王 艷

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

數(shù)值分析，又稱為數(shù)值計(jì)算方法，是一門介紹科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)理論和數(shù)值方法的課程，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)類專業(yè)以及大多數(shù)工科類專業(yè)的一門必修課。該課程不像純數(shù)學(xué)那樣只研究數(shù)學(xué)本身的理論，而著重研究求解的數(shù)值計(jì)算方法及與此有關(guān)的理論。因此，它是一門應(yīng)用性很廣很強(qiáng)的學(xué)科，無論是在科研還是在工程處理中都會(huì)涉及到，所以大學(xué)教育中數(shù)值分析課程的傳授方式非常重要，要求學(xué)生不僅掌握相關(guān)的理論知識(shí)還要會(huì)使用這些知識(shí)［1］。

然而在實(shí)際教學(xué)中，該課程的實(shí)際教學(xué)效果并不理想，許多學(xué)生對(duì)該課程的學(xué)習(xí)感到困難。所以，為數(shù)值分析課程尋找科學(xué)有效的教學(xué)方法仍是值得探討的一個(gè)課題，很多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了探究［2－4］。本文針對(duì)當(dāng)前數(shù)值分析課程在數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)中存在的一些問題和教學(xué)方法、教學(xué)模式等方面進(jìn)行探討，目的在于改進(jìn)教學(xué)方法和手段，激發(fā)學(xué)生興趣，提高教學(xué)效果。

一、數(shù)值分析課程的特點(diǎn)及教學(xué)中存在的問題

數(shù)值分析是一門與計(jì)算機(jī)應(yīng)用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程，它不僅具有數(shù)學(xué)的高度抽象性與嚴(yán)密的科學(xué)性的特點(diǎn)，而且具有應(yīng)用的廣泛性與數(shù)值試驗(yàn)的高度技術(shù)性的特點(diǎn)［5］。教學(xué)中，這門課程存在以下幾方面的問題。

(一)知識(shí)面廣，理論性強(qiáng)，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高

數(shù)值分析是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的必修課程，它內(nèi)容豐富，包括解線性方程組的直接法和迭代法、非線性方程(組)的數(shù)值解法、矩陣特征值與特征向量的計(jì)算、數(shù)值逼近、數(shù)值積分、常微分方程數(shù)值計(jì)算等，涉及數(shù)學(xué)分析、代數(shù)學(xué)、微分方程和泛函分析等諸多學(xué)科。另外，作為一門數(shù)學(xué)類課程，它又不可避免地會(huì)涉及到一些抽象的理論，如誤差分析、算法的收斂性、穩(wěn)定性分析等。學(xué)生拿到課本時(shí)，往往感覺這門課程太難，就沒有興趣，而一旦在課堂上遇到困難時(shí)，甚至?xí)x擇放棄學(xué)習(xí)。

(二)算法推導(dǎo)多，公式冗長，學(xué)生記憶起來困難

綜觀教科書，不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)值分析大部分內(nèi)容都是在講算法，課堂上大部分時(shí)間花費(fèi)在算法的公式推導(dǎo)和理論驗(yàn)證上。這門課程的公式比其他數(shù)學(xué)課程的公式更加繁多，更加冗長。學(xué)生往往課堂上“聽懂了”，“記住了”，但后面上課用到時(shí)發(fā)現(xiàn)以前學(xué)的公式又全忘了，不得不回過頭去翻課本。比如三次樣條插值，三彎矩方法最終推導(dǎo)出一個(gè)關(guān)于彎矩的線性方程組，要想求得最終的插值函數(shù)就需要準(zhǔn)確求解這個(gè)線性方程組，這時(shí)候我們通常用前面所學(xué)的追趕法來做，然而很多學(xué)生對(duì)追趕法特別是系數(shù)矩陣三角分解的計(jì)算公式早就忘記了。

(三)理論為主，實(shí)驗(yàn)為輔，學(xué)生應(yīng)用能力不強(qiáng)

數(shù)值分析是一門與計(jì)算機(jī)應(yīng)用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程，但在當(dāng)前教學(xué)中，仍然存在理論與實(shí)踐脫離的現(xiàn)象。雖然這門課程都安排有實(shí)驗(yàn)課，但課時(shí)往往比較少，僅夠?qū)W生驗(yàn)證課本涉及到的相關(guān)算法，無法滿足學(xué)生從實(shí)際應(yīng)用的角度展開實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)和運(yùn)行。而且，目前的實(shí)驗(yàn)教學(xué)，無論是內(nèi)容上還是形式上都附屬于理論教學(xué)，先講理論，然后讓學(xué)生編程驗(yàn)證。此外，由于上機(jī)考試難以制定科學(xué)合理的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，教師只能根據(jù)學(xué)生平時(shí)實(shí)驗(yàn)課上的表現(xiàn)、報(bào)告手冊(cè)的完成情況，以及最終的上機(jī)考試題目運(yùn)行情況給出一個(gè)大致的評(píng)定等級(jí)，很難準(zhǔn)確給出具體的分?jǐn)?shù)。因此，這門課程的最終考核成績基本上由理論筆試部分決定。這種教學(xué)形式和考核方式容易使得學(xué)生在思想上重視理論，輕視實(shí)踐，上機(jī)時(shí)就把課本附帶的源程序照抄上去草草了事，實(shí)驗(yàn)課的效果大打折扣。

