☉湖 北 省 仙 桃 中 學(xué) 汪慶紅

☉湖北省仙桃市教育科學(xué)研究院 曹時(shí)武

直線傾斜角與斜率的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

☉湖 北 省 仙 桃 中 學(xué) 汪慶紅

☉湖北省仙桃市教育科學(xué)研究院 曹時(shí)武

人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2（必修）第三章“3.1直線的傾斜角與斜率”第一課時(shí)——直線傾斜角與斜率的概念.

本節(jié)課是一節(jié)典型的概念課.筆者通過(guò)創(chuàng)設(shè)江漢大橋這一背景，以橋?yàn)榫€索展開(kāi)教學(xué)，讓學(xué)生感到知識(shí)就在我們的生活中；在傾斜角與斜率這兩個(gè)概念的建構(gòu)過(guò)程中，為幫助學(xué)生克服思維障礙，有效地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)中采用幾何畫板來(lái)現(xiàn)場(chǎng)演示傾斜角的變化范圍，利用實(shí)物投影展示學(xué)生所畫的函數(shù)k=tanα的圖象，突破難點(diǎn)的同時(shí)，既滲透了數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)觀點(diǎn)，又為學(xué)生直觀有效地抓住圖形進(jìn)行分析，進(jìn)一步理解斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系提供了便利.

一、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

【環(huán)節(jié)1：情景創(chuàng)設(shè)——江漢大橋話解幾】

動(dòng)態(tài)畫面展示漢江大橋同時(shí)，借助笛卡兒建立坐標(biāo)系靈感的小故事，簡(jiǎn)單介紹坐標(biāo)法的產(chǎn)生.

師：同學(xué)們：相信黃梅戲中的名段《天仙配》，大家應(yīng)該是再熟悉不過(guò)了，圖1中的橋——仙桃漢江大橋也是一個(gè)天仙配.她連接著江漢平原中的天門市和仙桃市，這個(gè)橋給天、仙兩地人民的交通帶來(lái)了極大的便利.其實(shí)數(shù)學(xué)中也有一座橋梁，這就是直角坐標(biāo)系，它溝通了幾何和代數(shù)的聯(lián)系，有了它就可以用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形，使得幾何研究跨入了一個(gè)新的領(lǐng)域，這就是我們今天將要學(xué)習(xí)的一門新的學(xué)科——解析幾何.

師：知道直角坐標(biāo)系是誰(shuí)發(fā)明的嗎？我們來(lái)聽(tīng)聽(tīng)：

（畫外音）17世紀(jì)中葉法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒在研究能否用代數(shù)中的計(jì)算來(lái)代替幾何中的證明時(shí)，他想了很多辦法，但總是百思不得其解.笛卡兒被這個(gè)問(wèn)題困擾了很長(zhǎng)時(shí)間，有一天他想著、想著就趴在桌上睡著了，在夢(mèng)境中他看見(jiàn)窗戶上有一只蜘蛛正忙著結(jié)網(wǎng)，蜘蛛順著吐出的絲在空中來(lái)回移動(dòng)，忽然，一個(gè)念頭閃過(guò)腦際，如果將蜘蛛看作一個(gè)點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)到相鄰兩個(gè)窗框的距離是可以確定的，蜘蛛上、下、左、右移動(dòng)的每一個(gè)位置——點(diǎn)，不就可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來(lái)表示嗎？所有的平面曲線不就是由這些點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而成的嗎？既然點(diǎn)可以用數(shù)來(lái)表示，那么曲線也能用數(shù)表示！

從夢(mèng)的靈感中醒來(lái)后，笛卡兒又進(jìn)行了深入的思考和研究，發(fā)明了直角坐標(biāo)系，并直接促成了解析幾何的誕生.

師：我們來(lái)看看畫面中的橋，畫面中有直角坐標(biāo)系嗎？

生：沒(méi)有.

師：我們可以建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，如何建立最方便呢？

生：用橋面上一側(cè)的水平線為x軸，用x軸同一平面內(nèi)的鉛垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系.

