☉江蘇省靖江市第一高級(jí)中學(xué) 展國(guó)培

從近五年江蘇卷看解析幾何的復(fù)習(xí)

☉江蘇省靖江市第一高級(jí)中學(xué) 展國(guó)培

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，也是高考必考內(nèi)容，約占總分值（160分）的16%左右.但在每年的高考中學(xué)生的答題情況卻不理想.怎樣提高解析幾何的教學(xué)效果，使之成為高考中的得分點(diǎn)？筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐和近五年江蘇卷的解析幾何試題談一些個(gè)人看法，供參考.

一、課程標(biāo)準(zhǔn)、考試說(shuō)明及考點(diǎn)歸類(lèi)

時(shí)間（年） 知識(shí)點(diǎn) 考試說(shuō)明 課程標(biāo)準(zhǔn)2008小題：①直線(xiàn)斜率②求直線(xiàn)方程③橢圓離心率大題：求三點(diǎn)的圓，圓過(guò)定點(diǎn)2009 2010 2011小題：①橢圓離心率大題：直線(xiàn)與圓位置關(guān)系小題：①雙曲線(xiàn)焦半徑②直線(xiàn)與圓位置關(guān)系大題：求軌跡、兩直線(xiàn)交點(diǎn)及橢圓與直線(xiàn)的交點(diǎn)小題：①兩點(diǎn)之間距離②直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系大題：兩直線(xiàn)的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)2012小題：①雙曲線(xiàn)的離心率；②兩圓的位置關(guān)系；大題：橢圓方程、直線(xiàn)與橢圓相交、兩點(diǎn)之間距離A級(jí)：空間直角坐標(biāo)系、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì).B級(jí)：直線(xiàn)的傾斜角與斜率、兩直線(xiàn)的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì).C級(jí)：直線(xiàn)方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.說(shuō)明：對(duì)知識(shí)的考查要求依次分了解、理解、掌握三個(gè)層次（分別用A、B、C表示）.了解水平：空間直角坐標(biāo)系、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.理解水平：直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念，掌握直線(xiàn)斜率的計(jì)算公式；兩直線(xiàn)位置關(guān)系；判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系；能用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題；掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).遷移水平：探索并掌握直線(xiàn)方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系；探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式；探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

二、教學(xué)建議

1.必須重視概念復(fù)習(xí)

高三數(shù)學(xué)的概念復(fù)習(xí)方式主要有兩種：一是采用“導(dǎo)學(xué)案”的形式，教師提前一天將概念羅列好并以講義的形式印發(fā)下去，學(xué)生對(duì)照書(shū)本完成（特別是文科生）；二是有些輔導(dǎo)資料上有現(xiàn)成的知識(shí)點(diǎn)，師生課堂上一問(wèn)一答，共同完成.筆者認(rèn)為這兩種方式都有問(wèn)題.簡(jiǎn)單的羅列對(duì)優(yōu)等生來(lái)講無(wú)新鮮感，沒(méi)有刺激，因此是無(wú)效的；對(duì)學(xué)困生來(lái)講，高一、高二時(shí)就稀里糊涂，這樣的復(fù)習(xí)方式對(duì)他毫無(wú)幫助，仍是漿糊一瓶.“一問(wèn)一答”的形式，學(xué)生的參與度不夠，沒(méi)有被叫答的學(xué)生無(wú)所事事、心不在焉.筆者近幾年遵循“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”的原則，將概念內(nèi)容以“問(wèn)題鏈”的形式讓學(xué)生思考，從而促使學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，收到了一定效果.

例1 直線(xiàn)的斜率與方程.

問(wèn)題：已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（1，2），且與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn).請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使這條直線(xiàn)確定.（至少三個(gè)不同條件）

設(shè)計(jì)意圖：直線(xiàn)是最簡(jiǎn)單、最基本的圖形，也是第一次比較全面地運(yùn)用解析幾何的基本思想和方法研究的基本圖形.直線(xiàn)的傾斜角和斜率又是解析幾何的重要概念之一，是刻畫(huà)直線(xiàn)傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示.直線(xiàn)的斜率是對(duì)直線(xiàn)的位置進(jìn)行定量研究的基礎(chǔ)，也是研究直線(xiàn)與其他曲線(xiàn)位置關(guān)系的關(guān)鍵.因此，在高三復(fù)習(xí)時(shí)要幫助學(xué)生很好地理解這兩個(gè)概念.

