摘 要：數(shù)學(xué)與思維密不可分，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，如何培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，如何充分調(diào)動學(xué)生思維的積極性，如何發(fā)揮數(shù)學(xué)訓(xùn)練的思維優(yōu)勢，進(jìn)一步提高初中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生走出題海戰(zhàn)術(shù)和機(jī)械訓(xùn)練的怪圈，是現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最緊迫的問題。教師要在教學(xué)實(shí)踐中激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造、類比、邏輯、發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，重視學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：創(chuàng)造性；發(fā)散性；類比；聯(lián)想；變式

隨著數(shù)學(xué)課程改革的不斷推進(jìn)，其倡導(dǎo)的新觀念深刻地影響、引導(dǎo)著教師由重知識傳授向重學(xué)生思維能力培養(yǎng)轉(zhuǎn)變，由重教師“教”向重學(xué)生“學(xué)”轉(zhuǎn)變，由重結(jié)果向重過程轉(zhuǎn)變。學(xué)生的智力發(fā)展主要體現(xiàn)在思維能力的提高上，數(shù)學(xué)的抽象、直覺、想象等用以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力的優(yōu)勢，是其他學(xué)科不可以相比和替代的。因此，數(shù)學(xué)不僅要教會學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識，更重要的是通過數(shù)學(xué)知識的傳授培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，培養(yǎng)他們的思維能力。下面，筆者結(jié)合自身多年的畢業(yè)班數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约涸谶@方面的體會。

一、創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)創(chuàng)造思維

學(xué)習(xí)的最好動力，是對學(xué)習(xí)材料的興趣。教師精心創(chuàng)設(shè)的問題情境，有利于調(diào)動學(xué)生的積極性，使之主動參與到教學(xué)活動中。為此，教師要在學(xué)習(xí)內(nèi)容的趣味性、探究性、適應(yīng)性和開放性上下工夫，留給學(xué)生足夠的活動時(shí)間和思維空間，從而激發(fā)他們的創(chuàng)新意識和能力。思維通常是由問題的情境產(chǎn)生的，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，應(yīng)該積極創(chuàng)設(shè)問題情境，變傳授數(shù)學(xué)結(jié)論為知識發(fā)生發(fā)展的過程教學(xué)，使學(xué)生始終處于積極的思維之中。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要盡可能地引入一些直觀、形象、生動的材料創(chuàng)設(shè)情境，營造氛圍。

例1 在“一元一次方程與實(shí)際問題”中，我是這樣創(chuàng)設(shè)情境的：東莞市兩大購物中心天虹和海雅為迎接“五一”，都進(jìn)行促銷活動，其中天虹是全場物品打六折銷售，海雅百貨是實(shí)行買200送100的活動，請問在標(biāo)價(jià)一樣的情況下，到哪家購物更合算？（此例的情景有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲望）

例2 推導(dǎo)平方差公式，可以組織學(xué)生由“數(shù)”向“形”探索，在邊長為a的正方形中挖去一個(gè)邊長為b的小正方形（a>b）（如圖1），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖2），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以推出公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。

圖1 圖2

在教師要求記憶的情況下，有些學(xué)生建立以公式本身的圖式表象為內(nèi)容的條件反射：“（a+b）（a-b）”→“a2-b2”。而有些學(xué)生建立以聲音表象為內(nèi)容的條件反射：

“平方差公式”→“a加b乘以a減b等于a的平方減b的平方” 。最后進(jìn)行變式訓(xùn)練。例如：

（ a + b ） （ a - b ） = a2 - b2

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

（2x + y） （2x- y） = （2x）2-y2= 4x2-y2

由式子到式子的學(xué)習(xí)方式，割裂了數(shù)與式的關(guān)系。實(shí)際上，在初中數(shù)學(xué)里，式的本質(zhì)是數(shù)，它是為了表示數(shù)而引入字母后的產(chǎn)物。通過此方式學(xué)習(xí)的學(xué)生并沒有真正建構(gòu)起a和b的可變性觀念，大多數(shù)是由式子到式子，一見到超越變式訓(xùn)練范圍的問題就不知如何是好，尤其是間隔了一段時(shí)間之后，這種學(xué)習(xí)盡管對一些常規(guī)的技能性問題是有效，但仍然擺脫不了機(jī)械學(xué)習(xí)的影子，時(shí)間長了，知識多了，很容易與完全平方公式（a±b）2=（a2±2ab+b2）混淆不清。其實(shí)，創(chuàng)造性思維能力的重點(diǎn)不是就解題而解題，而是使學(xué)生在做數(shù)學(xué)題中理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的觀念，實(shí)現(xiàn)知識的延拓與創(chuàng)新。

由上述兩例可見，創(chuàng)設(shè)良好的問題情境是激發(fā)創(chuàng)造思維的有效方法。教師要善于把握學(xué)生的思維特點(diǎn)，在教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)或關(guān)鍵處設(shè)計(jì)問題，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生求知的欲望，啟動學(xué)生的思維，提高學(xué)生自主探究的能力。

