關(guān)永亮，侯玉秀，賈宏光，劉波，馬伍元

(1.長(zhǎng)春理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春130022;2.中國科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春130033)

0 引言

無人機(jī)以其體積小，造價(jià)低，使用方便，對(duì)使用環(huán)境要求低等特點(diǎn)，已經(jīng)成為目前航空領(lǐng)域的一個(gè)熱門研究對(duì)象。對(duì)無人機(jī)的研究一般都著重于對(duì)其飛行特性的研究，而隨著現(xiàn)代無人機(jī)對(duì)地面運(yùn)動(dòng)特性的要求日益增高，對(duì)無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)特性的研究變得越來越重要［1-3］。

無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)特性通常是指，在地面運(yùn)動(dòng)過程中，無人機(jī)及其相關(guān)系統(tǒng)的幾何學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性［4-5］。無人機(jī)在地面運(yùn)動(dòng)時(shí)，在各種作用力的作用下，無人機(jī)和輪胎的受力以及工作狀況都會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的變化，這就要求對(duì)各種運(yùn)動(dòng)情況下的無人機(jī)及輪胎的受力情況都應(yīng)有清晰的了解和準(zhǔn)確的把握［6］。

國內(nèi)外對(duì)無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)模型已經(jīng)進(jìn)行了廣泛的研究，但目前的模型還存在以下4 個(gè)方面不足:

1)模型不能同時(shí)考慮無人機(jī)的6 個(gè)自由度，因此對(duì)無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)的考察不全面［7-8］;

2)模型的未知數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)［9-10］;

3)沒有考慮輪胎的彈性特性［1］;

4)沒有考慮空氣動(dòng)力對(duì)無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)的影響［1］。

地面運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性是衡量無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)特性的重要指標(biāo)，無人機(jī)翻倒和輪胎滑動(dòng)是無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)過程中的多發(fā)事故。本文采用彈性輪胎理論，建立了無人機(jī)的地面運(yùn)動(dòng)模型，用于了解和把握地面運(yùn)動(dòng)過程中無人機(jī)及輪胎的受力情況，保證無人機(jī)在無翻倒和無輪胎滑動(dòng)的情況下進(jìn)行穩(wěn)定的地面運(yùn)動(dòng)，提高無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。

1 無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系定義與基本假設(shè)

1.1.1 坐標(biāo)系定義

1)地面坐標(biāo)系(Oxyz);

2)輪胎坐標(biāo)系(Otxtytzt);

3)機(jī)體坐標(biāo)系(Owxwywzw).

1.1.2 基本假設(shè)

1)無人機(jī)模型為剛性模型，且質(zhì)量為常數(shù);

2)假設(shè)地面參考系為慣性參考系，即假設(shè)地面坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系;

3)忽略地球曲率，即假設(shè)地球?yàn)槠矫?

4)假設(shè)機(jī)體xw軸和yw軸處于無人機(jī)對(duì)稱面內(nèi)。

1.2 輪胎模型

1.2.1 輪胎受力分析

在無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)過程中，輪胎要承受來自地面的多種作用力的作用，這些作用力具體包括:

1)地面支持力與滾動(dòng)摩擦力

在地面運(yùn)動(dòng)過程中，無人機(jī)在重力作用下，輪胎與路面的接地印跡區(qū)域產(chǎn)生法向的相互作用力，即地面支持力Fg，使輪胎發(fā)生變形［11］。由于輪胎變形時(shí)材料的內(nèi)摩擦產(chǎn)生彈性遲滯損失，使輪胎變形時(shí)所作的功不能完全收回，部分轉(zhuǎn)化為熱能損失在大氣中;同時(shí)輪胎在接地印跡區(qū)域有摩擦損失，以及輪胎滾動(dòng)對(duì)外部空氣有攪動(dòng)損失，這些能量損失都是產(chǎn)生滾動(dòng)摩擦力Ft的原因。滾動(dòng)摩擦力Ft與地面支持力Fg具有如下的關(guān)系式:

