摘 要： 向量內(nèi)積（數(shù)量積）的定義及其坐標(biāo)運(yùn)算 融向量、幾何、代數(shù)知識(shí)于一體，成為許多數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯點(diǎn)，是數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的最佳紐帶和橋梁，是用向量法計(jì)算立體幾何中各種距離和夾角的最有力的基本工具，教學(xué)一線的教師教學(xué)中應(yīng)給予足夠的重視.

關(guān)鍵詞： 向量內(nèi)積 立體幾何問題 距離 夾角

距離和夾角（兩條異面直線之間的距離、點(diǎn)到平面的距離和異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等）是立體幾何中的計(jì)算難點(diǎn)，也是考試熱點(diǎn).用傳統(tǒng)知識(shí)和方法解決這些問題，往往要對(duì)圖形做過多的分析，需要作輔助線和一些煩瑣的拼湊技巧，對(duì)學(xué)生而言不易掌握.利用向量內(nèi)積知識(shí)一般可將上述的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決，可避免許多繁難的圖形分析，將問題的解決程序化和公式化，易于操作，學(xué)生也容易掌握，可大大降低思維難度，提高學(xué)生的解題能力.正如張奠宙教授說的，利用向量許多幾何命題迎刃而解……比起綜合方法需要“個(gè)別處理”的技巧，它是一個(gè)“一攬子”解決的手段.

1.求點(diǎn)到平面的距離

立體幾何中的幾種距離：兩條異面直線之間的距離、直線與平面之間的距離、兩平行平面之間的距離等一般都可化為求點(diǎn)到平面的距離.在無法（或難以）判斷所引垂線的垂足位置時(shí)，利用公式

（1）（是平面法向量，P是平面外的點(diǎn)，O是平面內(nèi)的點(diǎn)）求點(diǎn)到平面的距離，的確是解決問題的有力工具.

例1.（2010年全國高考理科數(shù)學(xué)試題江西卷20題（Ⅰ））如圖（略），△BCD與△MC12887a6e6e733ded7358bf33bf902e9b771b3a290d3da4b2e1a9917c6511af87D都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，，求點(diǎn)A到平面MBC的距離.

解：幾何法需作多條輔助線，還以棱錐不同的面為底面通過求棱錐體積來求（技巧性強(qiáng)），找法向量較簡單.

取CD中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC、OB、OM分別為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，則，設(shè)為平面MBC的法向量，由易求得一個(gè)代入公式（1）得所求距離

例2.（2005年全國高考文科數(shù)學(xué)試題重慶卷20題（Ⅰ））如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一點(diǎn)，PE⊥EC，已知：求異面直線PD與EC的距離.

解：以D為原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，作P′C∥PD，且使 |P′C|=|PD|，則因P′C∥CE、P′C確定的平面α，D點(diǎn)到α的距離即為異面直線PD與EC的距離.

不難求出相關(guān)點(diǎn)及相關(guān)向量的坐標(biāo)：設(shè)α的法向量由易求得一個(gè)又代入公式（1）得所求距離

例3.（2009年全國高考文科數(shù)學(xué)試題重慶卷18題（Ⅰ））如圖（略），在五面體，四邊形ABFE為平行四邊形，F(xiàn)A⊥平面 求直線AB到平面EFCD的距離.

解：以A為原點(diǎn)，AB、AD、AF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，因AB∥平面EFCD，A點(diǎn)到平面EFCD的距離即為直線AB到平面EFCD的距離.不難求出相關(guān)點(diǎn)及相關(guān)向量的坐標(biāo)：A（0，0，0），C設(shè)平面EFCD的法向量由易求得一個(gè)代入公式（1）得所求距離

2.求異面直線所成的角

兩條異面直線既不相交，且又有所成的角，這對(duì)初學(xué)立體幾何的學(xué)生是難以理解的.求異面直線所成的角是學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何中碰到的計(jì)算度量方面的第一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)橛脦缀畏ㄇ鬅o現(xiàn)成公式可套，一般要找出（作出）所要求的角，這需要一定的技巧.利用公式

（2）求面直線所成的角較幾何法有明顯優(yōu)勢(shì).

