課的設(shè)計與思考

一、教學內(nèi)容的分析

1.教材的地位和作用

從對數(shù)函數(shù)知識本身來講，對數(shù)函數(shù)是函數(shù)中一類重要的基本初等函數(shù)，前面學習了指數(shù)與對數(shù)，又學習了指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)是在指數(shù)、對數(shù)與指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上引入的，是對上述知識的拓展和延伸，對數(shù)函數(shù)的知識在數(shù)學和其他許多學科中有著廣泛的應用。

從函數(shù)角度來講，在初中，學生學習了初步的函數(shù)知識，掌握了一些簡單函數(shù)的表示法、圖象、性質(zhì)，到高中后，開始系統(tǒng)地學習函數(shù)的性質(zhì)，從圖象、性質(zhì)、應用等方面較全面地研究了指數(shù)函數(shù)，學生對新函數(shù)的分析、研究已不再陌生。通過對數(shù)函數(shù)的學習，學生對函數(shù)這一重要數(shù)學思想有進一步的認識與理解，對函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)的探討進一步完善，對函數(shù)知識體系的學習更加完整、系統(tǒng)。

2.教學重點和難點

對于對數(shù)函數(shù)，學生在認知理解上存在的主要困難是對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的歸納與整理，雖然之前已經(jīng)學習過指數(shù)函數(shù)，但要熟練地總結(jié)歸納出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)特征，需要從形式上和指數(shù)函數(shù)進行類比；其次，由于指數(shù)與對數(shù)之間存在的聯(lián)系，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間也必然存在著相關(guān)性，它們在圖象和性質(zhì)上究竟有怎樣的關(guān)系，學生對規(guī)律的發(fā)現(xiàn)以及代數(shù)論證存在一定的障礙。

根據(jù)以上的分析，本節(jié)課的重、難點確定為：

（1）重點：對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；

（2）難點：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

二、教學目標的確定

1．知識與技能：理解對數(shù)函數(shù)的概念，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，了解對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系。

2．過程與方法：從函數(shù)概念的角度及指數(shù)函數(shù)的形式引入對數(shù)函數(shù)的概念，通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，形成對數(shù)函數(shù)的概念；畫出對數(shù)函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)y＝logax圖象的特征，對照指數(shù)函數(shù)的研究方式，從特殊到一般，歸納、總結(jié)其性質(zhì)；從圖象和代數(shù)兩種形式，找出指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系。

3．情感態(tài)度價值觀：培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的意識，提高學z0FASae3NV4OL/9oqiq1R4sJ3w6TIL1sfrFwqt8Hsk8=生的識圖能力；學會用聯(lián)系、類比的觀點分析問題。

三、教學方法的選擇

由于學生已經(jīng)系統(tǒng)學習過指數(shù)函數(shù)，掌握了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，知道了指數(shù)函數(shù)的研究方式，本節(jié)課研究對數(shù)函數(shù)，主要采用探索發(fā)現(xiàn)法、小組討論法、練習總結(jié)法等教學方法。

（1）從指數(shù)函數(shù)的形式出發(fā)，從函數(shù)概念的角度，引入對數(shù)函數(shù)。通過學生活動，從實際問題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系，由指數(shù)式、對數(shù)式之間的關(guān)系，通過問題串的方式引導學生說出對數(shù)函數(shù)的定義域和值域；

（2）在研究其圖象時，通過作出幾個具體對數(shù)函數(shù)的圖象，充分挖掘指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)二者圖象關(guān)于直線y＝x對稱；

（3）在研究其性質(zhì)時，主要采用小組討論法，學生協(xié)作學習，運用類比的思想，類比指數(shù)函數(shù)的研究方式，對照指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，總結(jié)歸納出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

在學法上，提倡以學生為主體，教師為主導的課堂教學模式，教師通過問題的引導，啟發(fā)學生思考、分析、實踐、探索、歸納、總結(jié)，讓學生積極主動參與學習過程，充分展現(xiàn)他們的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造性思維。

四、教學過程的設(shè)計

本節(jié)課以建構(gòu)主義為理論依據(jù)，設(shè)計教學過程總體框架為：情景再現(xiàn)——提出問題——動手實踐——協(xié)作探索——類比總結(jié)——解決問題——鞏固應用。在整個教學流程中，通過一系列的問題串發(fā)揮教師的引導作用，學生在解決問題的過程中自主發(fā)現(xiàn)、探索、提煉、總結(jié)。教學流程圖如下：

