【摘 要】本文以“數(shù)學(xué)歸納法”的起始課教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談如何在課堂上挖掘和提煉數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，并營(yíng)造良好的氛圍和平臺(tái)讓學(xué)生體驗(yàn)科學(xué)探索的過(guò)程，試圖將知識(shí)的發(fā)生發(fā)展真實(shí)本色地還原在課堂上，并讓學(xué)生自己去體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)展歷程。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化 數(shù)學(xué)歸納法 課堂教學(xué)

一、教學(xué)目的

（1）了解數(shù)學(xué)歸納法的文化背景及發(fā)展歷史。

（2）培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于歸納、大膽猜想、小心求證的科學(xué)研究方法。

（3）初步掌握數(shù)學(xué)歸納法原理及其應(yīng)用。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

我們可以從數(shù)學(xué)史料中挖掘素材加以運(yùn)用以提升學(xué)生理性思考的層次和品質(zhì)，重點(diǎn)從以下四個(gè)環(huán)節(jié)上分析數(shù)學(xué)歸納法的原理和本質(zhì)。

【環(huán)節(jié)1】公元前六世紀(jì)的古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中有人研究了所謂的“三角數(shù)”（如圖所示），用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述，即滿足下列條件的數(shù)列：an：a1=1，a2=1+2=3，a3=1+2+3=6，a4=1+2+3+4=10，

從以上環(huán)節(jié)中，學(xué)生了解了觀察、分析、歸納、猜想的歷史淵源及其意義。

從這個(gè)環(huán)節(jié)中學(xué)生看到了通過(guò)有限的推理步驟，如何遞推并延續(xù)，并最終走向無(wú)限。

【環(huán)節(jié)3】為了體會(huì)這里的循環(huán)遞進(jìn)原理，我們可以設(shè)計(jì)這樣一個(gè)引例。

比較大?。?n____n2+2 （n∈N）

易知n=1、2、3、4，有2n52+2，n=6，則26>62+2；……猜想：2n>n2+2（n≥5），如何說(shuō)明理由？要學(xué)生說(shuō)清道理還真難住了他們，因?yàn)殡S著n的變大，2n不是一個(gè)小數(shù)目。

“我們另辟蹊徑，考慮能否不直接計(jì)算數(shù)值，在25>52+2的基礎(chǔ)上來(lái)證明26>62+2？試試看?！?/p>

26=2×25>2（52+2）（這是因?yàn)?5>52+2），∴26>52+52+1+3>（52+2×5+1）+2=（5+1）2+2=62+2；接著再請(qǐng)學(xué)生嘗試證明27>72+2：27=2×26>2（62+2）=62+62+1+3>（62+2×6+1）+2=（6+1）2+2=72+2。

“一般的情況又會(huì)是怎樣呢？”

若2n>n2+2成立（n≥5），則2n+1=2×2n>2（n2+2）=（n2+n2+1）+3>（n2+2n+1）+2=（n+1）2+2。于是，我們是不是可以考慮這樣一個(gè)解決的方案：營(yíng)造一個(gè)“循環(huán)遞進(jìn)系統(tǒng)”，讓它自動(dòng)地、無(wú)限制地運(yùn)作起來(lái)，使得n=5→n=6→n=7→n=8→……，暢通無(wú)阻、永無(wú)止境地遞推下去。

在這個(gè)環(huán)節(jié)里，通過(guò)學(xué)生的自身體驗(yàn)和努力，數(shù)學(xué)歸納法的雛形活生生地展示了出來(lái)，這可是學(xué)生自己研究的成果。

【環(huán)節(jié)4】20世紀(jì)初，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（1858—1932）提出了自然數(shù)的五條公理，其中之一是這樣寫的：若一個(gè)由自然數(shù)組成的集合S包含1，又若當(dāng)S包含某一自然數(shù)K時(shí)，則K+1也在S中，那么S即全體自然數(shù)組成的集合。至此，便有了“數(shù)學(xué)歸納法”這一美稱，數(shù)學(xué)歸納法也就有了理論的保障。

這個(gè)環(huán)節(jié)中學(xué)生可以進(jìn)一步體會(huì)并理解數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和科學(xué)性。

