王青，后德龍，李君，董朝陽

(1.北京航空航天大學 飛行器控制一體化技術(shù)重點實驗室，北京100191;2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100080;3.北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京100191)

0 引言

多枚導彈協(xié)同攻擊能有效地提高打擊目標的效能［1-3］。多導彈之間通過信息共享實現(xiàn)配合、協(xié)作，共同完成打擊任務，極大地增強了導彈的打擊能力，增加了導彈突防和摧毀目標的概率。

在研究導彈協(xié)同攻擊問題時，多枚導彈同時到達是一個重點關(guān)注的問題，該問題可以歸結(jié)為制導時間的一致性問題［4］。制導時間一致性問題主要研究導彈協(xié)同攻擊系統(tǒng)中各導彈之間的信息交互方式，使所有導彈的制導時間趨于同一值。

文獻［5］給出了一種攻擊時間可控的制導律(ITCG)，該制導律由兩部分組成，一部分用于對目標的攻擊，另一部分用于對給定制導時間指令的跟蹤。文獻［6］提出了一種雙層協(xié)同制導結(jié)構(gòu)來解決導彈協(xié)同攻擊問題，將ITCG 制導律作為底層導引律，上層為協(xié)調(diào)一致性算法，實現(xiàn)對制導時間指令的解算。協(xié)調(diào)一致性算法采用網(wǎng)絡(luò)鄰域通信實現(xiàn)相互之間的信息傳遞，因此可能存在網(wǎng)絡(luò)拓撲切換問題，文獻［4］基于強連通平衡有向圖的相關(guān)性質(zhì)研究了存在網(wǎng)絡(luò)拓撲切換時的分布式協(xié)同制導問題。

除了拓撲切換問題外，網(wǎng)絡(luò)傳輸過程不可避免地存在傳輸時延和時變拓撲結(jié)構(gòu)不確定問題，從而對多彈協(xié)同攻擊任務的完成產(chǎn)生嚴重影響。時變拓撲結(jié)構(gòu)不確定可以理解為未考慮在切換拓撲內(nèi)的通訊連接短暫中斷或權(quán)值的改變等。而針對這兩類問題，在多彈協(xié)同制導領(lǐng)域還沒有得到研究。相關(guān)研究主要在多智能體的一致性［7-9］、無人機和衛(wèi)星編隊方面［10-12］。多智能體的一致性算法與多彈協(xié)同制導的一致性算法類似，但是針對其開展的相關(guān)研究主要針對強連通平衡圖，具有較強的局限性。文獻［7］利用圖論和矩陣理論將一階有向網(wǎng)絡(luò)的一致性分析結(jié)果拓展到了高階情況，并對切換拓撲下的一致性作了分析，但是沒有考慮時延情況。文獻［8］研究了存在網(wǎng)絡(luò)時延和切換拓撲的多智能體系統(tǒng)一致性問題，但其針對的拓撲結(jié)構(gòu)是強連通平衡圖拓撲結(jié)構(gòu)。文獻［9］針對存在時延的強連通平衡圖下的多智能體一致問題給出了相關(guān)穩(wěn)定判據(jù)。文獻［10 -11］針對編隊衛(wèi)星協(xié)同中存在拓撲結(jié)構(gòu)切換、通信時延等問題進行了研究。文獻［12］針對無向平衡圖存在切換拓撲和時延的情況進行了分析。

本文針對存在網(wǎng)絡(luò)通信時延、時變拓撲結(jié)構(gòu)不確定和動態(tài)拓撲切換情況下的多導彈協(xié)同齊射攻擊問題開展了研究。以線性矩陣不等式的形式給出了協(xié)同制導時間實現(xiàn)一致的條件。本文的研究不依賴于特定的網(wǎng)絡(luò)通信拓撲結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上開展存在時延、拓撲結(jié)構(gòu)不確定、切換拓撲情況下的協(xié)同制導一致性研究，具有更廣泛的適用性。

1 問題描述

針對打擊固定目標問題，文獻［5］給出了一種時間可控的制導律，即ITCG，為了配合協(xié)同制導的描述，考慮n 枚導彈參與攻擊的情形，每枚導彈均采用ITCG 進行攻擊。ITCG 中每枚導彈的法向加速度為