式中:μ 為輪胎的滾動(dòng)摩擦系數(shù)。

2)側(cè)向力與回正力矩

無人機(jī)在地面運(yùn)動(dòng)過程中，由于地面的凹凸不平對(duì)無人機(jī)產(chǎn)生顛簸，在操縱無人機(jī)進(jìn)行轉(zhuǎn)彎時(shí)，由于輪胎內(nèi)壓不平衡以及側(cè)風(fēng)的作用等原因，使得輪胎和地面之間產(chǎn)生側(cè)向作用力Fl［11］.輪胎在側(cè)向力Fl的作用下會(huì)發(fā)生側(cè)向變形。輪胎速度方向?qū)⒉辉傺刂鴺?biāo)系xt軸方向，而是與坐標(biāo)系xt軸方向產(chǎn)生夾角θ［11］，θ 稱為輪胎的側(cè)偏角。

側(cè)向變形隨著側(cè)向力Fl的增加而增加，使得側(cè)偏角θ 也增加，側(cè)向力和側(cè)偏角的之間具有如圖1所示的曲線。從圖1中可以看出，在一定范圍內(nèi)，側(cè)向力Fl與側(cè)偏角θ 具有正比關(guān)系［11］，具體可以表示為

式中:c 為輪胎的側(cè)偏剛度。

圖1 側(cè)向力與側(cè)偏角關(guān)系圖Fig.1 Lateral force vs.slip angle

側(cè)偏角的存在表明輪胎的側(cè)向變形量并不均勻。假設(shè)側(cè)向力的大小與側(cè)向變形量呈正比，那么側(cè)向變形大的區(qū)域?qū)?huì)產(chǎn)生較大的側(cè)向力，側(cè)向變形小的區(qū)域?qū)?huì)產(chǎn)生較小的側(cè)向力。側(cè)向力的合力如圖2所示，其作用點(diǎn)與輪胎接地印跡區(qū)域的中心偏離了一定的距離n，該距離被稱為輪胎拖距。由于輪胎拖距的存在，側(cè)向力就會(huì)對(duì)輪胎接地印跡區(qū)域的法線產(chǎn)生一個(gè)回正力矩M［11］.M 與Fl具有如下的關(guān)系式:

圖2 輪胎變形圖Fig.2 Deformation diagram of tire

式中:n 為輪胎拖距。

綜上所述，在無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)過程中，以無人機(jī)為研究對(duì)象，輪胎將受到地面支持力Fg，滾動(dòng)摩擦力Ft，側(cè)向力Fl和回正力矩M 的作用。輪胎具有如圖3所示的受力圖。

圖3 輪胎受力圖Fig.3 Force diagram of tire

1.2.2 輪胎側(cè)向摩擦系數(shù)

輪胎和地面是一種附著連接，隨時(shí)都有可能出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)，所能傳遞作用力的大小是有限的。作用力的大小由側(cè)向摩擦系數(shù)衡量，側(cè)向摩擦系數(shù)是與速度有關(guān)的變量，它們具有如圖4所示的關(guān)系曲線。當(dāng)最大側(cè)向摩擦系數(shù)所能提供的最大作用力不能滿足無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)的要求時(shí)，輪胎和地面之間就會(huì)出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)［12］。

圖4 側(cè)向摩擦系數(shù)與速度關(guān)系圖Fig.4 Lateral friction coefficient vs.velocity

1.3 無人機(jī)模型

1.3.1 無人機(jī)受力分析

在地面運(yùn)動(dòng)過程中，無人機(jī)不僅要承受上述地面作用于輪胎的作用力，還要受到自身重力、發(fā)動(dòng)機(jī)推力、空氣作用力和慣性力等作用力的作用。無人機(jī)的受力情況如圖5所示，無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)的幾何關(guān)系如圖6所示。

圖5 無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)受力圖Fig.5 Force diagram of UAV

圖6 無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系圖Fig.6 Geometrical relationship of UAV ground maneuver

圖5所示的地面運(yùn)動(dòng)過程中，無人機(jī)所受到的作用力具體包括:

1)自身重力G，發(fā)動(dòng)機(jī)推力Fe;

2)空氣升力Fy，空氣阻力Fa，空氣力矩Ma;