以上四個(gè)環(huán)節(jié)生動(dòng)有趣地凸顯了數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，數(shù)學(xué)的思想方法和理性特征也得到了很好的揭示和傳授。

三、方法應(yīng)用

例1 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，求證這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d。（分析及證明略）

例2 求和S2=12+22+32+…+n2

在數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用舉例過(guò)程中，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)n=1是奠基，是萬(wàn)里長(zhǎng)征的第一步，不可缺少；n=k→n=k+1是一個(gè)循環(huán)遞進(jìn)系統(tǒng)，也是數(shù)學(xué)歸納法的核心。

思考題：平面內(nèi)n條直線最多可以有多少個(gè)交點(diǎn)？

四、教學(xué)反思

第一，搞科學(xué)研究需要觀察、分析、猜想，從點(diǎn)點(diǎn)滴滴中提取有用的信息，并加以歸納、檢驗(yàn)、論證，著名物理學(xué)家楊振寧先生把科學(xué)研究方法分解為這樣五個(gè)環(huán)節(jié)：信息——?dú)w納——猜想——論證——檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)的研究當(dāng)然也不例外，在數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程中就出現(xiàn)了許多歸納猜想的大師，如前面提到的公元前六世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯。這一段數(shù)學(xué)史實(shí)的介紹，可以讓學(xué)生了解“數(shù)學(xué)歸納法”這一重要的思想方法的悠久歷史和意義價(jià)值。課堂教學(xué)是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)。教師要努力營(yíng)造課堂的文化氛圍，積極提升數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的文化品位。

第二，數(shù)學(xué)不僅僅是一種工具，也是一種文化。因此，作為數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播者，教師不僅要教會(huì)學(xué)生解題，教會(huì)學(xué)生應(yīng)用，還需要古為今用、取精用弘，從中挖掘數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，提煉數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。學(xué)習(xí)一門學(xué)科，不知道它的歷史概況，不熟悉那一門學(xué)科的前輩以及他們的功績(jī)，那是不完善的。以史為鑒，這是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、活躍課堂氣氛、豐富教學(xué)內(nèi)容很好的素材。本節(jié)“數(shù)學(xué)歸納法”的起始課力求展示數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程和文化背景，將科學(xué)精神與人文精神的培養(yǎng)和諧地統(tǒng)一起來(lái)。

第三，作為文化的數(shù)學(xué)，其傳播和接受都需要一個(gè)積累沉淀的過(guò)程，不能急功近利，而要細(xì)細(xì)品嘗，讓學(xué)生充分體驗(yàn)。知識(shí)是不能現(xiàn)成地傳遞的，而要回到它的經(jīng)驗(yàn)狀態(tài)，通過(guò)學(xué)生的親身體驗(yàn)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。因此，本節(jié)課的教學(xué)力求成為學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)：其一，通過(guò)自身活動(dòng)所得到的知識(shí)與能力比起旁人硬塞給他的，理解要更透徹，掌握得更靈活，使用也更得心應(yīng)手，還可以保持較長(zhǎng)久的記憶；其二，發(fā)現(xiàn)是一種樂(lè)趣，因而通過(guò)“再創(chuàng)造”來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)，這就更能引起學(xué)生的興趣，學(xué)生的學(xué)習(xí)具有更大的內(nèi)驅(qū)力；其三，通過(guò)“再創(chuàng)造”方式可以進(jìn)一步促進(jìn)并加深人們“對(duì)數(shù)學(xué)教育是一種人類文化活動(dòng)”的認(rèn)識(shí)。學(xué)生不僅僅是通過(guò)語(yǔ)言，而且通過(guò)完整地感知現(xiàn)實(shí)來(lái)學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是一種新的活動(dòng)，教一個(gè)活動(dòng)的最好方法是演示，學(xué)一個(gè)活動(dòng)的最好方法當(dāng)然是去做。在這一研究活動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生處于創(chuàng)造意識(shí)積極向上的狀態(tài)，在參與中感受到發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣和需要，也正如朱熹所說(shuō)的：讀書無(wú)疑者，須教有疑；有疑者，卻要無(wú)疑，到這里方是長(zhǎng)進(jìn)。

（作者單位：江蘇省蘇州中學(xué)）