☉甘肅省天水市第一中學 宮前長

“柯西不等式與排序不等式”教學建議與思考

☉甘肅省天水市第一中學 宮前長

不等式是高中數(shù)學教學的主要內(nèi)容，柯西不等式與排序不等式是新課標中的新增內(nèi)容，是不等式內(nèi)容的一個重要部分，是一種基本不等式形式，有著結(jié)構簡潔、形式精練和簡單易記的獨特外形及廣泛的使用范圍.數(shù)學學科教學的特征就是強調(diào)整體性和聯(lián)系性，即從整體上把握不等式，聯(lián)系相關的數(shù)學知識做好每一章節(jié)、每一節(jié)課的內(nèi)容分配、清楚其地位和作用，尤其對重點、難點的恰當定位，才能有效地突出重點、突破難點，提升教學效果.

一、教材解讀

柯西不等式和排序不等式是數(shù)學課程標準正式引入到高中數(shù)學教學中.綜觀教材編排發(fā)現(xiàn)“探究—猜想—檢驗—證明”的整體設計思路，反映了研究數(shù)學問題時使用的基本方法和通常的研究過程.整體性和聯(lián)系性是新課標教材模塊學習和專題結(jié)構學習的需要，也是學生系統(tǒng)認知、掌握不等式的需要，更是體現(xiàn)不等式的建模思想和算法思想滲透、形成的過程.

1.簡析教材特征，凸顯思想方法

柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎，有著廣泛的應用.二維柯西不等式涉及三個定理及其證明，介紹了簡單應用；按照從特殊到一般的認識方式，討論了三維柯西不等式，進而討論一般形式的柯西不等式并用三道例題介紹其簡單應用.簡單介紹排序不等式，抓住“序”字處理其簡單問題的應用.

剖析教材做到：凸顯數(shù)學思想方法就是抓住構建“基礎知識網(wǎng)絡”的核心；對數(shù)學知識的認知、認識深層次解讀就是數(shù)學概念的“思想”靈魂，表現(xiàn)在架設從數(shù)學技能到數(shù)學能力的“數(shù)學素養(yǎng)”橋梁；數(shù)學解題的具體實施就是把握了“數(shù)學核心方法”處理一類問題的操作方法.

教材編寫的重點要突出類比推理，從特殊到一般的推理，強化討論的方法.讓學生親歷發(fā)現(xiàn)的過程，增強認識上的直觀性，滲透“數(shù)”“形”結(jié)合的思想方法.教材編寫專家使用精練語言，多處設置“探究”欄目，其中蘊含了許多數(shù)學理念和思想方法，以激起學生自主學習、合作探究，鉆研經(jīng)典不等式.歸納總結(jié)教材涉及了“四、三、三、二”：

“四”個類比的過程：①從“a2+b2≥2ab”的推導過程依“作差、完全平方”類比得到“（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2”的推導過程；②從“（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2”依“公式的結(jié)構的維數(shù)形式”類比遞推到“（a2+b2+c2）（b2+c2+a2）≥（ab+bc+ca）2”和“（a2b2+…+anbn）2”；③從“平面向量證明”二維柯西不等式依“向量法的證明”類比到“空間向量證明”三維柯西不等式；④從“二維三角不等式”依“公式結(jié)構的維數(shù)形式”類比到“三維三角不等式”和“n維三角不等式”.

“三”個從特殊到一般的推理過程：①柯西不等式的代數(shù)形式的“維數(shù)”從“二維”到“三維”和“n維”；②柯西不等式的三角形式的“維數(shù)”從“二維”到“三維”和“n維”；③排序不等式的“維數(shù)”從“三維”到“n維”.

“三”種數(shù)學思想方法：①柯西不等式的證明方法涉及向量法；②證明柯西不等式時體現(xiàn)了配方法；③柯西不等式的三角形式采用圖形說明、排序不等式引用一個角的兩邊（射線）上的“有序點”直觀形象處理，加強了數(shù)形結(jié)合思想.

“兩”個重要的經(jīng)典不等式：柯西不等式和排序不等式.這兩個重要經(jīng)典不等式具有形式優(yōu)美、結(jié)構簡單、應用方便、解題作用重要的特點.

教材必修5和選修4-5的編寫，強調(diào)了解決不等式問題的通性通法，通過典型例題、習題的解法凸顯出蘊藏著的比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法等，讓學生在解題時有所體會并能初步加以應用.

2.讀懂教材編排，拓展學生思維

教材選修4-5主體編排和編寫從不同的視角揭示不等式的背景：不等式和不等式組刻畫著平面的某些“區(qū)域”、圖形的變化揭示重要不等式的幾何特征、不等式證明的目標盯著“邏輯思維能力”等，利用典型的不等式證明例題凸顯不等式證明方法的特征，學生通過學習不等式會有新的感想和啟示.