3)地面作用于前輪、主左輪、主右輪輪胎的支持力Fgf、Fgml、Fgmr，滾動(dòng)摩擦力Ftf、Ftml、Ftmr，側(cè)向力Flf、Flml、Flmr和回正力矩Mf、Mml、Mmr.它們之間滿足:

式中:μf為前輪輪胎的滾動(dòng)摩擦系數(shù);μml為左主輪輪胎的滾動(dòng)摩擦系數(shù);μmr為右主輪輪胎的滾動(dòng)摩擦系數(shù)。

式中:cf為前輪輪胎的側(cè)偏剛度;cml為左主輪輪胎的側(cè)偏剛度;cmr為右主輪輪胎的側(cè)偏剛度;θf為前輪輪胎的側(cè)偏角;θml為左主輪輪胎的側(cè)偏角;θmr為右主輪輪胎的側(cè)偏角。

式中:nf為前輪輪胎的輪胎拖距;nml為左主輪輪胎的輪胎拖距;nmr為右主輪輪胎的輪胎拖距。

4)切向慣性力Ft、法向慣性力Fn和慣性力矩Mi.它們之間滿足如下關(guān)系:

式中:m 為無人機(jī)的質(zhì)量;v 為無人機(jī)重心的速度。

式中:γ 為無人機(jī)機(jī)體坐標(biāo)系xw軸相對(duì)于地面坐標(biāo)系x 軸的轉(zhuǎn)角;β 為機(jī)體坐標(biāo)系xw軸與無人機(jī)速度方向的夾角。

式中:J 為無人機(jī)相對(duì)于機(jī)體坐標(biāo)系yw軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

1.3.2 基本動(dòng)力學(xué)方程

無人機(jī)能夠進(jìn)行6 個(gè)自由度的地面運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)過程應(yīng)該用6 個(gè)自由度方程來描述。為了能夠完全描述無人機(jī)在6 個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，根據(jù)圖5所示的無人機(jī)受力情況與圖6所示的無人機(jī)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系情況，分別建立3 個(gè)沿機(jī)體坐標(biāo)軸xw、yw和zw的平動(dòng)方程，和3 個(gè)繞機(jī)體坐標(biāo)軸xw、yw和zw的轉(zhuǎn)動(dòng)方程。

1)沿機(jī)體坐標(biāo)軸xw軸方向:

2)沿機(jī)體坐標(biāo)軸yw軸方向:

3)沿機(jī)體坐標(biāo)軸zw軸方向:

4)繞機(jī)體坐標(biāo)軸xw軸:

5)繞機(jī)體坐標(biāo)軸zw軸:

6)繞機(jī)體坐標(biāo)軸yw軸:

1.3.3 幾何方程

根據(jù)圖6所示的無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)的幾何關(guān)系圖，可以建立如下4 個(gè)幾何關(guān)系方程:

式中:r 為無人機(jī)的轉(zhuǎn)彎半徑;α 為前輪轉(zhuǎn)角。

2 仿真分析

以某型號(hào)無人機(jī)的參數(shù)，對(duì)其地面運(yùn)動(dòng)過程中最容易發(fā)生事故的操縱前輪轉(zhuǎn)彎過程在Matlab 軟件中進(jìn)行仿真。在仿真結(jié)果中提取影響無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)的4 個(gè)關(guān)鍵參數(shù):前輪側(cè)向力、主輪側(cè)向合力和左、右主輪地面支持力。它們與前輪轉(zhuǎn)角和無人機(jī)速度的關(guān)系分別如圖7～圖10所示。

圖7 前輪側(cè)向力與前輪極限側(cè)向力Fig.7 Lateral and limit lateral forces of front wheel

圖8 主輪側(cè)向合力與主輪極限側(cè)向力Fig.8 Lateral and limit lateral forces of main wheel

圖9 左主輪地面支持力Fig.9 Vertical force of left main wheel

從圖7和圖8中可以看出，隨著前輪轉(zhuǎn)角和無人機(jī)速度的增加，前輪、主輪側(cè)向力也增加，當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角和無人機(jī)速度增加到某一值時(shí)，前輪、主輪側(cè)向力就會(huì)達(dá)到極限值。若前輪轉(zhuǎn)角或無人機(jī)速度繼續(xù)增加，前輪、主輪側(cè)向力就會(huì)超過極限值，此時(shí)最大側(cè)向摩擦系數(shù)所能提供的最大作用力不能滿足無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)的要求，前輪、主輪與地面之間就會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。