二、合理類比，培養(yǎng)類比思維

類比是數(shù)學(xué)推理的常見手段，它的實(shí)質(zhì)是根據(jù)兩對象之間的相似，把信息從一個(gè)對象轉(zhuǎn)移到另外一個(gè)對象。類比不僅在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方面有著顯著作用，在解題教學(xué)、考查學(xué)生能力等方面也有顯著效果。一些數(shù)學(xué)問題的解決思路常常是相通的，類比思想可以教會學(xué)生舉一反三、由此及彼，靈活地應(yīng)用所學(xué)知識。

例3 在講二次函數(shù)的最大利潤問題時(shí)，我先講一元二次方程的利潤問題：某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；要想每周獲得6090元的利潤，該商品應(yīng)如何定價(jià)？

解：設(shè)商品定價(jià)為x元，則單件商品利潤為（x-40）元，銷售量為[300-10（x-60）]件，根據(jù)題意得：6090=（x-40）[300-10（x-60）]。

我接著問學(xué)生，如果把“要想每周獲得6090元的利潤”改成“要想每周獲得y元的利潤”，那又怎樣列式呢？采用類比思想，同學(xué)們非常容易得出：

y=（x-40）[300-10（x-60）。

我接著又問同學(xué)們，如果把“要想每周獲得6 090元的利潤，該商品應(yīng)如何定價(jià)？”改成“如何定價(jià)才能使利潤最大？”同學(xué)們自然而然想到只要把這個(gè)二次函數(shù)進(jìn)行配方就能解決這個(gè)問題。

例4 計(jì)算：■+■+……+■。

分析：原式的結(jié)構(gòu)很容易聯(lián)想到數(shù)值計(jì)算中類似 ■=■-■的“裂項(xiàng)相消法”，結(jié)構(gòu)上的這種相似性是解題思路的源泉所在。

解：原式=■+■+……+■，=■-■+ ■-■+……+■+■， =■-■，=■。

綜上兩例可見，運(yùn)用類比能拓寬學(xué)生的視野，啟發(fā)學(xué)生思維；運(yùn)用類比，多方縱橫聯(lián)想，能達(dá)到搭橋開路的作用；運(yùn)用類比，使學(xué)生憑借以往的經(jīng)驗(yàn)、知識技能和思想方法，對新舊知識進(jìn)行分析比較、探索、研究，能發(fā)現(xiàn)其共同特點(diǎn)。抓住知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，順理成章，使學(xué)生有“瓜熟蒂落，水到渠成”之感，又創(chuàng)設(shè)了情境，發(fā)人深思。此外，類比還可以使學(xué)生的思維得到有效開發(fā)，提高思維的靈活性，使各部分知識相互變通，起到觸類旁通的作用。

三、聯(lián)想遷移，培養(yǎng)邏輯思維

想象力比知識更重要，因?yàn)橹R是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進(jìn)步，并且是知識進(jìn)化的源泉。聯(lián)想是想象力的重要組成部分，培養(yǎng)聯(lián)想能力，是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)，也是培養(yǎng)非邏輯思維的關(guān)鍵所在。

例5 關(guān)于x的不等式|x-5|+|x-4|

本題的基本方法是討論去掉絕對值，得出|x-5|+|x-4|？叟1，因此得出a？叟1。如果聯(lián)想到絕對值的幾何意義，那么本題|x-5|+|x-4|就可以理解為“數(shù)軸上動點(diǎn)x到定點(diǎn)4和5的距離的和”，而此距離之和有最小值1。類似地，問題“|x-5|-|x-4|”又可以理解為“數(shù)軸上動點(diǎn)x到定點(diǎn)4，5的距離的差”。

舊知是思維的基礎(chǔ)，思維是通向新知的橋梁。由舊知進(jìn)行聯(lián)想和類比，也是尋求正確思維方向的有效途徑。聯(lián)想和類比，就是把兩種相近或相似的知識或問題進(jìn)行比較，找到彼此的聯(lián)系和區(qū)別，進(jìn)而探究出問題的正確答案。

四、變式延伸，培養(yǎng)發(fā)散思維

創(chuàng)造能力=知識量×發(fā)散思維能力。思維的發(fā)散性，表現(xiàn)在思維過程中不受一定模式的束縛，從問題個(gè)性中探求共性，多角度、多層次去猜想、延伸、開拓，是一種不定式的思維形式。變式延伸中的“一題多解”“一解多題”“一題多變”是訓(xùn)練發(fā)散思維的有效途徑。

通過對一道題進(jìn)行多方位、多層次、多角度的變式延伸，引導(dǎo)學(xué)生從一道習(xí)題抓住一類問題，從特殊問題抓一般問題，這樣不但能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，而且能取得舉一反三，達(dá)到訓(xùn)練思維能力的作用。所謂變式延伸就是通過將原題中的條件、結(jié)論、內(nèi)容、圖形等作適當(dāng)變換，解決一類問題的變化，逐步培養(yǎng)學(xué)生深入反思數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣，善于抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和規(guī)律，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

例6 求證：順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形。

變式1：順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)可以得到什么四邊形？并證明你的結(jié)論。