師：恩，不錯(cuò)，在這個(gè)直角坐標(biāo)系下，這些斜拉索可以看成什么呢？

生：直線！

師：對(duì)，本節(jié)課就是要以這座橋?yàn)楸尘埃谥苯亲鴺?biāo)系中來(lái)研究這些直線的傾斜角和斜率.（板書課題）

直線傾斜角與斜率的概念

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生從身邊事例入手，用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，指明課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

【環(huán)節(jié)2：?jiǎn)栴}探究——鐵索引出傾斜角】

在橋的畫面中引導(dǎo)學(xué)生建立合適的直角坐標(biāo)系，將鐵索看成直線放在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究.

問(wèn)題1：在直角坐標(biāo)系中，這些直線都過(guò)了定點(diǎn)P，它們的不同區(qū)別在哪里呢？

生：傾斜程度不同.

師：在直角坐標(biāo)系中，任何一條直線與x軸都有一個(gè)相對(duì)的傾斜度，用哪些量來(lái)刻畫這種傾斜程度呢？

生1：角度.

生2：比值，在直角坐標(biāo)系中可以是對(duì)邊比鄰邊.

生3：還可以是對(duì)邊比斜邊以及鄰邊比斜邊.

師：還可以有哪些量，比如兩點(diǎn)可以嗎？

生：可以.

師：下面我們將從這幾個(gè)方面來(lái)研究，首先來(lái)研究用角度刻畫直線的傾斜程度.

師：當(dāng)一條直線與x軸相交會(huì)形成四個(gè)角，選用哪個(gè)角要方便些呢？

生：直線與x軸的正方向所成的角.

師：說(shuō)說(shuō)你的理由.

生：因?yàn)榍懊嫖覀儗W(xué)習(xí)三角函數(shù)中的在直角坐標(biāo)系中表示任意角時(shí)是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，旋轉(zhuǎn)到和終邊重合.按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角.

師：所以選這個(gè)方向的角比較合理.但是，這個(gè)角唯一嗎？如果不唯一怎么辦？

生：如果按照任意角的旋轉(zhuǎn)方法，那么這個(gè)角不唯一，但是我們可以只取正角中的最小角，也就是將x軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的最小角.

師：這個(gè)主意不錯(cuò)，既保證了存在性，又保證了唯一性.既然這個(gè)角可以表示直線的傾斜程度，我們就該給它取個(gè)名字，下個(gè)定義，叫什么好呢？

生：傾斜角！

師：好！那么怎樣定義傾斜角呢？

生：當(dāng)一條直線與x軸相交時(shí)，如果把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角叫做直線的傾斜角.

師：也可以按照課本上的定義給出.定義中我們要注意哪幾點(diǎn)呢？

生：一定要按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，同時(shí)還要注意必須是最小的角.

【設(shè)計(jì)意圖】由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到角應(yīng)該是學(xué)生現(xiàn)在最熟悉的，但是旋轉(zhuǎn)得到的角不唯一，因此一定要強(qiáng)調(diào)角的唯一性和合理性.

問(wèn)題2：傾斜角的范圍是多少呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手畫圖和幾何畫板演示讓學(xué)生得到傾斜角的范圍是［0，π）.

【環(huán)節(jié)3：開(kāi)放探究——引橋坡度出斜率】

師：我們繼續(xù)觀察大橋，看看它的引橋，大橋?yàn)槭裁磿?huì)建引橋呢？

生：為了使坡度平緩，便于車輛通行.

師：講的好，這里描述傾斜程度時(shí)用了“坡度”，“坡度”是什么呢？

師：坡度中有兩個(gè)關(guān)鍵的量，升高量與前進(jìn)量，這兩個(gè)量在實(shí)際中容易測(cè)量，這個(gè)比值是好度量的.再看看這個(gè)比值與坡角的關(guān)系，它就是坡角θ的正切函數(shù).從變化的角度看坡角的范圍是多少呢？

師：那么我們能否直接用“坡度tanθ”刻畫所有直線的傾斜程度呢?

生1：可以，因?yàn)槠露确从沉似碌膬A斜程度，它同時(shí)也應(yīng)該可以反映直線的傾斜程度.

問(wèn)題3：如果將坡角θ換成傾斜角α，這時(shí)tanα能刻畫所有直線的傾斜程度嗎？同學(xué)們分組討論一下.

（學(xué)生通過(guò)分組討論，發(fā)言.）

生5：我們組認(rèn)為余弦函數(shù)cosα在［0，π）上單調(diào)遞減，它具有唯一性應(yīng)該可以表示所有直線的傾斜程度.