從圖9和圖10中可以看出，隨著前輪轉(zhuǎn)角和無人機(jī)速度的增加，左主輪的支持力會(huì)減小，右主輪的支持力會(huì)增加，當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角和無人機(jī)速度增加到某一值時(shí)，左主輪的支持力就會(huì)等于0，而右主輪的支持力仍然大于0.左主輪支持力等于0，表明此時(shí)左主輪已經(jīng)不承受載荷，若前輪轉(zhuǎn)角或無人機(jī)速度繼續(xù)增加，無人機(jī)將沿前輪和右主輪連線(即圖6所示側(cè)翻軸線)翻倒。

圖10 右主輪地面支持力Fig.10 Vertical force of right main wheel

3 約束條件及可行域

3.1 約束條件

鑒于在地面運(yùn)動(dòng)過程中，無人機(jī)可能會(huì)出現(xiàn)前輪、主輪滑動(dòng)和無人機(jī)沿側(cè)翻軸線翻倒的情況，必須對(duì)某些影響無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)的參數(shù)加以限制。

3.1.1 限制前輪滑動(dòng)

在無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)最大側(cè)向摩擦系數(shù)所能提供的最大作用力不能滿足無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)的要求時(shí)，輪胎與地面之間就會(huì)出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)。為了防止前輪滑動(dòng)，無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)過程中所需要的前輪側(cè)向力應(yīng)滿足以下關(guān)系式:

式中:［Flf，l］為前輪極限側(cè)向力。

3.1.2 限制主輪滑動(dòng)

與前輪相同，為了防止主輪滑動(dòng)，無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)過程中所需要的主輪側(cè)向合力應(yīng)足以下關(guān)系式:

式中:［Flm，l］為主輪極限側(cè)向力。

3.1.3 限制無人機(jī)翻倒

在無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)過程中，最嚴(yán)重的事故是沿側(cè)翻軸線翻倒。地面支持力Fg的值是判定無人機(jī)是否會(huì)翻倒的關(guān)鍵，當(dāng)一側(cè)主輪的地面支持力為0，即一側(cè)主輪已經(jīng)不承受載荷，另一側(cè)主輪的地面支持力仍然大于0 時(shí)，則認(rèn)定無人機(jī)有翻倒的趨勢(shì)，此種情況要堅(jiān)決避免，所以地面支持力Fg必須滿足:

3.2 可行域

以同一型號(hào)無人機(jī)的參數(shù)在Matlab 軟件中進(jìn)行仿真，在約束條件下得到無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)過程中，不同速度下前輪轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)彎半徑的可行域，分別如圖11、圖12所示。圖11中，曲線下方為不同速度下前輪轉(zhuǎn)角的可行域;圖12中，曲線上方為不同速度下轉(zhuǎn)彎半徑的可行域。

圖11 前輪轉(zhuǎn)角可行域Fig.11 Feasible region of turning angle of front wheel

圖12 轉(zhuǎn)彎半徑可行域Fig.12 Feasible region of turning radius

4 結(jié)論

本文通過分析地面運(yùn)動(dòng)過程中無人機(jī)的受力情況，采用彈性輪胎理論，建立了無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型。該模型考慮無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)過程中所要承受的來自地面、空氣以及自身的作用力，描述了無人機(jī)的地面運(yùn)動(dòng)過程。應(yīng)用某一型號(hào)無人機(jī)的參數(shù)在Matlab 軟件中進(jìn)行仿真，通過對(duì)仿真結(jié)果的分析，發(fā)現(xiàn)在無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)過程中，若對(duì)某些參數(shù)不加以約束，無人機(jī)會(huì)出現(xiàn)側(cè)翻和輪胎滑動(dòng)事故。因此，引入無人機(jī)地面運(yùn)動(dòng)模型的約束條件，重新進(jìn)行仿真，得到了不同速度下前輪轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)彎半徑的可行域。

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