【摘 要】數學教學不僅要著眼于數學的應用價值，更要著眼于數學的思維價值和文化價值?！昂瘮档膯握{性”教學設計，體現了數學來源于生活而又服務于生活的意識，把豐富的生活感知和數學理性有機融合起來，讓學生感受到生活中有數學。“函數的單調性”是對函數圖象特征的一種數學描述，它經歷了由圖象直觀感知到自然語言描述，再到數學符號語言描述的進化過程，這個過程充分反映了數學的理性精神。

【關鍵詞】函數單調性 文化價值 理性精神

《普通高中數學課程標準（實驗）》明確指出：“數學是人類文化的重要組成部分，構成了公民所必須具備的一種基本素質?！睌祵W教學不僅要著眼于數學的應用價值，更要著眼于數學的思維價值和文化價值，這樣才能深入到數學的教育形態(tài)，實現數學的教育價值。我們的數學教育一直強調培養(yǎng)學生解決問題的能力。但要注意的是對這一能力的理解不能太狹窄，它不僅意味著解數學題的能力，或者將實際問題轉化為數學問題來處理的能力，而且還應當包括善于用數學思維方式去考慮問題、處理問題的能力，對學生今后的生活和工作來說，后者往往比前者更為重要、更能發(fā)揮作用，我們所講的數學的文化意義其核心也就是數學的觀念、意識和思維方式。

所謂數學的觀念和意識，也就是人們常說的數學的頭腦、數學的素養(yǎng)，準確地說是推理意識、抽象意識、整體意識和化歸意識。比如說推理意識，體現了演繹邏輯的可靠性、嚴謹性和思維方式的廣泛性、深刻性，這有助于學生不盲從、有條理、善思辨，在錯綜復雜的問題面前不被表象所迷惑，而能夠透過現象，洞察事物的本質，揭示相互之間的關系，在辦事處世時頭腦里總有一個條理清晰的樹形圖，從而能更有效地解決問題。數學教育應當在提高學生的推理能力這一基本的文化修養(yǎng)方面多做一些開拓性的工作，比如教學中的數學問題應走出封閉的體系，改變呆板的單一題型，減少機械模仿，淡化技巧形式，增加探索性、開放性的情景問題的研討。這是因為，在今后的工作、生活中所遇到的問題往往是開放式的，條件不是不多不少、結論不是標準單一、狀態(tài)也不是那么清晰，這就要求人們善于篩選、概Dn1RCMntbEWlRoQdaZCaqbVg+F7Y2vh4Ssi3DaL0MSs=括、推理、分析，從而綱舉目張。

本文以蘇教版高中《數學》必修1“函數的單調性”的教學設計為例，談談筆者在平時的教學中是如何滲透數學文化，追求數學本真的。

一、“函數的單調性”的教學設計

“函數的單調性”問題既是學生學過的函數概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數函數、對數函數、三角函數的單調性的基礎，它是整個高中數學中起著承上啟下作用的核心知識之一。從方法論的角度分析，本節(jié)教學過程中還滲透了探索發(fā)現、數形結合、歸納轉化等數學思想方法。為此我們通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，為學生學習函數單調性創(chuàng)設文化氛圍和教學情境，拉近數學與現實生活的距離，激發(fā)學生求知欲，調動學生主體參與的積極性，讓學生感受學習的快樂和成功的喜悅。基于上述思考，我設計了如下的教學方案。

1.創(chuàng)設情境，揭示課題。

【教學情境1】大屏幕播放波濤起伏的海寧潮，并配詩文解說。

海寧潮，又名錢江潮，自古稱之為“天下奇觀FrRpmJlWtMrUp60znH54aV86i+k4F5yUNk6BbBuHO3I=”。“八月十八潮，壯觀天下無?！焙幊笔且粋€壯觀無比的自然動態(tài)奇觀，當江潮從東面來時，似一條銀線，“則玉城雪嶺際天而來，大聲如雷霆，震撼激射，吞天沃日，勢極雄豪”，潮起潮落，牽動了無數人的心。