該問(wèn)題可以從直線(xiàn)的幾何特征與代數(shù)特征出發(fā)，添加等量關(guān)系列方程，或不等關(guān)系求最值.比如，等量關(guān)系可以是給出直線(xiàn)的斜率、另外一點(diǎn)的坐標(biāo)、線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、△AOB的面積、周長(zhǎng)等；不等關(guān)系可以是線(xiàn)段AB最短、△AOB的面積、周長(zhǎng)的最值、P—→A·P—→B最大等.既涉及直線(xiàn)的斜率、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、直線(xiàn)方程的幾種形式、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，又涉及數(shù)與形、等與不等的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程思想等基本技能的應(yīng)用，該問(wèn)題具有一定的開(kāi)放性和探究性，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力.

在此基礎(chǔ)上，教師留十分鐘的時(shí)間讓學(xué)生思考如下問(wèn)題：

問(wèn)題1：平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)可以作幾條直線(xiàn)？

問(wèn)題2：添加什么條件可以使直線(xiàn)唯一確定？

問(wèn)題3：用什么來(lái)描述直線(xiàn)的方向？怎樣描述？

問(wèn)題4：你能敘述直線(xiàn)傾斜角的概念嗎？與x軸平行的直線(xiàn)傾斜角是多少？與x軸垂直的直線(xiàn)傾斜角呢？直線(xiàn)的傾斜角有范圍嗎？

問(wèn)題5：直線(xiàn)的斜率與傾斜角有什么關(guān)系？

問(wèn)題6：已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），則它的斜率是_________.

問(wèn)題7：直線(xiàn)的傾斜角越大，斜率越大嗎？你能說(shuō)出傾斜角與斜率之間的變化規(guī)律嗎？

問(wèn)題8：已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（x0，y0），且斜率為k，你能寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程嗎？若斜率不存在呢？

注意：直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程的適用條件.

問(wèn)題9：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是什么？其中字母k和b的幾何意義是什么？它的單調(diào)性與字母k有怎樣的聯(lián)系？

注意：直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程的適用條件.

問(wèn)題12：前面四種特殊形式的直線(xiàn)方程都是關(guān)于x，y的二元一次方程.那么，關(guān)于x，y的二元一次方程Ax+By+ C=0（A，B不全為0）都表示直線(xiàn)嗎？

注意：求直線(xiàn)方程時(shí)，結(jié)果要寫(xiě)成一般式.

設(shè)計(jì)意圖：直線(xiàn)方程是我省數(shù)學(xué)科《考試說(shuō)明》中八個(gè)C級(jí)考點(diǎn)之一，是高考必考內(nèi)容.直線(xiàn)的斜率又是核心概念之一.對(duì)于核心概念的復(fù)習(xí)教師必須舍得花時(shí)間.學(xué)生的預(yù)習(xí)往往是將課本上的相關(guān)概念抄到學(xué)案上，毫無(wú)效果.以問(wèn)題鏈的形式促使學(xué)生去思考，確保每一位學(xué)生都能參與，都能得到不同程度的發(fā)展.問(wèn)題鏈設(shè)置的落腳點(diǎn)都是學(xué)生易錯(cuò)處.

建議：學(xué)生的很多錯(cuò)誤主要是概念不清導(dǎo)致的.雖然新課程一再?gòu)?qiáng)調(diào)要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，然而在高一、高二新授課時(shí)“一個(gè)定義、三項(xiàng)注意、大量例習(xí)題訓(xùn)練”的概念教學(xué)模式仍充斥我們的課堂.如果我們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)時(shí)不注意到這一點(diǎn)，那么怎能讓學(xué)生將“模糊的清晰起來(lái)、雜亂的連結(jié)起來(lái)”呢？少講一、兩道題，多留點(diǎn)時(shí)間給學(xué)生思考、感悟、體驗(yàn)、運(yùn)用.“把時(shí)間留給學(xué)生”不只是我們?cè)趯?xiě)論文時(shí)的口號(hào)，而是我們必須踐行的教學(xué)理念.