本單元的編寫意圖不僅僅介紹兩個經(jīng)典不等式及其證明方法，更重要的是通過運用經(jīng)典不等式，提升學生運用數(shù)學結(jié)論的推理論證能力.即在理解經(jīng)典不等式的基礎上，發(fā)現(xiàn)有關不等式的數(shù)學問題與經(jīng)典不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，善于應用這種聯(lián)系來解決問題，更要關注學生在學習經(jīng)典不等式時掌握認識事物規(guī)律的方法、思維空間的拓展及思維能力的提升.

不等式在高中數(shù)學的必修與選修教材編寫中，有意在教材編寫時編排了一個“觀察”、一個“閱讀與思考”、三個“思考”和七個“探究”等欄目設置問題，給學生課堂進行探究性學習提供了廣闊的平臺，涉及了一些新的知識，有利于學生的興趣培養(yǎng)、鉆研精神的培養(yǎng)，提升學生的閱讀能力和探究方向，讓學生從數(shù)、形兩個視角加深對經(jīng)典不等式的理解，也為教師因材施教配置更多的資源.如“觀察”欄目的安排，就是讓學生在平面直角系，依據(jù)兩點間的距離公式以及三角形的邊長關系，從幾何視角發(fā)現(xiàn)二維形式的三角不等式，再進一步地采用代數(shù)方法證明，體會二維柯西不等式的應用.因此一旦學生選定“不等式選講”作為選修課程，教師就要通過簡單不等式問題引導學生主動學習，積極探究，提升學生的思維能力.

3.仔細推敲教材，感悟思想方法

認真閱讀教材，解讀教材編寫脈絡，理清“一.2”中的“四、三、三、二”和本單元全部內(nèi)容（包含習題、觀察和思考欄目，以及旁白內(nèi)容），深挖例（習）題功能，確立和把握教學設計思想，讀懂教材這樣編寫的意圖以及對教學的指導意義，弄清新課程中已刪去的內(nèi)容、清楚新課程中已降低難度的不等式內(nèi)容、明白哪些不等式內(nèi)容是新課程重視和加強的內(nèi)容、哪些不等式內(nèi)容是新課程關注的新增內(nèi)容，才能更好地對例題、習題進行變式拓展（控制難度），才能感悟?qū)ｎ}中所含的豐富數(shù)學思想方法，應用經(jīng)典不等式解決具體問題時體現(xiàn)了優(yōu)化思想，在兩個經(jīng)典不等式的呈現(xiàn)過程中凸顯了數(shù)形結(jié)合思想、向量思想，在證明柯西不等式時體現(xiàn)了配方法等，對于這些數(shù)學思想方法，在學習時一定要歸納、總結(jié)，通過數(shù)學題的解答來加深理解和體會.

對教材中的觀察”、“閱讀與思考”、“思考”和“探究”等欄目作深層次地解讀，弄清這些欄目設計的目的、意圖和作用，進一步組織和設計數(shù)學問題提升課堂教學效益，讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學學習活動，主動思維、從特殊到一般、從簡單到復雜、從具體到抽象的數(shù)學活動中增強數(shù)學素養(yǎng)，加深對數(shù)學概念的理解和掌握，彰顯教材的每一塊地方所蘊含的數(shù)學思想方法.

二、教學目標、重點與難點

提高課堂效益，幫助學生獲得數(shù)學知識和提升學習能力，需要從每一節(jié)課做起.教學時引導學生從整體上認識章節(jié)內(nèi)容，把握教材的編寫意圖，培養(yǎng)由特殊到一般規(guī)律并進而證明一般規(guī)律的能力.教學中一定要狠抓“教材之脈絡”、緊扣“章節(jié)之主干”和把握“核心方法”，才能在教與學中注重概念發(fā)生、衍變過程，抓住“核心概念”，使得各概念融為一個整體，整體性和聯(lián)系性就會凸顯出來，達到數(shù)學知識、思想方法的學習融會貫通.

1.教學目標、重點與難點

“柯西不等式與排序不等式”單元新課標教學目標定位：了解柯西不等式的三種不同形式，理解這些不等式的幾何意義，并會證明.用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況，會用向量遞歸方法討論排序不等式，能夠利用柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值.根據(jù)教材和學情制定本單元的數(shù)學學習目標：

（1）通過平方數(shù)a2≥0，引導學生親歷類比（ac-bd）2≥0來推導二維柯西不等式，感悟a2≥0在不等式證明中的作用；再一次親歷采用向量的數(shù)量積推導柯西不等式，體會向量法在不等式證明的作用；從二次函數(shù)的視角推導柯西不等式的一般形式，進一步凸顯了二次函數(shù)性質(zhì)的重要意義.