同學們，如何用函數形式來表示潮起和潮落？

【教學情境2】教師和學生一起舉出生活中描述上升或下降的變化規(guī)律的成語。例如，蒸蒸日上、每況愈下、此起彼伏。

同學們，如何用學過的函數圖象來描繪這些成語？

（設計意圖：海寧潮潮起潮落，把學生帶進了美麗的大自然的懷抱；生活中描述上升或下降的變化規(guī)律的成語，為學生建立起數學與文化的橋梁，同時巧妙地揭示了本節(jié)課研究的主題。從潮起潮落，由成語到函數圖象的問題情境，幫助學生用樸素的生活語言描述他們對變化規(guī)律的理解，并學會將文字語言轉化為圖形語言，這樣做可使教學過程富有情趣，可激發(fā)學生的學習熱情，教學起點的設定也比較恰當，學生的參與度較高。）

2.溫故知新，建構概念。

【問題1】觀察學生繪制的函數的圖象（實際教學中可根據學生回答的情況而定），指出圖象的變化的趨勢。

觀察得到：隨著x值的增大，函數圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區(qū)間內呈上升趨勢，在另一區(qū)間內呈下降趨勢。

【問題2】對“圖象呈逐漸上升趨勢”這句話初中學習時是怎樣描述的？

例如：初中學習時y=x2，我們知道，當x<0時，函數值y隨x的增大而減小，當x>0時，函數值y隨x的增大而增大。

回憶初中對函數單調性的解釋：

圖象呈逐漸上升趨勢？圳數值y隨x的增大而增大；圖象呈逐漸下降趨勢？圳數值y隨x的增大而減小。函數的這種性質被稱為函數的單調性。

（設計意圖：學生在函數單調性這一概念的學習上有三個認知基礎。一是生活體驗，二是函數圖象，三是初中對函數單調性的認識。對照繪制的函數圖象，讓學生回憶初中對函數單調性的描述的定義，并在此基礎上進行概念的符號化建構，與學生的認知起點銜接緊密，符合學生的認知規(guī)律。）

【問題3】如何用符號化的數學語言來準確地表述函數的單調性呢？

我們可以用以下方法來進行刻畫。如圖所示，對于區(qū)間I內的任意兩個值x1，x2，當x1

【問題4】如何定義單調減函數呢？

可以通過類比的方法給出減函數的定義。

特別要注意的是用“區(qū)間I內的任意兩個值x1， x2”來刻畫一般性，用“當x1

可先讓學生討論，師生共同歸納：單調遞增是x與y“共同進退”，單調遞減是x與y“此消彼長”。

（設計意圖：通過師生雙邊活動及學生討論，可以讓學生充分參與用嚴格的數學符號語言定義函數單調性的全過程，讓他們親身體驗數學概念如何從直觀到抽象，從文字到符號，從粗疏到嚴密。讓他們充分感悟數學概念符號化的建構原則。問題4則要求學生結合圖象化單調增函數的定義，通過類比的方法，由學生自己得到單調減函數的概念，在這個過程中，學生可以體會數學概念是如何擴充完善的。）

3.反思質疑，發(fā)展思維。

【問題5】怎樣利用函數單調性的定義來證明某一函數在指定區(qū)間上的單調性。

分析課本第38頁例2的證明過程，向學生指出要比較f（x1）與f（x2）的大小，可以轉化為判斷f（x1）-f（x2）的差的正負來確定，這是轉化思想指導下的產物。

師生合作總結規(guī)律，證明函數單調性的一般步驟：取值→作差→變形→定號。

請學生思考：（1）判斷f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數還是減函數。

（2）能否說明函數f（x）在其定義域上是增函數？

（設計意圖：學生對一個概念的認識不可能一次完成，教師要善于從多個角度，通過概念變式教學和構造反例幫助學生理解概念的內涵與外延。在學習如何證明一個函數的單調性之前，先與學生一起探討怎樣才能否定一個函數的單調性，對幫助學生理解函數單調性的概念尤為重要，可以加深學生對“任意”兩字的理解。這樣既能幫助學生掌握知識，又能培養(yǎng)學生的質疑精神。）

4.感受成功，激發(fā)興趣。

【問題7】在一碗水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜。你能運用所學過的數學知識來解釋這一現象嗎？