傾斜角α的范圍 0，π π α=0 tanα的2（ ） α=π 2 π 2，（）符號(hào) tanα＞0 tanα不存在 tanα＜0 tanα=0直線的狀態(tài) 上升 l垂直于x軸 下降 l垂直于y軸

師：剛才同學(xué)們的發(fā)言太精彩了，通過(guò)你們的思考，討論，交流發(fā)現(xiàn)可以用cosα和tanα來(lái)表示直線的傾斜程度，因?yàn)樗鼈兌季哂形ㄒ恍?究竟用哪一個(gè)表示就要看誰(shuí)更合理了.想一想再討論一下.

生7：我覺(jué)得用tanα更合理，因?yàn)槲覀冊(cè)诒硎酒露葧r(shí)用的就是正切，為了保持傾斜角為銳角時(shí)與坡度的一致性，應(yīng)該用tanα.

生8：我也覺(jué)得用tanα更合理，除了他說(shuō)的這個(gè)原因以外，關(guān)鍵是用α的正切值度量比余弦要簡(jiǎn)潔方便，因?yàn)檫@里的升高量與前進(jìn)量在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示更方便.

師：大家同意他的觀點(diǎn)嗎？

生：同意.

師：好！我也同意，那么我們?cè)摻o這個(gè)tanα取一個(gè)什么名稱要好呢？

生：斜率.

師：好，斜即傾斜，率即比值，這個(gè)名稱很形象！在大家的共同努力下我們得到了斜率的定義（板書）我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.即k= tanα.

【設(shè)計(jì)意圖】?jī)A斜角只是從形上說(shuō)明了直線的傾斜程度，還需要我們從數(shù)的角度來(lái)說(shuō)明傾斜程度，讓學(xué)生借助圖形討論比值的各種不同形式的理解傾斜角與斜率之間的聯(lián)系，從而得到斜率的定義.

【環(huán)節(jié)4：認(rèn)知升華——正切性質(zhì)探斜率】

問(wèn)題4：請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮屑?xì)觀察一下斜率定義式的結(jié)構(gòu)，看一看有哪些特點(diǎn)？

【設(shè)計(jì)意圖】除了加深對(duì)斜率定義理解外，還可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)看斜率，拓展了學(xué)生學(xué)習(xí)的視角.

【環(huán)節(jié)5：課堂演練——師生合作用新知】

例1 下列說(shuō)法正確的是（）.

A.任一條直線都有傾斜角，也都有斜率

B.直線的傾斜角越大，斜率也越大

C.兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等

D.兩直線的斜率相等，它們的傾斜角也相等

答案：D

例2 將下列表格填寫完整：

傾斜角α π 6斜率k0 3■π 2 -1

【設(shè)計(jì)意圖】加深學(xué)生對(duì)定義的理解，鞏固傾斜角和斜率之間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，最后又回到大橋，首尾呼應(yīng).

【環(huán)節(jié)6：知識(shí)歸納——課堂小結(jié)說(shuō)新知】

（1）直線的傾斜角定義及其范圍：［0，π）；

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、整理，明確本節(jié)課所學(xué)知識(shí).

課后思考：如何用兩點(diǎn)來(lái)刻畫直線的傾斜程度？

【設(shè)計(jì)意圖】將探索進(jìn)行到底.

二、課后反思

本節(jié)課涉及兩個(gè)概念——傾斜角和斜率.傾斜角是幾何概念，它主要起過(guò)渡作用，是聯(lián)系新舊知識(shí)的紐帶，研究斜率、直線的平行、垂直的解析表示等問(wèn)題時(shí)都要用這個(gè)概念；斜率概念，不僅其建立過(guò)程很好地體現(xiàn)了解析法，而且它在建立直線方程、通過(guò)直線方程研究幾何問(wèn)題時(shí)也起核心作用.由于我省按照必修數(shù)學(xué)1、4、5、2、3的順序，所以學(xué)生已經(jīng)具備了較為系統(tǒng)的三角函數(shù)知識(shí)，所以對(duì)傾斜角和斜率的關(guān)系探究相對(duì)接受起來(lái)比較容易一些.