二、數(shù)值分析課程教學(xué)改革探索

(一)因“才”施教，合理取舍教學(xué)內(nèi)容

“才”指的是數(shù)值分析課程傳授的對(duì)象，這里主要是指數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的本科生。這三個(gè)專業(yè)的學(xué)生雖然都屬數(shù)學(xué)類專業(yè)，但基礎(chǔ)知識(shí)和實(shí)踐技能卻不盡相同，因此在傳授時(shí)不能搞一刀切，要根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，更新教案，尋找一種喜樂見聞的教學(xué)形式。比如，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)較好，但編程能力往往不強(qiáng)，教學(xué)中要注重計(jì)算方法的構(gòu)造原理及其穩(wěn)定性、收斂性和誤差分析等理論的證明［4］。同時(shí)，加強(qiáng)實(shí)踐指導(dǎo)，實(shí)驗(yàn)題目的設(shè)計(jì)要由簡到易，循序漸進(jìn)。而信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)生往往具有較強(qiáng)的編程能力，但數(shù)學(xué)基礎(chǔ)欠佳。教學(xué)中，應(yīng)淡化數(shù)學(xué)理論的證明，側(cè)重方法講解和算法設(shè)計(jì)，強(qiáng)化計(jì)算方法在計(jì)算機(jī)上的應(yīng)用［7－8］。

數(shù)值分析課程所涉及的內(nèi)容非常豐富，要讓學(xué)生在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)掌握所有的內(nèi)容是不現(xiàn)實(shí)的，因此必須合理取舍教學(xué)內(nèi)容，突出重點(diǎn)，不可泛泛而講。比如根據(jù)學(xué)生專業(yè)的特點(diǎn)，可以將主要的教學(xué)時(shí)間安排在講解誤差分析、插值、數(shù)值積分、方程和方程組的解法上面［9］。在矩陣特征值計(jì)算方面，有時(shí)間的條件下可以簡單介紹思想方法，而對(duì)于常微分方程初邊值問題的數(shù)值解可以舍去，因?yàn)橛行I(yè)的學(xué)生沒有學(xué)常微分方程，所以這部分知識(shí)理解起來比較困難。

(二)更新教學(xué)模式，習(xí)題訓(xùn)練和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合

數(shù)學(xué)課程的傳統(tǒng)教學(xué)大都采用黑板板書形式，這種教學(xué)模式并不完全適用于數(shù)值分析課程。這是因?yàn)閿?shù)值分析課程中含有大量的矩陣和冗長的公式，如果單純使用黑板板書，一方面費(fèi)時(shí)費(fèi)力，另一方面有限的黑板很難完整地顯示整個(gè)推導(dǎo)過程，教師無法把前后聯(lián)系起來講解。因此，可以將板書和多媒體結(jié)合起來進(jìn)行教學(xué)，充分利用兩種教學(xué)模式的優(yōu)點(diǎn)，取長補(bǔ)短。對(duì)基本概念、方法、計(jì)算技巧和理論證明等的講授可按傳統(tǒng)的教學(xué)方式為主，而將公式應(yīng)用、復(fù)雜計(jì)算、計(jì)算框圖、程序設(shè)計(jì)和圖形動(dòng)畫等利用多媒體課件進(jìn)行演示，這樣不僅能提高教學(xué)效率和教學(xué)效果，而且能使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)更加容易理解和掌握［2］。另外，實(shí)驗(yàn)課最好使用有投影的機(jī)房，這樣教師在演示算法的時(shí)候?qū)W生可以有更直觀的感受。實(shí)驗(yàn)教學(xué)如果能夠配合使用凌波多媒體教學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行，效果會(huì)更好。凌波教學(xué)系統(tǒng)在教學(xué)上發(fā)揮的作用相當(dāng)好，它能夠?qū)崟r(shí)地把班級(jí)全部學(xué)生端電腦屏幕畫面同時(shí)顯示在教師端。這在方便教師管理教學(xué)秩序的同時(shí)，也有利于教師了解學(xué)生實(shí)驗(yàn)運(yùn)行情況，有針對(duì)性地及時(shí)作出反饋和指導(dǎo)。該系統(tǒng)提供的收發(fā)文件的功能使得收發(fā)實(shí)驗(yàn)作業(yè)很方便，教師就可以將學(xué)生上課要用到的素材發(fā)布到指定的學(xué)生機(jī)地址，學(xué)生也可以把要上傳的資料發(fā)送到教師端，而且作業(yè)上傳到的是教師端指定的文件夾中，能夠有效地避免學(xué)生之間拷貝資料的現(xiàn)象。