課例呈現(xiàn)

1．引入：

前面我們學習了指數(shù)、對數(shù)以及指數(shù)函數(shù)，請你寫出一個指數(shù)函數(shù)的例子。

生：y＝2x．

2x是一個指數(shù)式，稱y＝2x為指數(shù)函數(shù).log2y是一個對數(shù)式，試問x＝log2y是否也是一個函數(shù)？為什么？

生：是．因為它符合函數(shù)的定義，當y＞0時，任意給定一個y的值都有惟一的x值與之對應．

我們已經(jīng)知道指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān)系，那么函數(shù)y＝2x與x＝log2y之間有什么關(guān)系？你能用一個實例來說明二者之間的聯(lián)系嗎？

學生活動。

細胞分裂問題，某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個……，1個這樣的細胞分裂x次后，得到的細胞個數(shù)y是分裂次數(shù)x的函數(shù)，即y＝2x，x∈N*．函數(shù)x＝log2y則是知道細胞分裂后的個數(shù)y，求細胞分裂的次數(shù)x的過程，二者之間是反過來的.

（意圖：函數(shù)的概念是學習函數(shù)的最根本的問題，學生熟悉指數(shù)與對數(shù)，此處開門見山地從函數(shù)的角度，從指數(shù)函數(shù)的形式直接引入對數(shù)函數(shù)，然后讓學生以一個非常熟悉的實際問題為背景，直觀了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，并且鮮明地刻畫出兩個函數(shù)之間的聯(lián)系。）

下面通過復習指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，為學生通過類比的方法研究對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)做鋪墊。

回顧指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

2．概念的形成與辨析

對數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y＝logax（a＞0且a≠1），x∈（０，+∞）叫做對數(shù)函數(shù)。

問題1：結(jié)合指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān)系，試說出對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0且a≠1）的定義域與值域。

生：定義域為（0，+∞），值域為R．

問題2：試比較指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax的定義域和值域，它們之間有什么關(guān)系？

生：指數(shù)函數(shù)的定義域和值域，分別是對數(shù)函數(shù)的值域與定義域。

（意圖：同指數(shù)函數(shù)的概念一樣，對數(shù)函數(shù)也是一個形式上的概念。通過兩個問題成功地建立了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的一般聯(lián)系，為學生能夠發(fā)現(xiàn)兩者圖象之間的關(guān)系提供思考的途徑。）

例1 求下列函數(shù)的定義域：

（1）y＝log0.2（4－x）；

（2）y＝loga（■）（a＞0且a≠1）；

解：（1）由4－x＞0，得x＜4，故函數(shù)的定義域是（－∞，4）；

（2）由■＞0，得x＞1，故函數(shù)的定義域是（1，＋∞）；

（意圖：概念形成之后，需要對其進行概念的辨析，進一步強化對數(shù)函數(shù)的定義域。）

3．對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的形成

分別在同一坐標系下畫出以下兩組函數(shù)的圖象。

（1）y＝2x，y＝log2x；

（2）y＝（■）x，y＝log■x。

問題3：觀察各組函數(shù)的圖象，它們之間有著怎樣的關(guān)系？

生：關(guān)于直線y＝x對稱。

思考：一般地，當a＞0且a≠1時，函數(shù)y＝ax與y＝logax是否有上述關(guān)系？

生：有。

（意圖：有了對數(shù)函數(shù)的概念之后，學生就自然想到要研究函數(shù)的圖象，對數(shù)函數(shù)的圖象是什么樣子？通過描點、作圖畫出兩組圖象，讓學生動手作圖、對比圖象，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。從特殊到一般，總結(jié)出指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，并以此來驗證二者在定義域和值域上的關(guān)系。至于y＝ax與y＝logax的圖象關(guān)于直線y＝x對稱的代數(shù)證明可以在課后進行探究。有了這條性質(zhì)，即請學生快速地在同一坐標系內(nèi)畫出y＝log2x，y＝log■x，y＝log3x，y＝log■x的圖象，并通過小組協(xié)作討論，歸納總結(jié)出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。）