2.抓好三基訓(xùn)練

高考中的解析幾何小題都是圍繞“基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本技能”設(shè)計(jì)的，一般是基礎(chǔ)題和中檔題，應(yīng)當(dāng)是學(xué)生的得分點(diǎn).近五年江蘇卷關(guān)于直線(xiàn)的考查主要體現(xiàn)在線(xiàn)性規(guī)劃、直線(xiàn)與其他曲線(xiàn)的位置關(guān)系等方面.如：

例4（2011年）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P是函數(shù)f（x）=ex（x＞0）的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在點(diǎn)P處的切線(xiàn)l交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線(xiàn)交y軸于點(diǎn)N，設(shè)線(xiàn)段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是_____________.

將直線(xiàn)與其他函數(shù)曲線(xiàn)結(jié)合在一起，考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)、求函數(shù)最值等知識(shí)的掌握情況是江蘇卷的一個(gè)特點(diǎn)，也體現(xiàn)知識(shí)交匯處命題的原則.

從2010年起解析幾何把直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的考查從大題遷至小題中.如：

例5（2010年第9題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)12x-5y+c=0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是__________.

例7（2012年第12題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，若直線(xiàn)y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值為_(kāi)__________.

建議：這些題要求學(xué)生能在動(dòng)與靜的兩元素（點(diǎn)和線(xiàn)）之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生對(duì)直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的掌握，思維層次高，解題策略需要不斷的優(yōu)化，具有較高的區(qū)分度.因此在高三一輪復(fù)習(xí)時(shí)要做到“細(xì)、實(shí)”，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)要細(xì)化，訓(xùn)練要實(shí)在.如圓的方程，直線(xiàn)與圓的各種位置關(guān)系，特別是直線(xiàn)與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，切線(xiàn)方程、切線(xiàn)長(zhǎng)、切點(diǎn)弦問(wèn)題、過(guò)圓外一點(diǎn)的兩切線(xiàn)的夾角，與向量結(jié)合的問(wèn)題等都要訓(xùn)練到位.立足于一節(jié)課解決一類(lèi)問(wèn)題，勿貪多.

由于江蘇對(duì)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置有諸多限制，因此小題考查主要圍繞圓錐曲線(xiàn)的定義、基本量之間的關(guān)系展開(kāi).考查定義的有：

考查基本量（主要涉及離心率）的有：

建議：在高三一輪復(fù)習(xí)時(shí)，處理好圓錐曲線(xiàn)的定義、基本量a，b，c，e與準(zhǔn)線(xiàn)之間的關(guān)系、過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題、焦點(diǎn)三角形，特別要重視關(guān)于離心率的范圍問(wèn)題（江蘇還沒(méi)考），如何建立不等關(guān)系是學(xué)生的難點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn).要讓學(xué)生自己思考、多積累解題經(jīng)驗(yàn).教材中關(guān)于圓錐曲線(xiàn)中的一些常見(jiàn)關(guān)系式或結(jié)論要求學(xué)生必須掌握，有助于縮短思維長(zhǎng)度、提高解題速度，節(jié)約解題時(shí)間.由于初中對(duì)平面幾何的要求降低了，不少學(xué)生缺乏從幾何特征分析問(wèn)題的能力，在高三復(fù)習(xí)時(shí)要引起注意.

這是我校2012屆高三考前模擬題，學(xué)生得分率幾乎是0.本題綜合性較強(qiáng)，涉及橢圓的基本量之間的關(guān)系、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，考查了基本運(yùn)算能力和推理論證能力.學(xué)生的思維障礙主要在：（1）“△ABC是銳角三角形”這一條件不會(huì)用，不少學(xué)生用余弦定理或向量的數(shù)量積，增大了計(jì)算量；（2）忽略“圓與y軸相交于B、C兩點(diǎn)”這個(gè)條件，從而導(dǎo)致錯(cuò)解；（3）少數(shù)文科生不會(huì)求點(diǎn)A的坐標(biāo).

高三復(fù)習(xí)中一要關(guān)注基礎(chǔ)，二要研究一些經(jīng)典的解析幾何題面（如阿波羅，雙定點(diǎn)等）.三要訓(xùn)練與線(xiàn)性規(guī)劃的綜合題，鍛煉好學(xué)生處理多元變量的能力和意志.