（設計意圖：從定向性的證明，到自我探+ug/qa1OeYKK3iy+AsLqbmuXoZ0uRkc0aU0cWqpxMZQ=索單調區(qū)間完成證明，是一個很大的跨越，但在此探索過程中，學生體會到數學中“數形”的聯系和互相驗證，體會到成功解決問題的快樂。生活中實際問題的提供體現了數學來源于生活，也應用于解決生活中的問題。通過這個實例，讓學生感受學習成功的喜悅，激發(fā)學習的熱情。）

二、對“函數的單調性”教學設計的幾點思考

“函數的單調性”的教學設計，從生活中的實際問題出發(fā)，引導學生自主探索函數單調性的概念，應用圖象和單調性的定義解決函數單調性問題，其教學目的就是要讓學生在研究和探索的學習過程中，領會數形結合的數學思想方法，達到培養(yǎng)和提高學生發(fā)現問題、分析問題、解決問題的能力。對于“函數的單調性”的教學設計我們有如下的幾點思考，供讀者參考。

1.關注實際生活，感悟數學文化。

注重數學與生活的聯系是數學教育的重要內容之一，教師在做教學設計的時候要結合教學內容盡可能地創(chuàng)設一些生動、鮮活的生活情景，從學生平時感覺到的事物入手，把生活中的數學原型展現在課堂中，使學生眼中的數學不再是簡單的數學，而是富有情感、具有活力的知識，在培養(yǎng)學生數學能力的同時激發(fā)學生熱愛生活的情感。如引入天下奇觀海寧潮以及描述升降變化的成語，讓學生感受到了濃濃的文化氣息和數學的魅力所在，通過創(chuàng)設一系列的問題，引發(fā)了學生進一步學習的求知欲和好奇心。學生在熟悉的情景中，把自己和數學融為一體，在不知不覺中掌握了知識，感悟了數學文化，在生活實踐中自覺地應用了數學知識。

2.感受數學直覺，構建數學概念。

教學設計最根本的著力點是“為學習設計教學”， 如果把教學看作是教師帶領學生一起去遠足，那么學情分析的目的是要分析學生的認知基礎，確定一個合情合理的教學起點；“目標導向”是教學設計的關鍵，教師要分析預期達到的教學效果，即遠足所期望到達的目的地，這是教學的根本和核心任務；“知識定位”則好比是教師要預先分析通往目的地的道路狀況，從而決定前進的方法和策略；“問題設計”則好比是設計行程，恰當安排可以指引師生高效地向著目的地前行?！昂瘮档膯握{性”教學設計中，設計問題引發(fā)學生思考，調動學生的參與意識，通過直觀圖形將函數單調性的圖形語言轉化為數學語言。再由教師指圖說明，分析定義，使學生把定義與直觀圖象結合起來，加深了對概念的理解。

3.追求數學本真，突出思想方法。

數學教學要著眼于數學的思維價值和文化價值，體現數學思想方法。讓學生體驗數學知識的發(fā)生發(fā)展過程，應該成為“函數的單調性”這節(jié)課的一個重要教學目標?！昂瘮档膯握{性”的定義是對函數圖象特征的一種數學描述，它經歷了由圖象直觀感知到自然語言描述，再到數學符號語言描述的進化過程，這個過程充分反映了數學的理性精神。

“函數的單調性”教學設計，以問題為背景，追求數學的本真，鼓勵學生通過活動，結合實驗、觀察、思考、歸納、抽象、概括、運用，力求使學生對現實世界中蘊含的一些數學模式進行思考和做出理性的判斷，鼓勵學生更注重應用數學的觀念、方法與語言去提出、分析和解決問題。每一個發(fā)現總是想方設法盡量讓學生得出來，教師的作用是引導，在關鍵處導一導、推一推，打造出一幅“涓涓細流潤芬芳”的美好圖景，在師生對話中自然生成了“函數單調性”的概念。這種學生發(fā)現問題、帶領學生尋找解決問題的方法，滲透了數形結合的數學思想，符合建構主義理論及其教學方法。

“函數的單調性”教學設計，體現了數學來源于生活而又服務于生活的意識，把豐富的生活感知和數學理性有機融合起來，讓學生感受到生活中有數學，體會到數學對自然與社會所產生的作用，認識到數學的價值所在，學會用數學的思想和方法去觀察問題、研究問題和解決問題，掌握必要的思維策略，嘗試用數學的眼光看世界。

（作者單位：江蘇省蘇州第十中學校）