☉江蘇省天一中學(xué) 何志奇

演繹數(shù)學(xué)之美，彰顯文化價(jià)值
——“高考與斐波那契數(shù)列”的教學(xué)與感悟

☉江蘇省天一中學(xué) 何志奇

2013年11月18日，在江蘇省首屆“數(shù)學(xué)文化素質(zhì)教育論壇暨數(shù)學(xué)文化節(jié)”上，筆者應(yīng)邀開(kāi)設(shè)了一節(jié)題為“高考與斐波那契數(shù)列”的數(shù)學(xué)文化探究課，授課的班級(jí)是江蘇省泰州中學(xué)高三理科班.在評(píng)課過(guò)程中，與會(huì)專(zhuān)家和教師對(duì)本節(jié)課表示了充分的肯定與高度的評(píng)價(jià).現(xiàn)簡(jiǎn)要地把自己的所思所想整理如下，拋磚引玉，以期同行不吝賜教.

一、本節(jié)課的設(shè)計(jì)理念

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中明確指出：“數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.”“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”是高中數(shù)學(xué)新課程的一個(gè)基本理念.《“普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”解讀》則提出了在高中數(shù)學(xué)教材中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的兩條具體方案：一是在高中階段，要有選擇性地介紹一些數(shù)學(xué)家的曲折的人生故事和在數(shù)學(xué)的探索道路上不畏艱難、勇于進(jìn)取的精神；二是在編寫(xiě)高中數(shù)學(xué)教材時(shí)，將與教材相關(guān)的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容合情合理地展示在教材中.那么，數(shù)學(xué)課堂如何用好教材組織教學(xué)，合情合理滲透“數(shù)學(xué)文化”的內(nèi)容，就成了教師迫切需要關(guān)注的問(wèn)題.

二、精彩教學(xué)片段回放

片段1：師生共同探究斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式

在學(xué)生觀察斐波那契數(shù)列特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，筆者提出了如下的核心問(wèn)題.

師：我們通過(guò)學(xué)習(xí)等差數(shù)列與等比數(shù)列，探求了它們的通項(xiàng)公式，是不是也可以來(lái)探求斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？（板書(shū)）已知數(shù)列{Fn}滿(mǎn)足：F1=F2=1，F(xiàn)n+2=Fn+1+Fn，求數(shù)列{Fn}的通項(xiàng)公式.

學(xué)生這時(shí)候不知所以了，老師進(jìn)一步提示：

這時(shí)，有同學(xué)說(shuō)，這個(gè)數(shù)列很奇怪的，左邊是正整數(shù)，右邊是含有無(wú)理數(shù)的，應(yīng)該在通項(xiàng)那里再加加減減一點(diǎn)東西，才能得出通項(xiàng)公式.

師：很好，（問(wèn)學(xué)生）你覺(jué)得設(shè)什么形式為好？

生：不妨設(shè)Fn由兩個(gè)等比數(shù)列組合而成：

師：為何這里設(shè)“減號(hào)”？

生：想在兩個(gè)等比數(shù)列的系數(shù)里消去無(wú)理數(shù).

師：這個(gè)式子對(duì)嗎？

學(xué)生自然認(rèn)為還沒(méi)有完成，繼續(xù)驗(yàn)證①式滿(mǎn)足

滿(mǎn)足條件②的數(shù)列是唯一確定的，用數(shù)學(xué)歸納法容易完成證明：

至此，問(wèn)題獲得解決.希爾伯特關(guān)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的論述對(duì)我們的教學(xué)有一定的指導(dǎo)意義：“一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)該是困難的，但卻不應(yīng)是完全不可解決而致使我們白費(fèi)力氣.在通往那隱藏的真理的曲折的道路上，它應(yīng)該是指引我們前進(jìn)的一盞明燈，最終并以成功的喜悅作為對(duì)我們的報(bào)賞.”

片段2：斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用

這個(gè)例題設(shè)計(jì)的核心原則是幫助學(xué)生的思維能力要得到進(jìn)一步的發(fā)展，提出一個(gè)任何參考書(shū)上都沒(méi)有的問(wèn)題，讓學(xué)生來(lái)解決它，從而達(dá)到反思升華.

這個(gè)題目的本意是要學(xué)生靈活掌握知識(shí)，而不是死算.

