李魁彬，王安穩(wěn)，施連會(huì)，鄧 磊

（海軍工程大學(xué) 理學(xué)院，武漢430033）

國(guó)內(nèi)外針對(duì)射彈超空泡形態(tài)已有許多研究，其計(jì)算主要通過(guò)由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的經(jīng)驗(yàn)公式[1－3]、CFD軟件仿真[4]和基于Logvinovich原理的數(shù)值計(jì)算[5－7]3 種 途 徑。 本 文 基 于 Logvinovich 原 理、Riabouchinsky[8]空泡閉合模型和射彈動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)適當(dāng)簡(jiǎn)化，推導(dǎo)出射彈運(yùn)動(dòng)過(guò)程中空泡形態(tài)解析解和空泡參數(shù)的計(jì)算公式。計(jì)算結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)公式吻合良好，說(shuō)明本文推導(dǎo)的正確性。

1 方程的建立

1.1 參考坐標(biāo)系

超空泡射彈高速運(yùn)動(dòng)，重力的作用可以忽略，其運(yùn)動(dòng)軌跡近似為直線[9]。本文主要研究水平直航的射彈?？臻g上，以射彈初始點(diǎn)為原點(diǎn)O，以射彈空化器為原點(diǎn)o，X、x軸正方向均為運(yùn)動(dòng)方向，分別建立如圖1所示的慣性坐標(biāo)系OXY和彈體坐標(biāo)系oxy。時(shí)間上，以初始時(shí)刻為零點(diǎn)，建立絕對(duì)時(shí)間軸t；以射彈空化器運(yùn)動(dòng)處的時(shí)刻為零點(diǎn)，建立與絕對(duì)時(shí)間軸方向相反的相對(duì)時(shí)間軸tx。

圖1 坐標(biāo)系和空泡擴(kuò)展示意圖

1.2 Logvinovich獨(dú)立擴(kuò)展方程

Logvinovich基于勢(shì)流理論提出了空泡截面獨(dú)立膨脹原理[2，10]，其在絕對(duì)坐標(biāo)系下數(shù)學(xué)方程為

式中：ξ＝X（t2），S（ξ，t）為ξ處t時(shí)的空泡面積；k1＝4π/A2，A為微弱依賴(lài)于空泡數(shù)σ的系數(shù)，通常取經(jīng)驗(yàn)常數(shù)2；p∞（ξ）為與ξ處于相同水平面無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)；pc（t）為空泡內(nèi)壓強(qiáng)，在自然超空泡中，pc（t）為飽和蒸汽壓pc；p1（t）為外部瞬時(shí)擾動(dòng)壓強(qiáng)；X（t1），X（t）分別為射彈首端運(yùn)行到空泡閉合處的時(shí)間t1、到達(dá)空泡開(kāi)始處的時(shí)間t時(shí)在X軸上的坐標(biāo)。

空泡擴(kuò)展的初始條件為

式中：Rn為射彈空化器半徑；v（t2）為空化器通過(guò)截面ξ時(shí)的速度；Cx＝Cx0（1＋σ），為阻力系數(shù)，Cx0為σ＝0時(shí)的阻力系數(shù)，對(duì)于圓盤(pán)空化器，Cx0＝0.827。

1.3 超空泡航行體動(dòng)力學(xué)方程

水平直航超空泡射彈的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：m為射彈質(zhì)量，patm為大氣壓，H為射彈在水中的深度，v為射彈速度。

1.4 空泡閉合模型

空泡尾部閉合采用Riabouchinsky模型，當(dāng)空泡截面積等于空化器面積時(shí)空泡閉合。

2 公式簡(jiǎn)化及推導(dǎo)

不考慮外部瞬時(shí)擾動(dòng)壓強(qiáng)p1（t），根據(jù)坐標(biāo)系之間的關(guān)系，對(duì)于射彈，將式（2）代入，式（1）在彈體坐標(biāo)系下可化為

式中：Δp＝p（ξ）－pc，p（ξ）＝patm＋ρgH，tx為相對(duì)時(shí)間軸下的時(shí)間。

結(jié)合空泡閉合模型得：不考慮瞬時(shí)擾動(dòng)壓強(qiáng)，完整自然超空泡的擴(kuò)展時(shí)間等于空泡閉合處空泡截面從空泡產(chǎn)生到空泡閉合的擴(kuò)展時(shí)間，僅依賴(lài)于航行體經(jīng)過(guò)空泡閉合處時(shí)的參數(shù)；空泡最大長(zhǎng)度由擴(kuò)展時(shí)間和航行體在這段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)決定。完整空泡擴(kuò)展時(shí)間公式為

求解方程（3）得射彈的位移和速度的解析解：

式中：α＝－ρSnCx0/（2m），β＝2Δp/ρ，v0為射彈初始速度，Sn為空化器面積。

考慮完整空泡擴(kuò)展時(shí)間非常短，高速下壓差影響較小，可忽略?？张輸U(kuò)展過(guò)程中射彈位移和速度的解析解為

通過(guò)坐標(biāo)變換，得到相對(duì)時(shí)間軸下射彈的速度和彈體坐標(biāo)系下的橫坐標(biāo)：

式中：v（t）為t時(shí)空化器的速度，v（tx）為t2時(shí)空化器速度，t2對(duì)應(yīng)于相對(duì)時(shí)間軸的tx。

聯(lián)立式（4）和式（8）得射彈速度v（t）時(shí)彈體坐標(biāo)系下空泡形態(tài)橫、縱坐標(biāo)公式：

式（6）、式（9）和式（10）組成了射彈運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任意時(shí)刻超空泡形態(tài)計(jì)算公式。