3.將計(jì)算能力的培養(yǎng)落到實(shí)處

解析幾何歷來(lái)讓學(xué)生“愛(ài)恨交織”.說(shuō)“愛(ài)”主要是思維沒(méi)有函數(shù)和數(shù)列復(fù)雜，說(shuō)“恨”主要是計(jì)算量太大.如何切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力是我們一線(xiàn)教師不能回避的問(wèn)題.當(dāng)學(xué)生遭遇到不可回避的繁雜運(yùn)算時(shí)，教師千萬(wàn)不要為了多講一道題就包辦代替，課堂上必須留時(shí)間給學(xué)生算，而且教育學(xué)生一定要有將計(jì)算進(jìn)行到底的決心和勇氣.同時(shí)要培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí)，通過(guò)合理設(shè)元、整體代換、直覺(jué)猜想、合情推理等手段，分析圖形的幾何特征，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

（1）若直線(xiàn)PA平分線(xiàn)段MN，求k的值；（2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離；（3）對(duì)任意的k＞0，求證：PA⊥PB.

從學(xué)生的解答情況看，本題16分，滿(mǎn)分率不到10%，全省均分在7～8分之間，但前面兩小題有20%的學(xué)生能得全分.令人詫異的是第（3）問(wèn)沒(méi)有預(yù)期的好，錯(cuò)誤的原因是學(xué)生的計(jì)算能力不強(qiáng)，在計(jì)算的過(guò)程中缺乏簡(jiǎn)化意識(shí)，導(dǎo)致越算越繁.［1］

解法1：設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），則點(diǎn)A（-x1，-y1）、點(diǎn)C（x1，0）.

因此PA⊥PB.

解法2：設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），B（x2，y2），則點(diǎn)A（-x1，-y1）、點(diǎn)C（x1，0）.

（ⅱ）求證：PF1+PF2是定值.

這里僅對(duì)第（2）問(wèn)的第（?。╊}給出一種解法.

由第（1）問(wèn)知，F(xiàn)（1-1，0）.延長(zhǎng)AF1交橢圓于點(diǎn)C，

由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，BF2=CF1.

顯然借助直線(xiàn)的參數(shù)方程可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.為什么考場(chǎng)上理科學(xué)生想不到呢？

建議：“參數(shù)方程與極坐標(biāo)”是選修內(nèi)容，我省放在附加模塊考查.筆者認(rèn)為，在高三復(fù)習(xí)時(shí)不能將它孤立起來(lái)，而應(yīng)有機(jī)地嵌入解析幾何的必修模塊.

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，其核心思想是坐標(biāo)法思想.因此教學(xué)中要始終關(guān)注學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法思想的體驗(yàn)、感受與運(yùn)用.由于圓中問(wèn)題的幾何味要重于解析味，江蘇省從2010年起將考查“直線(xiàn)與圓”變?yōu)榭疾椤爸本€(xiàn)與橢圓”，內(nèi)容無(wú)外乎求軌跡方程與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)與橢圓關(guān)系（解二次方程組），且涉及探究?jī)?nèi)容（定點(diǎn)，定值，共線(xiàn)等）.雖然刻意回避韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，但在試卷上我們或隱或現(xiàn)地能看到它們的影子，這也是引起爭(zhēng)議之處.是否會(huì)融合圓與橢圓甚至拋物線(xiàn)，以此為載體出現(xiàn)創(chuàng)新型解幾題，可以存疑，不排除明年考圓的可能性.但是理科類(lèi)不能忽視附加模塊中的拋物線(xiàn)是B級(jí)要求.

4.回歸課本是正道

目前，高考復(fù)習(xí)資料泛濫，良莠不齊.筆者認(rèn)為最好的復(fù)習(xí)資料就是教材.課本是教師的上課之本，是學(xué)生的學(xué)習(xí)之本，更是高考命題之本.課本是經(jīng)過(guò)資深專(zhuān)家們千錘百煉而成，經(jīng)過(guò)了數(shù)年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐的證明.因此在高三復(fù)習(xí)時(shí)千萬(wàn)不要舍本求末.回歸課本不是簡(jiǎn)單閱讀課本或?qū)⒄n本上的例習(xí)題重做一遍，而是要認(rèn)真研讀課本，讀出思想方法、讀出拓展創(chuàng)新、讀出對(duì)數(shù)學(xué)的欣賞、讀出知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交接處的閃光點(diǎn)等，充分挖掘課本中例習(xí)題的潛在功能，比如：習(xí)題的一題多解與多提一解；類(lèi)比探究與逆向探究；強(qiáng)化、弱化條件；一般化的結(jié)論等.每年大量出現(xiàn)的源于課本的高考試題還不足以讓我們清醒嗎？

1.何曉敏，顧丹丹.2011年高考數(shù)學(xué)江蘇卷解析幾何試題剖析［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（11）.