觀察下列函數(shù)的圖象（用Ｅxcel或幾何畫板給出）：y＝log2x，y＝log■x，y＝log3x，y＝log■x

問題4：結(jié)合指數(shù)函數(shù)，你能總結(jié)、歸納出對數(shù)函數(shù)具有哪些性質(zhì)嗎？

（意圖：上述性質(zhì)學生通過類比指數(shù)函數(shù)不難得到。主要從五個方面進行考慮：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊性質(zhì)。這里需向?qū)W生說明一點，這些關(guān)于性質(zhì)的結(jié)論都是從特殊的函數(shù)歸納得到的，即運用由特殊到一般的總結(jié)方法，那么對一般的情況（即底數(shù)a取不同值）上述性質(zhì)是否存在？借助幾何畫板，作出動態(tài)的對數(shù)函數(shù)的圖象，讓學生觀察、發(fā)現(xiàn)、交流，回答問題5和問題6。）

問題5：對數(shù)函數(shù)的圖象與y軸有交點嗎？它們有著怎樣的特殊關(guān)系？

生：沒有交點，y軸是對數(shù)函數(shù)的漸近線。

問題6：隨著底數(shù)a的變化，對數(shù)函數(shù)的圖象呈現(xiàn)怎樣的變化規(guī)律？

生：在第一象限按順時針方向，底數(shù)依次增大。

例2 利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

（1）log23.4 log23.8；（２）log0.５1.8 log0.５2.1；

（3）log25 log35； （4）log76，log58，log0.73.

解：（1）因為y＝log2x在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，由于3.4＜3.8，所以log23.4＜log23.8；

（2）因為y＝log0.5x在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，由于1.8＜2.1，所以log0.51.8＞log0.52.1；

（3）考察y＝log2x與y＝log3x的圖象，易知log25＞log35；

（4）log0.73＜0＜log76＜1＜log58．

問題7：如何比較兩個對數(shù)的大小關(guān)系？

（1）同底對數(shù)考察函數(shù)的單調(diào)性；

變式（選）：比較大小loga5.4____loga3.2．

解答：考察函數(shù)y＝logax，

①當a＞1時，函數(shù)y＝logax在（0，+∞）為單調(diào)增函數(shù)，由于5.4＞3.2，所以loga5.4＞loga3.2；

②當0＜a＜1時，函數(shù)y＝logax在（0，+∞）為單調(diào)減函數(shù)，由于5.4＞3.2，所以loga5.4＜loga3.2；

（2）同真數(shù)對數(shù)考慮對應函數(shù)的變化規(guī)律；

（3）真數(shù)與底數(shù)均不同時，先考慮與0、1等特殊數(shù)的大小關(guān)系。

（意圖：設(shè)置“例2”是為進一步熟悉、理解對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并運用性質(zhì)處理一些實際問題。（1）和（2）是同底對數(shù)式，考慮同底對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，補例需要考慮a的范圍，涉及分類討論的思想；（3）是同真數(shù)的對數(shù)式比較大小，可以運用對數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律解題，還可以運用換底公式；（4）中真數(shù)與底數(shù)均不相同時，應考慮選取中間值來進行比較。）

4．小結(jié)：

問題1：對數(shù)函數(shù)的概念是如何形成的？問題2：簡述對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；問題3：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)又是怎樣得到的？它體現(xiàn)了怎樣的思想方法？

（意圖：以問題的方式請學生進行課堂學習內(nèi)容的小結(jié)，讓學生再次回歸知識的生成過程，體會數(shù)形結(jié)合、類比、由特殊到一般、分類討論等數(shù)學思想方法在解決問題的過程中的應用，培養(yǎng)學生的概括能力和回歸本質(zhì)的意識。）

思考：通過對本節(jié)課的學習，你有什么方法能快速判斷對數(shù)式logab的符號？

生：當a，b同屬于區(qū)間（0，1）或（1，＋∞）時，logab＞0，反之則為負。

（意圖：通過思考題讓學生從函數(shù)值的正、負角度觀察對數(shù)函數(shù)的圖象，進一步感受分類討論的思想，讓學生在解決問題的過程中不斷總結(jié)規(guī)律，提升其數(shù)學思維品質(zhì)．）

5．作業(yè)：

1．求下列函數(shù)的定義域（課本題）

（1）y＝ln（3x－1）；（2）y＝log4■.

2．利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大小：

（1）log57.8與log57.9；（2）log0.33與log0.32；

（3）ln0.32與log2；（4）log65與log78．

（作者單位：南京市中華中學）