴02= （10€？0€？0）€？10€？0）=l05 23€？2=（2€？€？）€祝？€？）=25，經(jīng)驗(yàn)歸納，提出猜想：

∴am·an=am+n

歸納結(jié)論：同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。又如公式（a+b）2=a2+2ab十b2的教學(xué)老師可先提出兩個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題l：（a+b）2和a2+b2相等嗎？學(xué)生用具體數(shù)字代入進(jìn)行試驗(yàn)得知，兩者不相等，這時(shí)教師再提出問(wèn)題2：要使等式（a+b）2=a2+ +b2成 立，方框內(nèi)應(yīng)加上一個(gè)什么樣的代數(shù)式？

當(dāng)學(xué)生對(duì)教師提出的問(wèn)題躍躍欲試的時(shí)候，教師趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生取特殊值進(jìn)行試驗(yàn)，找出規(guī)律，大膽猜想，經(jīng)過(guò)學(xué)生的探索得出猜想：方框內(nèi)應(yīng)填上代數(shù)式2ab。

經(jīng)過(guò)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的公式，無(wú)論從思想感情上，還是在學(xué)習(xí)興趣上，都要比直接給出公式再加以證明更富有吸引力。

3.猜定理

（1）通過(guò)直觀形象提出猜想

通過(guò)直觀形象能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出猜想的內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)中有很多，特別在平面幾何中更是到處可見(jiàn)。如，“三角形內(nèi)角和定理的教學(xué)中，讓學(xué)生用紙板做一個(gè)任意三角形，把它的三個(gè)角按圖中的虛線剪下，并在一起，讓學(xué)生提出猜想。這樣做既能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路，提高教學(xué)效果。

（2）在定理、公式的教學(xué)時(shí)，不能只滿足于結(jié)論的證明及應(yīng)用。而應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，去猜想，去探究它們的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。如引導(dǎo)學(xué)生由三角形中位線定理去猜想梯形的中位線定理，由平行線等分線定理去探究平行線分線段成比例定理等。

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，善于運(yùn)用猜想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)思維能力，開(kāi)發(fā)智力方面，應(yīng)當(dāng)引起我們的重視。

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