為了加深學(xué)生對(duì)課堂講授的知識(shí)，特別是定理、公式的理解和記憶，我們大都會(huì)通過例題來演示算法過程，然后布置類似的作業(yè)題讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)。但由于數(shù)值分析的題目往往涉及到復(fù)雜的數(shù)字運(yùn)算，手算起來要花費(fèi)很多時(shí)間，而且前一步算錯(cuò)，后一步就難以進(jìn)行下去。例如，在用冪法求矩陣的主特征值和主特征向量的例5－1中［10］，對(duì)于給定的三階矩陣，為了最終得到盡可能準(zhǔn)確的結(jié)果，每一次迭代都保留小數(shù)點(diǎn)后面8位有效數(shù)字，這樣的計(jì)算僅僅借助手工是非常困難的，而將習(xí)題訓(xùn)練和實(shí)驗(yàn)編程結(jié)合起來運(yùn)作就可以解決這一問題。手工寫作有利于理清題目的解題思路和計(jì)算步驟，實(shí)驗(yàn)編程可以快捷準(zhǔn)確地給出計(jì)算結(jié)果，兩者結(jié)合不僅可以快速解題，提高學(xué)生的編程能力，而且這種同一算法雙重訓(xùn)練有助于學(xué)生加強(qiáng)對(duì)算法和公式的記憶。

(三)理論和實(shí)踐有機(jī)結(jié)合，培養(yǎng)應(yīng)用能力

數(shù)值分析這門課程在強(qiáng)調(diào)基本概念和理論的基礎(chǔ)上非常重視實(shí)際應(yīng)用，特別是數(shù)值方法在計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)［10］。算法講授之后，學(xué)生如果沒有動(dòng)手在計(jì)算機(jī)上實(shí)踐，算法步驟和公式靠死記硬背，這種學(xué)習(xí)方式無法達(dá)到這門課程的培養(yǎng)目標(biāo)。教學(xué)中，要強(qiáng)調(diào)實(shí)踐的重要性，適當(dāng)增加實(shí)踐環(huán)節(jié)的課時(shí)，同時(shí)加強(qiáng)實(shí)踐教學(xué)的力度。實(shí)踐環(huán)節(jié)可以分為兩個(gè)基本內(nèi)容，第一個(gè)內(nèi)容是教材上經(jīng)典算法的編程驗(yàn)證。對(duì)于每一個(gè)算法，首先幫助學(xué)生理清算法的結(jié)構(gòu)和層次，引導(dǎo)學(xué)生畫出程序流程圖，然后讓學(xué)生根據(jù)流程圖編制出程序，并上機(jī)調(diào)試運(yùn)行。第二個(gè)內(nèi)容是基本算法應(yīng)用于解決實(shí)際問題。設(shè)計(jì)與課程中的主要算法有關(guān)的實(shí)際案例，鼓勵(lì)學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)而編程解決實(shí)際問題，這不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，而且可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析的興趣和熱情，使這門課程不再是空洞的理論累積課。

在課程考核上，設(shè)置科學(xué)合理的實(shí)驗(yàn)考核內(nèi)容和方式可以引起學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)足夠的重視，有助于確保實(shí)驗(yàn)教學(xué)的質(zhì)量和課程教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)?？荚囶}目除了涉及到重要原理和基本算法的考查外，還應(yīng)該適當(dāng)?shù)卦黾右恍┚C合性的可以讓學(xué)生自由發(fā)揮的題目，以便考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用能力?？己朔绞娇梢圆捎们捌趯?shí)驗(yàn)準(zhǔn)備(如編寫流程圖)、課堂基本操作、算法運(yùn)行實(shí)現(xiàn)，以及綜合設(shè)計(jì)型實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的多環(huán)節(jié)考核形式，每個(gè)環(huán)節(jié)給出一個(gè)評(píng)定等級(jí)，最終成績由這幾部分按照一定的比重計(jì)算得出。這樣做出的考核結(jié)果客觀公正，能較為全面地反映學(xué)生的具體實(shí)踐情況和實(shí)際操作能力，而且方便學(xué)生查找自身不足，從而有針對(duì)性地訓(xùn)練。

三、結(jié)束語

經(jīng)過近幾年數(shù)值分析課程教學(xué)改革和實(shí)踐，本課程的教學(xué)效果呈現(xiàn)出越來越好的勢態(tài)。然而，隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展和高等教育的不斷改革，數(shù)值分析課程的教學(xué)改革仍有很長的路需要走。本文結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)數(shù)值分析課程的教學(xué)提出了一些建議，但是，教學(xué)改革是一個(gè)不斷的實(shí)踐過程，需要任課教師共同努力，在教學(xué)中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，更新教學(xué)內(nèi)容和手段，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的能力，真正達(dá)到數(shù)值分析課程對(duì)高校學(xué)生培養(yǎng)目標(biāo)的要求。

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