文獻［6］以系統(tǒng)總體控制能量消耗最小作為設(shè)計目標得到剩余制導時間指令值為

式中:wi為加權(quán)系數(shù)，wi=

考慮到(2)式給出的制導時間指令值為加權(quán)平均形式，與存在通信連接權(quán)值的一致性算法收斂值［8］相同，文獻［6］提出了一種雙層協(xié)同制導結(jié)構(gòu)。該制導系統(tǒng)的上層為(3)式給出的一致性算法，下層采用ITCG 實現(xiàn)對給定的制導時間指令的跟蹤。制導時間一致性算法為

式中:i=1，…，n;xi表示第i 個導彈的剩余飛行時間指令值，即xi=;aij是拓撲結(jié)構(gòu)的鄰接矩陣A中的元素，在圖論相關(guān)的定義中給出詳細描述。

本文采用該雙層協(xié)同制導結(jié)構(gòu)實現(xiàn)多導彈同時攻擊。從對該雙層制導結(jié)構(gòu)的分析可以看出，一致性算法對于協(xié)同制導的實現(xiàn)至關(guān)重要。在一致性算法收斂的情況下，ITCG 總能實現(xiàn)對制導時間指令的跟蹤，從而實現(xiàn)協(xié)同制導。本文將研究存在網(wǎng)絡(luò)通信時延、時變拓撲結(jié)構(gòu)不確定和動態(tài)拓撲切換情況下一致性算法收斂性問題，給出該問題的分析方法。

下面首先給出圖論的相關(guān)定義:

定義有向圖G =(V，E，A)，其中:有限非空集V={v1，v2，…，vn}是圖G 的節(jié)點集，節(jié)點的下標集記為I ={1，2，…，n}，節(jié)點可以用vi∈V 或其下標i∈I來表示;E?V×V 是圖G 的邊集，邊記為eij=(vi，vj);A=［aij］∈Rn×n是圖G 的鄰接矩陣，當節(jié)點j 存在信息流向節(jié)點i 時，aij=1，否則為0，定義aii=0.

定義Laplace 矩陣L =［lij］∈Rn×n(i，j ∈I)為［13］

2 固定拓撲下的一致性分析

本節(jié)針對固定拓撲情況下協(xié)同制導一致性算法展開分析。

由圖論的相關(guān)定義，(4)式可以轉(zhuǎn)化為以下矩陣形式:

式中:x=［x1，x2，…，xn］;C =diag(1/w1，1/w2，…，1/wn)，為權(quán)值矩陣;L 為Laplace 矩陣。

存在時延和拓撲不確定情況下的一致性算法可以寫成以下形式:

式中:ωi＞0，i=1，…，n.

將(5)式表示為

并作以下轉(zhuǎn)換［14］:

取y=［y12，y13，…，y1n］T，則有

式中:1 為適維單位列向量;E ∈R(n-1)×n、F ∈Rn×(n-1)，且定義在不存在時延和拓撲不確定情況下，由(9)式可以推導如下:

式中:A= -ECLF.將系統(tǒng)命名為分歧系統(tǒng)。上述推導過程中使用了拓撲結(jié)構(gòu)Laplace 矩陣的一個性質(zhì)，即L·1 =0.在存在時延和時變拓撲不確定情況下的分歧系統(tǒng)動力學為

式中:ΔA 為時變拓撲引起的A 陣不確定。假定ΔA可以表示為ΔA=Λ1Φ(t)Λ2，其中Λ1和Λ2為適維常數(shù)矩陣，Φ(t)為未知時變矩陣且滿足ΦT(t)Φ(t)≤I.

在進行分析之前給出以下相關(guān)引理:

引理1［14-15］對任何可微函數(shù)x(t)∈Rn和任何n×n 維的正定對稱常值矩陣W，存在如下的不等式關(guān)系:

式中:t ＞0;τ 滿足0≤τ≤h，h ＞0.

引理2［16］Schur 補引理。針對給定的矩陣M、P、Q，且Q 為正定矩陣，以下兩個關(guān)系等價:

引理3［9］若給定合適維矩陣B =BT，J，K，則對所有滿足DT(t)D(t)≤I 的矩陣D(t)，不等式B+JD(t)K+KTDT(t)JT＜0 等價于

式中:c0為任意正常數(shù)。

通過反證法可以推出一致性算法的收斂性和分歧系統(tǒng)的穩(wěn)定性等價。針對固定拓撲網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，基于線性矩陣不等式方法以定理形式給出(7)式所示的多導彈協(xié)同制導時間一致性算法收斂的充分條件。

定理1 對于系統(tǒng)，固定網(wǎng)絡(luò)拓撲為G，且權(quán)值系數(shù)陣C 非負，網(wǎng)絡(luò)傳輸時延τ ＜h，如果存在正定對稱矩陣P 滿足Π ＜0，則系統(tǒng)漸近一致。Π=其中Q為任意對稱正定陣。