變式2：如圖3：四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，順次連結(jié)E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形。連結(jié)AC、BD，容易證明：中點(diǎn)四邊形EFGH一定是平行四邊形。如果改變原四邊形ABCD的形狀，那么中點(diǎn)四邊形的形狀也隨之改變，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足____時(shí)，四邊形EFGH為菱形；

當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足____時(shí)，四邊形EFGH為矩形；

當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足____時(shí)，四邊形EFGH為正方形。

本例題變式1的訓(xùn)練條件具有開放性，變式2的訓(xùn)練結(jié)論具有歸納性，使學(xué)生對中點(diǎn)四邊形的關(guān)系更清晰，思維訓(xùn)練更豐富，基本達(dá)到了熟練論證特殊四邊形。教師應(yīng)該讓學(xué)生充分認(rèn)識例題本身所蘊(yùn)涵的教育價(jià)值，學(xué)會怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，怎樣運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行思考、解題，如何表述自己的解題過程等。教師只有充分地利用好例題，充分挖掘發(fā)揮例題的潛能，才能達(dá)到優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，開闊學(xué)生的眼界，活躍學(xué)生的思維，提高學(xué)生解題能力的目的。

數(shù)學(xué)的魅力就在于“變”，有“變”才有“活”，適當(dāng)?shù)淖兪窖由?，可以給學(xué)生提供一座橋，讓學(xué)生在已知的水平和未知的水平之間自然過渡。這里的最近發(fā)展區(qū)要把握得好，“變式”就能避免讓學(xué)生反復(fù)地練習(xí)同一題型，避免學(xué)生在低水平層次之間反復(fù)的重復(fù)，從而使學(xué)生的思維能力得到更寬、更廣、更深的培養(yǎng)。

綜上所述，對一道數(shù)學(xué)題或聯(lián)想，或類比、或推廣，可以得到一系列新的題目，甚至得到更一般的結(jié)論。同時(shí)，積極開展多種變式題的求解，哪怕是不能解決，也有助于學(xué)生應(yīng)變能力的養(yǎng)成，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的形成，增強(qiáng)學(xué)生面對新問題的自主探究能力。學(xué)生通過較少的練習(xí)能獲得較大的收獲，不僅可以減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，切實(shí)提高教學(xué)質(zhì)量的目的，還可通過題目的拓寬，加深變化，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，使學(xué)生在探索命題演變的過程中極大豐富他們的發(fā)散性思維。

五、滲透數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)思維的綜合能力

從目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀來看，可能受到應(yīng)試教育的影響，課堂教學(xué)更多地以“問題教學(xué)”為主導(dǎo)，上課講題目，課后做題目，考試考題目。特別是畢業(yè)班的教學(xué)，即使上課講題目時(shí)，也是只講解題步驟，不分析思維過程。對學(xué)生的要求偏重于知識結(jié)果、解題技能的掌握，而很多數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)卻遭到忽視。又由于數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識更抽象、更概括，具有隱蔽性，所以學(xué)生較難以從教材中直接獲取，這大大制約了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的有效發(fā)展。因此，教師應(yīng)轉(zhuǎn)變觀念，對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)予以高度重視，通過認(rèn)真鉆研教材，挖掘出蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識之中的數(shù)學(xué)思想方法，在教學(xué)中隨機(jī)應(yīng)變，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)適宜環(huán)境，讓他們在課堂教學(xué)的潛移默化中領(lǐng)會和掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高自身的數(shù)學(xué)思維能力。

在數(shù)學(xué)教學(xué)體系中，習(xí)題千變?nèi)f化，要真正鞏固和深化課改成果，使在題海里疲于奔命的學(xué)生真正解脫出來，只有在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，才能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的思想方法包括函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等，還有很多基本的數(shù)學(xué)方法如定義法、配方法、換元法、待定系數(shù)法、反證法等。學(xué)生掌握了這些基本數(shù)學(xué)思想方法，能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶。因此，教師只有將這些思想和方法滲透給學(xué)生，才能提高學(xué)生的綜合能力。訓(xùn)練的具體方法可以結(jié)合數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，針對數(shù)學(xué)思維活動過程中展示出來的數(shù)學(xué)思想方法不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行提問與討論，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟出思想方法和進(jìn)行總結(jié)提煉，也可以有意識地組織學(xué)生進(jìn)行必要的解題訓(xùn)練，結(jié)合分析、解決問題的思維過程提煉出數(shù)學(xué)思想方法等。

總之，數(shù)學(xué)是一種文化，它既是諸多門學(xué)科的基礎(chǔ)與工具，又是一種思想方法。數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。教師唯有讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時(shí)掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法，才能為他們的自主學(xué)習(xí)和主動探究創(chuàng)造有利的條件。在教學(xué)過程中，學(xué)生是主體，教師要有意識地在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，以引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會基本的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生一旦掌握了基本的數(shù)學(xué)思想方法，則可在較高層次上主動探求新知，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力才能得到穩(wěn)步提高，才能為他們的可持續(xù)發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，從而成為社會有用的人才。

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