三、思考與感悟

1.高三不應(yīng)成為數(shù)學(xué)文化探究課的“禁區(qū)”

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》在“前言”、“課程目標(biāo)”、“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和實(shí)施建議”中的每一個(gè)部分都有對(duì)數(shù)學(xué)文化的闡述，要求在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的觀念始終貫穿于整個(gè)課程標(biāo)準(zhǔn).課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施已經(jīng)多年，對(duì)于數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分，在高中數(shù)學(xué)課程中要提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，我們的老師已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)，但由于受到“一切為了高考”的“功利主義”的影響，我們的高中數(shù)學(xué)老師對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)僅僅停留在理論上，于是在實(shí)際教學(xué)中出現(xiàn)了如下的畸形現(xiàn)狀：片面突出數(shù)學(xué)文化中的科學(xué)價(jià)值而忽略人文價(jià)值的滲透.奮斗在教育教學(xué)一線(xiàn)的廣大教師可以利用工作在一線(xiàn)這個(gè)得天獨(dú)厚的條件，立足課堂和教學(xué)的實(shí)際，充分挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)中的人文素材，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)乃至科學(xué)素養(yǎng)和人文素養(yǎng).

因此，完全有理由說(shuō)：數(shù)學(xué)文化探究課完全可以在任何一個(gè)年級(jí)開(kāi)設(shè)，當(dāng)然也包括應(yīng)試味濃厚的高三.這實(shí)際上也向我們提出了一個(gè)深刻的話(huà)題：要實(shí)施“素質(zhì)教育”，一線(xiàn)教師應(yīng)當(dāng)如何深入實(shí)踐？對(duì)數(shù)學(xué)老師來(lái)說(shuō)，這個(gè)話(huà)題變得更加實(shí)際、更為現(xiàn)實(shí)：在數(shù)學(xué)課堂里我們?cè)趺催M(jìn)行素質(zhì)教育？或者說(shuō)，數(shù)學(xué)教育應(yīng)如何去貫徹、落實(shí)“素質(zhì)教育”這一總的教育方針呢？從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的重要內(nèi)涵就是要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.

2.依托教材、活用教材，有效實(shí)施數(shù)學(xué)文化課程

必修5的數(shù)列學(xué)完后，在知識(shí)方面有個(gè)自然的延伸，那就是斐波那契數(shù)列.經(jīng)過(guò)調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)相當(dāng)一部分學(xué)生沒(méi)有仔細(xì)地去學(xué)習(xí)教科書(shū)知識(shí)拓展的延伸部分，感覺(jué)非常遺憾.基于以上考慮，筆者以“高考與斐波那契數(shù)列”為題，從以下三個(gè)方面設(shè)計(jì)了課堂教學(xué)：一是“經(jīng)典再現(xiàn)”側(cè)重介紹斐波那契數(shù)列的由來(lái)以及數(shù)學(xué)家斐波那契的典故；二是“好題賞析”主要是結(jié)合了等差、等比數(shù)列的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生們推導(dǎo)探究斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)斐波那契數(shù)列在解題中的應(yīng)用，從而有效地促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)體系的自主完善和建構(gòu)；三是“數(shù)學(xué)應(yīng)用”則重點(diǎn)展示生活中的斐波那契數(shù)列，從人類(lèi)耳朵的黃金螺旋到“iphone”的圖標(biāo)和太陽(yáng)能電池樹(shù)，讓人不由驚嘆：原來(lái)斐波那契數(shù)列無(wú)時(shí)無(wú)刻不在我們的身邊啊！

3.教師教會(huì)學(xué)生“生活數(shù)學(xué)”還是“僵尸數(shù)學(xué)”

對(duì)于片段2的例題當(dāng)然也允許學(xué)生用計(jì)算器計(jì)算，因?yàn)楣P者認(rèn)為我們給學(xué)生設(shè)計(jì)的題型模式、反復(fù)訓(xùn)練法實(shí)質(zhì)是一種偷懶——助長(zhǎng)了他們思想上的懶惰，學(xué)生只要記記題型就萬(wàn)事大吉了.我們常常擔(dān)心計(jì)算數(shù)據(jù)“差之毫厘，謬以千里”，殊不知簡(jiǎn)單、機(jī)械的學(xué)習(xí)方法和孤立、分裂的學(xué)習(xí)目標(biāo)使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)所產(chǎn)生的“差之毫厘，謬以千里”才更可怕.這種“謬誤”使學(xué)生徹底割裂了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，使他們遠(yuǎn)離了真正的數(shù)學(xué)精神，學(xué)到了一種幾乎無(wú)用的“僵尸數(shù)學(xué)”.一個(gè)人不會(huì)算數(shù)，只要頭腦清醒照樣可以生活；一個(gè)人只會(huì)算數(shù)，頭腦成了糨糊，恐怕就只能做當(dāng)代“孔乙己”了.我們不要大量的應(yīng)試高手，而要視野更開(kāi)闊，思維要更靈活的學(xué)生.古人言“勤學(xué)善思”，多年來(lái)，我們卻是“勤”有余，“思”不足.

綜上所述，數(shù)學(xué)文化探究課可以讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的思想和精神，彰顯數(shù)學(xué)的文化價(jià)值；可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)科學(xué)地提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)；可以讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值；可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和文化素養(yǎng)，使學(xué)生終生受益.

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