（2）學會類比推理的思維方法，體會類比思想，能夠演化柯西不等式從二維推廣到一般形式，掌握柯西不等式的三種不同形式，理解其幾何意義，深化理解數(shù)學的特殊性與一般性的關系.

（3）知道排序不等式的推導過程和推導方法，掌握和理解排序不等式及其簡單的應用.

單元重點：

（1）二維、三維柯西不等式的推導過程及其簡單應用，用向量遞推法討論排序不等式.

（2）運用兩個經(jīng)典不等式解決經(jīng)典問題，體會運用經(jīng)典不等式的通性通法，即觀察、思考不等式問題與經(jīng)典不等式聯(lián)系，再依據(jù)經(jīng)典不等式解決不等式問題.

單元難點：柯西不等式的應用，排序不等式的推導過程及簡單的應用.

2.突破重點，分散難點

不等式的重點剖析：認識柯西不等式的幾種形式，理解運用幾何意義、用向量遞歸方法討論排序不等式、通過運用這兩個經(jīng)典不等式解決一些簡單問題、體會運用經(jīng)典不等式的一般方法（尋找具體問題與經(jīng)典不等式之間的聯(lián)系性，經(jīng)過適當?shù)淖儭靶巍保媒?jīng)典不等式結(jié)論解決具體問題中的不等關系的系列方法），形成對不等式運用經(jīng)典不等式解題的整體認識和圍繞核心內(nèi)容（柯西、排序不等式）的內(nèi)在聯(lián)系進行深層次地理解.

不等式的難點剖析：抓住一般形式的柯西不等式和排序不等式的證明思路，掌握運用兩個經(jīng)典不等式來證明不等式的方法處理策略和變形策略.注意把握問題的難度，重點放在兩個經(jīng)典不等式的基本的、經(jīng)典的應用，有意強調(diào)解決不等式問題的通性通法，明確提出不要過分追求不等式求解、證明中的技巧.

3.重視引導教與學方式的改進

教學時要重視引導學生學習方式和教學方式的改進，積極鼓勵學生主動探究，引導學生通過類比提出問題、尋找解決問題的策略和方法，對于兩個經(jīng)典不等式結(jié)論進行特殊化、再作進一步的推廣：對比二維形式、三維形式的柯西不等式，鼓勵學生猜一猜一般的n維形式的柯西不等式，如何應用一般的n維形式的柯西不等式證明一般的n維形式的三角不等式？只有通過自己探究，才能深深體會數(shù)學思想方法的靈活性.

學習經(jīng)典不等式（柯西、排序）時要幫助學生認清結(jié)構特征，到達便于記憶，弄清本質(zhì).對柯西不等式要弄清對應項“相乘”、“求和”和“平方”的順序特征：先自身“平方”、再“求和”、后“相乘”，結(jié)果不小于“配對積的和的平方”；對于排序不等式也要弄清“順序和”、“亂序和”和“反序和”的順序特征.其中的結(jié)構特征表征：如“對應配對”“妙湊系數(shù)”“因式配置”“數(shù)據(jù)大小”等充滿著數(shù)學機智.

在教學中，不僅要通過不等式的數(shù)學背景，而且要從本質(zhì)上幫助學生掌握重要的、經(jīng)典的不等式，切忌形式記憶和生搬硬套，更要做到：把握教學要求、重視思想方法和重視學生學習方式和教學方式的改進.同時也要強調(diào)學習過程和解題過程、強化數(shù)形結(jié)合、形成模型意識、關注經(jīng)典不等式解題運用，更要注意：不隨意拓展和延伸；不隨意加深難度；不過于追求技巧性；抓住重點、難點.

三、備考建議

選修4-5內(nèi)容屬于指定選考部分，對學生來說，依據(jù)自己的能力和特長做出選擇.雖然柯西不等式、排序不等式在高考中屬于刪除部分，但這部分內(nèi)容確實能開闊學生的不等式視野和提升對不等式的理解、認識，只要能夠系統(tǒng)地學習不等式（含選修4-5），整體把握不等式的知識結(jié)構特征和相互（包含知識點、方法等）聯(lián)系，就會對不等式有了整體認識和方法的系統(tǒng)聯(lián)系.高考考試說明上有“會用不等式證明一些簡單問題”，給各位教師提供了很大的空間，也給命題的形式提供了多樣性的呈現(xiàn)機會.怎么考？只有在高考試題中，從不同的視角尋找答案.如2013年的全國新課標卷Ⅱ的不等式選講選考題采用柯西不等式或排序不等式證明起來很簡單，足以說明不等式教學一定要把握：整體性和聯(lián)系性，在不等式學習時盡量系統(tǒng)學習.