證明 通過分析分歧系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的漸近一致性。構(gòu)造如下形式的Lyapunov-Krasovskii泛函［14］:

將系統(tǒng)作如下處理:

定義

則

對泛函V(t)求導可以得到

應用引理1 給出的不等式，則有

將(19)式表達為矩陣形式

根據(jù)Schur 補引理，若存在正定對稱矩陣P 滿足:

進一步，矩陣不等式可以整理為

式中:

應用引理3，(21)式等價為

(22)式可以表示為

應用Schur 補引理，(23)式可以轉(zhuǎn)化為Π ＜0，定理1 得證。

事實上，在定理1 滿足的情況下，總存在一個常數(shù)c 滿足:(t)＜-cV，即Lyapunov-Krasovskii 泛函按指數(shù)速率衰減，從而分歧系統(tǒng)收斂，即一致性算法收斂，從而保證了多彈協(xié)同制導的實現(xiàn)。

3 切換拓撲下的一致性分析

本節(jié)考慮存在時延、時變拓撲結(jié)構(gòu)不確定，且在有限個時間點存在網(wǎng)絡(luò)拓撲切換情況下多導彈協(xié)同制導時間的一致性分析。在存在網(wǎng)絡(luò)拓撲切換情況下，一致性算法的分歧系統(tǒng)可以表示為如下形式:

式中:k∈s(t):［0，∞］→{1，2，…，N}為網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的切換信號;Ak= -ECL(Gk)F，Gk∈Γn，Γn為包含n 個導彈的信號傳輸網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的有限集合;ΔAk=Λ1(Gk)Φk(t)Λ2(Gk)為拓撲結(jié)構(gòu)不確定，Φk(t)為未知時變矩陣且滿足(t)Φk(t)≤I.

針對同時存在網(wǎng)絡(luò)時延、時變拓撲結(jié)構(gòu)不確定和切換拓撲下多彈協(xié)同制導時間一致性分析可給出以下定理:

定理2 對于系統(tǒng)，權(quán)值系數(shù)陣C 非負，網(wǎng)絡(luò)傳輸時延τ ＜h，在有限次任意切換信號s(·)下漸近一致的條件為對于切換序列中的任一傳輸拓撲結(jié)構(gòu)Gk，存在對稱正定矩陣P 滿足以下矩陣不等式組:

式中:

Q 為任意對稱正定陣。

證明 定義與定理1 證明中相同的Lyapunov-Krasovskii 泛函，重寫為

由定理1 的證明可知，對于切換序列中的任意信號傳輸網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)Gk，存在常數(shù)ck，使得

即對于切換序列s(·)，(28)式給出的公共Lyapunov 函數(shù)指數(shù)下降，因此可以證明系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。定理2 得證。

上述證明可以采用論述方式說明。假設(shè)系統(tǒng)在t1時刻和t2時刻發(fā)生兩次切換，盡管系統(tǒng)的公共Lyapunov 函數(shù)的導數(shù)在切換時刻存在跳變，但是由于狀態(tài)不會發(fā)生突變，公共Lyapunov 函數(shù)是連續(xù)的，在每個區(qū)間的指數(shù)下降保證了在整個過程中公共Lyapunov 函數(shù)的衰減，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，從而多彈協(xié)同制導一致算法漸近收斂。

4 仿真驗證

本節(jié)將通過仿真驗證對存在網(wǎng)絡(luò)時延和拓撲結(jié)構(gòu)不確定的多彈協(xié)同制導時間一致性問題理論分析結(jié)果的正確性。

4.1 固定拓撲情況

假設(shè)3 枚導彈協(xié)同攻擊一個固定目標，目標靜止位于(0，0).導彈的初始參數(shù)如表1所示。

表1 導彈的初始參數(shù)Tab.1 Missile initial parameters

3 枚導彈之間的網(wǎng)絡(luò)傳輸信息的拓撲結(jié)構(gòu)如圖1所示。A 陣的不確定來源于L 陣的不確定，選取L 陣的不確定ΔL 滿足ΔL =Λ'1Φ(t)Λ'2，則可以推論出Λ1= - ECΛ'1和Λ2= Λ'2F，令Λ'1=0.2I，