例4.（2005年全國高考理科數(shù)學(xué)試題湖北卷20題（Ⅰ））如圖（略）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面，E為PD中點(diǎn)，求直線AC與PB所成的角的余弦值.

解：以A為原點(diǎn)，直線AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，則，所成的角為θ，則由公式（2）得直線AC與PB所成的角的余弦值

3.求直線與平面所成的角

求直線與平面所成的角，是學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何中碰到的計(jì)算度量方面的又一個(gè)難點(diǎn).直線與平面所成的角的定義比異面直線所成角的定義更抽象、更難理解，首先要會(huì)作出斜線在平面上的射影，在不易找出（作出）所要求的角的情況下，應(yīng)會(huì)利用公式3）（是平面法向量，∥斜線）來求.

例5.（2011年高考數(shù)學(xué)試題（全國卷）（理科·必修+選修（Ⅱ）19題）如圖（略），四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.（Ⅰ）證明SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小.

解：AB與平面SBC所成的角不易找出（作出），用幾何法解要經(jīng)過轉(zhuǎn)換求出AB上的點(diǎn)到平面SBC的距離（較難求），再用銳角的正弦定義求出.用公式（3）較簡單.

在證明（Ⅰ）SD⊥平面SAB的條件下，以C為原點(diǎn)，直線CD、CB分別為x軸、y軸建立坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），由得設(shè)平面SBC的法向量由易求得一個(gè)2），代入公式（3）得所以AB與平面SBC所成的角的大小為4.求二面角的大小

二面角的大小是用它的平面角來度量的，而平面角有無窮多個(gè)（都相等），可能是高中立體幾何中學(xué)生最難理解的一個(gè)概念，但幾乎是多年來數(shù)學(xué)高考的必考題，據(jù)筆者了解所知，大部分高中數(shù)學(xué)一線教師都要求學(xué)生會(huì)利用公式 分別是兩個(gè)半平面的法向量）求二面角大小，傳統(tǒng)的方法逐漸被淡化，部分原因可能是為了應(yīng)試，但不可否認(rèn)，在實(shí)際操作上較傳統(tǒng)的方法的確是有明顯優(yōu)勢(shì)的.

例6.（2011年全國高考（課程標(biāo)準(zhǔn)卷）數(shù)學(xué)（理科）試題18題）如圖2，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.

解：要找出二面角A-PB-C的一個(gè)平面角顯然不易.在證明BD⊥平面PAD后，以D為原點(diǎn)，直線DA、DC、DP分別為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，則分別為平面PAB、平面PBC的法向量，由易得代入公式（4）得由圖知（圖略），所求的角是鈍角，所以二面角A-PB-C的余弦值是

由上面分析和實(shí)例可知，利用向量內(nèi)積知識(shí)解決立體幾何中的難點(diǎn)問題的優(yōu)勢(shì)，是傳統(tǒng)知識(shí)和方法無法代替的，更主要的是通過對(duì)向量內(nèi)積知識(shí)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)能力是大有裨益的.一線教師在教學(xué)中應(yīng)對(duì)這部分知識(shí)給予足夠的重視.要讓學(xué)生掌握向量的思想方法，并且借助于向量，應(yīng)用聯(lián)想的觀點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，審視的觀點(diǎn)，進(jìn)行縱橫聯(lián)系，廣泛聯(lián)想，將幾何、代數(shù)、三角函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行合理重組和整合，體驗(yàn)向量法解（證）題的簡單美和結(jié)構(gòu)美及數(shù)學(xué)價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，對(duì)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間解析幾何等高等數(shù)學(xué)也很有必要.

參考文獻(xiàn)：

[1]張奠宙，袁震東.話說向量[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2007（9）.

[2]高中立體幾何教學(xué)參考書[M].人民教育出版社，1983.9，第1版：12.