可取之處：在本節(jié)課教學(xué)中，一是問(wèn)題的引入較好，達(dá)到內(nèi)容和情境的和諧統(tǒng)一，吸引了學(xué)生注意力；二是六個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣，引人入勝，特別是利用坡度引發(fā)沖突來(lái)體現(xiàn)傾斜角與斜率的關(guān)系，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知起到了較好的引導(dǎo)作用；三是因?yàn)橛辛巳呛瘮?shù)的基礎(chǔ)，所以在傾斜角的教學(xué)中能夠避開(kāi)課本上的分類定義而采用大綱版定義，這樣不僅簡(jiǎn)潔，方便更是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美；有了三角函數(shù)的基礎(chǔ)，所以才有在斜率概念的意義建構(gòu)中的這些探究?jī)?nèi)容，所以才能展示這些生動(dòng)的探究活動(dòng)；有了三角函數(shù)的基礎(chǔ)，所以斜率與傾斜角的關(guān)系才能夠從圖象上觀察，教學(xué)才有這樣的高度.

改進(jìn)之處：教學(xué)容量偏大，時(shí)間不太夠，學(xué)生思考和做題時(shí)間比較倉(cāng)促.建議將過(guò)兩點(diǎn)的斜率的坐標(biāo)公式和應(yīng)用放到下一節(jié)課時(shí)中去，將教學(xué)的重心放在核心概念的建構(gòu)上，并增加利用幾何畫板，強(qiáng)化動(dòng)態(tài)效果.

困惑之處：如果按照人民教育出版社的順序沒(méi)有三角函數(shù)的基礎(chǔ)，這一節(jié)課怎么上？還會(huì)有這樣的效果嗎？

三、教學(xué)點(diǎn)評(píng)

本課探索了將有效創(chuàng)設(shè)情景線、學(xué)生探究活動(dòng)線、概念定義建構(gòu)線、思想方法蘊(yùn)含線貫通融合成為“四線交織”，將知識(shí)、方法和能力串通融合為“三位一體”的概念課教學(xué)的具體作法，通過(guò)自然流暢的六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷了傾斜角和斜率的建構(gòu)過(guò)程，真正體現(xiàn)了以知識(shí)理解為主要目標(biāo)的概念課的教學(xué)特點(diǎn)，突出表現(xiàn)在如下三個(gè)方面：

一是凸現(xiàn)了對(duì)直線斜率的開(kāi)放探究過(guò)程.當(dāng)討論tanα能否刻畫所有直線的傾斜程度時(shí)，同學(xué)們的意見(jiàn)出現(xiàn)了分歧.教師因勢(shì)利導(dǎo)、恰時(shí)恰點(diǎn)組織課堂辯論，充分利用學(xué)生提出的sinα、cosα，作為比較性學(xué)習(xí)材料，利用三角函數(shù)知識(shí)，對(duì)sinα與tanα相比較而擇優(yōu)，對(duì)cosα和tanα，相區(qū)別而共存.將本課例的核心內(nèi)容直線的斜率定義的唯一性與合理性及其形成的過(guò)程展現(xiàn)得淋漓盡致.對(duì)cosα不急于否定，而是鼓勵(lì)同學(xué)們將探索進(jìn)行到底，下一課時(shí)會(huì)有分曉.

二是展現(xiàn)出寓數(shù)學(xué)概念和理性思維于情境之中的融合之美.選用仙桃漢江大橋?yàn)樗夭?，貫穿全課程，獨(dú)具匠心.高懸的鐵索，長(zhǎng)長(zhǎng)的引橋，承載了本課例所需的主要元素.教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察這座橋，抽象出直角坐標(biāo)系、直線、傾斜角、坡度讓學(xué)生感到自然、親近，學(xué)生積極性倍增.這座大橋在本課例中起到引入、奠基、示例、反饋等作用.課后淡出，余香繚繞，耐人尋味.本課例散出教學(xué)設(shè)計(jì)的精細(xì)之美.

三是教師嫻熟地應(yīng)用了各種教學(xué)方法和技巧.如問(wèn)題引導(dǎo)，分組討論，課堂交流，課堂辯論.教學(xué)過(guò)程如行云流水、樸實(shí)、自然.學(xué)生廣泛參與，效果十分顯著.利用必要的電子視頻，配上和藹可親、富有激情的語(yǔ)言，使本課成為展現(xiàn)教學(xué)藝術(shù)的一個(gè)范例.