考慮完整空泡擴(kuò)展過(guò)程中Cx變化很小，Cx≈Cx｜t＝0，可得空泡的參數(shù)公式。

考慮空泡在射彈尾部閉合，從超空泡變?yōu)榫植靠张輹r(shí) 的 空 泡 數(shù)：σ＝γ/（4e2αl－4eαl），其 中，γ，l為射彈長(zhǎng)度。

空化器周?chē)琫αx－1≈αx，空泡數(shù)對(duì)空泡半徑影響很小，可以忽略，式（10）可化為近似“1/3法則”的公式：

3 算例和分析

取參數(shù)Rn＝0.001 m，m＝0.15kg，l＝0.06 m，v0＝1 000m/s，patm＝0.101MPa，pc＝2 350Pa，H＝1m。

分析射彈首尾壓差對(duì)速度的影響，如圖2所示。射彈速度越大，深度越小，首尾壓差對(duì)速度影響越??；當(dāng)v≥100 m/s，H≤100 m 時(shí)，其影響可以忽略；當(dāng)射彈速度較小、深度較大時(shí)，計(jì)算需要考慮壓差的影響。

圖2 射彈速度隨時(shí)間的變化

Savchenko[1]根據(jù)試驗(yàn)提出適用于空泡數(shù)0.012～0.057的空泡無(wú)量綱半徑公式：＝3.659＋0.847－2.0）－0.236σ－2.0）2≥2.0?？栈髦?chē)张莶捎谩?/3法則”經(jīng)驗(yàn)公式：

Logvinovich[2]認(rèn)為，在小空泡數(shù)下超空泡無(wú)量綱直徑和長(zhǎng)度滿足如下經(jīng)驗(yàn)公式：

式中：κ＝0.9～1，空泡數(shù)適用范圍為0～0.25。

利用所推導(dǎo)的公式，計(jì)算了σ＝0.02，v＝102.7m/s時(shí)的空泡形態(tài)，分析了空泡無(wú)量綱長(zhǎng)度lc/Rn與空泡數(shù)的關(guān)系，如圖3、圖4所示，結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)公式吻合良好。

圖3 σ＝0.02時(shí)的空泡形態(tài)

圖4 空泡無(wú)量綱長(zhǎng)度隨空泡數(shù)的變化關(guān)系

圖5反映了絕對(duì)時(shí)刻空泡在慣性坐標(biāo)系中的形態(tài)，便于實(shí)時(shí)觀察空泡隨射彈運(yùn)動(dòng)的變化。

圖5 不同時(shí)刻空泡在慣性坐標(biāo)系下的形態(tài)

如圖6所示，射彈運(yùn)動(dòng)過(guò)程中完整空泡擴(kuò)展時(shí)間tc非常短，約10－3～10－2s；隨著射彈運(yùn)動(dòng)時(shí)間的增加，擴(kuò)展時(shí)間是減小的，且逐漸趨于平緩。

圖6 完整空泡擴(kuò)展時(shí)間與射彈運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系

結(jié)合算例計(jì)算可得，超空泡轉(zhuǎn)變?yōu)榫植靠张輹r(shí)σ≈0.06，射彈速度v≈60m/s。

將式（11）與“1/3”法則進(jìn)行比較，如圖7所示，本文公式與經(jīng)驗(yàn)公式相比計(jì)算結(jié)果略小，這可能是由阻力系數(shù)的選取和微小量的忽略引起的。

圖7 式（11）與“1/3”法則比較

4 結(jié)論

本文根據(jù)Logvinovich空泡截面獨(dú)立膨脹原理、Riabouchinsky空泡閉合模型和射彈動(dòng)力學(xué)方程，利用坐標(biāo)變換，推導(dǎo)了射彈運(yùn)動(dòng)過(guò)程中空泡形態(tài)解析解，得到了空泡參數(shù)的計(jì)算公式，便于實(shí)時(shí)描畫(huà)射彈超空泡特征；并且利用算例進(jìn)行了計(jì)算分析。結(jié)論如下：

①推導(dǎo)公式計(jì)算結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)公式吻合良好，空化器周?chē)目张莩叽绾?jiǎn)化計(jì)算公式所得結(jié)果比經(jīng)驗(yàn)公式略小。

②不考慮擾動(dòng)壓強(qiáng)，自然條件下完整空泡的擴(kuò)展時(shí)間僅依賴(lài)于航行體經(jīng)過(guò)空泡閉合處時(shí)的參數(shù)；超空泡的最大長(zhǎng)度取決于完整空泡擴(kuò)展時(shí)間和物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

③射彈速度越大，深度越小，首尾壓差對(duì)速度影響越??；當(dāng)v≥100m/s，H≤100m時(shí)，影響可以忽略；當(dāng)射彈速度較小，深度較大時(shí)，需要考慮前后壓差的影響。

④完整空泡擴(kuò)展時(shí)間非常短，且隨著射彈運(yùn)動(dòng)時(shí)間增大而減小，逐漸趨于平緩。

⑤空泡數(shù)為0.06，射彈速度為60m/s左右時(shí)，超空泡開(kāi)始蛻化為局部空泡。

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