時延τ =h =0.2 s 時，存在正定對稱陣P 滿足線性矩陣不等式。而取h ＞0.2 s，即網(wǎng)絡(luò)時延τ ＞0.2 s 時，不存在滿足條件的P，則不能證明(6)式所示的多導彈分散化協(xié)同策略的漸近一致性。因此，在線性矩陣不等式給出的充分條件下，h =0.2 s 是能證明系統(tǒng)漸近一致性的最大時延。

圖1 導彈之間通信傳輸拓撲結(jié)構(gòu)Fig.1 Communication topology

設(shè)系統(tǒng)存在固定時延τ=0.2 s，分別計算t =5 s，10 s，15 s，20 s，25 s，30 s 的矩陣P，求解線性矩陣不等式，得到矩陣P 的解為

在下面的仿真中，協(xié)調(diào)時間是制導時間一致性算法的狀態(tài)，即剩余制導時間指令值。分別進行理想情況和τ=0.2 s 且包含拓撲結(jié)構(gòu)不確定兩種情況的仿真，仿真結(jié)果分別如圖2～圖4所示。在圖2中，虛線結(jié)果表示存在時延及拓撲結(jié)構(gòu)不確定情況下的仿真結(jié)果，實線表示理想情況下的仿真結(jié)果。從圖2可以看出，在網(wǎng)絡(luò)傳輸時延為τ =0.2 s 且包含拓撲不確定時，導彈協(xié)同制導系統(tǒng)仍能實現(xiàn)同時攻擊，即系統(tǒng)是漸近一致的，但是對系統(tǒng)的性能產(chǎn)生了影響，尤其是對協(xié)調(diào)時間產(chǎn)生較大的影響。

圖2 不同情況下導彈飛行軌跡Fig.2 The flight trajectories under different conditions

圖3 不同情況下剩余飛行時間估計值Fig.3 Estimate values of time-to-go under different conditions

圖4 前10 s 內(nèi)導彈制導協(xié)調(diào)時間Fig.4 The cooperative time-to-go in the first 10 s

4.2 切換拓撲情況

針對網(wǎng)絡(luò)拓撲切換、時延及拓撲結(jié)構(gòu)不確定同時存在的情況進行仿真驗證。拓撲不確定的取法與4.1 節(jié)相同，仍取網(wǎng)絡(luò)傳輸時延為τ =0.2 s，假設(shè)系統(tǒng)分別在2.5 s 和6 s 發(fā)生拓撲切換，圖5(a)和圖5(b)給出了兩種拓撲結(jié)構(gòu)，切換序列為s(·):(a)→(b)→(a)

圖5 兩種導彈通信傳輸拓撲結(jié)構(gòu)Fig.5 Two communication topologies

針對上述兩種網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)，在網(wǎng)絡(luò)傳輸時延τ=0.2 s 及存在不確定時存在公共Lyapunov 函數(shù)，仍以t=5 s，10 s，15 s，20 s，25 s，30 s 為例:

因此上述切換是穩(wěn)定的。仿真結(jié)果如圖6和圖7所示，圖6給出了制導時間一致性算法狀態(tài)，圖7以導彈M2協(xié)調(diào)時間曲線為例給出與僅存在時延及不確定不存在切換情況的對比。從仿真結(jié)果看，網(wǎng)絡(luò)傳輸拓撲結(jié)構(gòu)的切換對系統(tǒng)的性能產(chǎn)生了一定的影響，但是仍然能夠?qū)崿F(xiàn)一致，這與理論分析結(jié)果相同。

圖6 切換情況下的協(xié)調(diào)時間曲線Fig.6 The curves of cooperative time-to-go under the condition of switching

圖7 τ=0.2 s 條件下的制導時間一致性算法狀態(tài)對比曲線Fig.7 The comparison curves of cooperative time-to-go for τ=0.2 s

5 結(jié)論

本文針對存在網(wǎng)絡(luò)時延下多導彈協(xié)同制導時間一致性問題進行了研究，結(jié)論如下:

1)將多彈協(xié)同制導時間一致性問題轉(zhuǎn)化為制導時間分歧系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，利用穩(wěn)定性的控制理論方法，拓展了對該問題的研究手段。

2)給出了存在通信時延及拓撲結(jié)構(gòu)不確定時制導時間一致性算法收斂的線性矩陣不等式判據(jù)。

3)將針對固定拓撲情況提出的Lyapunov 函數(shù)方法拓展成公共Lyapunov 函數(shù)方法適用于分析網(wǎng)絡(luò)傳輸時延、拓撲不確定和拓撲結(jié)構(gòu)切換同時存在下的多彈協(xié)同制導時間一致性分析。

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