“柯西不等式與排序不等式”雖然不屬于高考范疇（部分省市高考考試說明明確刪除對此部分的考查），但在平時教學時狠抓教材中“柯西、排序不等式的脈絡”，弄清“柯西不等式與排序不等式的類比和推理主干部分”和重點把握“不等式證明、求解的重要方法”，深刻體會教材編寫不等式的意圖和新課標對不等式的要求，形成不等式知識體系，強化凸顯不等式的整體性和聯(lián)系性，學生自然能夠領略柯西不等式、排序不等式的“奇異”作用，有利于高考時不等式問題求解和證明.

四、教學思考與建議

柯西不等式與排序不等式是數(shù)學的重要工具，是本單元學習的重要知識.結(jié)合教材內(nèi)容編排、高考考試說明和高考試題來綜合思考.

1.高考考試說明，為何刪除

高考考試說明中將“柯西不等式與排序不等式、數(shù)學歸納法證明不等式及貝努利不等式”等內(nèi)容刪除，其原因一方面是使用這些不等式時涉及的技巧性強，另一方面能夠用柯西不等式解決的最值問題也可以用均值不等式來解決.考試說明中刪除這部分內(nèi)容既降低了解題難度，又減輕了學生高考復習負擔，同時進一步強化了基本不等式“重要”，需要在應用過程中深層理解基本不等式解題和證明作用.由于選修4-5“不等式選講”是指定“三選一”的選考之一，自然是對選定的學生來說，需要加強和提升復習不等式的整體性和聯(lián)系性，注意解決數(shù)學問題難度和不等式涉及的范圍.

2.高考試題出現(xiàn)，導向何方

3.選修選定之后，如何教學

選修4-5“不等式選講”一旦選定，其高考題就會與必考（必修五）中的不等式考查融合命制，其表征是明顯的，意圖也是清晰的.教學時，準確把握教學要求，二維、三維柯西不等式的推導和應用是重點解決的，還要讓學生熟悉柯西不等式的同維三種質(zhì)同形異表示形式，親歷柯西不等式從不同角度的解釋，體會數(shù)學知識的產(chǎn)生、發(fā)展的認識規(guī)律：從特殊到一般.

例題教學時，強調(diào)兩個經(jīng)典不等式的結(jié)構特征、關鍵（柯西不等式涉及指數(shù)“2”，排序不等式涉及大小“序”）和注意事項（柯西不等式涉及多項式乘積與不等號，排序不等式涉及順序和、反序和及亂序和）.柯西不等式與排序不等式又是不等式放縮的一種方式方法，對于學有余力的學生適當提高要求（補充課外題，能夠用兩個經(jīng)典不等式證明），提升學生的理解能力和欣賞水平.

重視著名不等式的應用和背景：二維或三維柯西不等式（包含二維或三維均值不等式）應用求最值問題.明確提出對超過三維的均值不等式、柯西不等式；排序不等式和貝努利不等式的應用不作要求.只要了解幾個著名不等式（柯西、排序）的數(shù)學意義和幾何背景，力求直觀理解幾個著名不等式的數(shù)學本質(zhì).總之，要抓住教學重點，抓住基本思想基本方法的教學，力求以簡馭繁.

重視為優(yōu)等生提供發(fā)展平臺：部分學生對經(jīng)典不等式（柯西、排序）掌握的比較好時，對這些學生及時提供一些通過探究能夠弄懂的例題（能夠用柯西不等式和排序不等式可以解決的中檔問題）拓展思維，或查閱資料、獨立思考，進一步探討不等式的應用，幫助學生搭建能力發(fā)展的平臺.

認真研究課程標準、弄清教材內(nèi)容、依學情定位教學目標（包含重點、難點和關鍵點），制高點上抓知識重點的深度、強調(diào)核心概念的理解和深化、揭示新課標關注的重要內(nèi)容和思想方法，讓教、學方法由“教”到“悟”自然過渡，概括數(shù)學本質(zhì)、總結(jié)方法、提煉思想，彰顯教學“藝術”魅力，充分體現(xiàn)新課程理念.只有讀懂、讀透、讀精教材，著眼于學科整體性和聯(lián)系性的高度俯瞰全局，才能對教材“深入”“淺出”，準確把握教材，更好地“用教材”教學，真正讓教學從有效到達高效.