丁 虹

（合肥師范學院 數(shù)學系，安徽 合肥230061）

1 引言

易腐品是指在存儲過程中容易發(fā)生腐爛、性能衰退和分解的變質(zhì)類物品，如水果、海鮮、蔬菜、化學藥品等。在現(xiàn)實生活中，廣告宣傳是銷售易腐商品時所采用的重要營銷手段之一，銷售商可通過廣告宣傳讓顧客充分了解銷售商品的品質(zhì)、價格、折扣等一系列信息，從而激發(fā)潛在客戶購買其銷售商品的欲望，進而達到提高商品銷售量的目的。但也并非投入廣告的強度越大越好，一方面廣告投入費用多了，增加的利潤不一定能補償廣告投入的費用，另一方面，由于潛在客戶畢竟是有限的，當廣告投入到一定程度之后，再投入廣告，需求也不會有明顯的增加了；在考慮廣告投入強度問題的同時，銷售商還將面臨著進貨策略問題，若進貨少了，會造成廣告宣傳帶來的顧客的流失；而進貨多了，將導(dǎo)致資金積壓以及庫存費用的增大。因此，開展易腐商品廣告費用與訂貨策略的聯(lián)合確定，對銷售商的經(jīng)營決策具有重要的實際價值。

近些年來，相關(guān)的研究文獻也不斷涌現(xiàn)。文獻［1］考慮了廣告對需求的影響，并確定了最優(yōu)廣告投入和訂貨策略。之后文獻［2］發(fā)展了文獻［1］的研究，考慮了品牌廣告與地方廣告聯(lián)合作用下的庫存模型。文獻［3］研究了廣告費用與數(shù)量折扣聯(lián)合考慮下的供應(yīng)鏈問題，在以上這些文獻中，都只考慮到廣告費用對于需求的影響，而在現(xiàn)實生活中，正如文獻［4］和文獻［5］的討論，需求量與庫存水平也是相關(guān)的。文獻［6］研究了需求既依賴于廣告投入費用又依賴于庫存水平時，變質(zhì)率為常數(shù)的易腐品在固定訂貨周期下不允許缺貨條件下的庫存模型。而在以往的研究文獻［4，5，7，8，9］中研究了缺貨情況下全部延期和部分延期交貨的情況，均發(fā)現(xiàn)允許缺貨情況下銷售商獲取了更多的利潤?？紤]到這個問題，本文在文獻［6］的基礎(chǔ)上，研究了允許缺貨條件下易腐商品廣告費用與訂貨策略的聯(lián)合確定問題。

2 問題的提出

假定1：零售商所面臨的單位時間需求量由三方面所決定，第一方面是固定的需求率D0，第二方面是廣告所引起的需求率D1（t），第三方面是由庫存所引起的需求量D2（t）。即：

假定2：零售商在單位時間內(nèi)投入廣告費用相同，且設(shè)為u（決策變量）。利用文獻［6］中的假設(shè)，單位時間投入廣告費用u時，任意時刻廣告所引發(fā)的需求率為

假定3：利用文獻［4］中的假設(shè)，單位時刻庫存水平所引起的需求量D2（t）＝θI（t）（0≤θ≤1）。

假定5：零售商的訂貨周期為內(nèi)生變量，設(shè)為T。

3 模型1

這個模型討論允許缺貨情況下全部延期交貨的情況，這里我們假定單位時間單位物品的缺貨成本為c2。當庫存量為正的時候，需求量與廣告投入費用、庫存水平有關(guān)，當庫存量為負的時候，需求量只與廣告投入費用有關(guān)。

因此，我們可以得到庫存模型：

解微分方程得：

則得到零售商每次訂貨的訂貨量：

同時，可以得知一個周期內(nèi)總銷售量：

以及一個周期內(nèi)總庫存費用為

其中：c1為單位時間單位商品的庫存費用；

一個周期內(nèi)總的缺貨成本：

其中c2為單位時間單位商品的缺貨費用；

此時，可以得到一個周期內(nèi)零售商的利潤函數(shù)為：

其中：c為單位商品的進價，p為單位商品的零售價格，A為訂購費；

一個周期內(nèi)利潤達到最大的必要條件為

算例分析

為了方便后期算例的比較，我們與文獻［6］中的算例的參數(shù)賦值保持一致，分別為c＝20元／單位，p＝50元／單位，D0＝15單位／單位每小時，α＝0.2，β＝1.5，A＝300元／次k＝0.5，λ＝0.01，θ＝0.01，c1＝1元／單位時間單位物品，并設(shè)c2＝5元／單位物品單位時間，可得最優(yōu)廣告投入費用u＝13.5424元，最優(yōu)訂貨量Q＝299.5223單位物品，庫存為零的時刻t1＝12.4543，一個周期的最優(yōu)利潤π＝5879.90元。

通過表1，我們可以分析參數(shù)λ和θ對廣告投入費用、訂貨量、庫存為零時刻與最優(yōu)利潤的影響。在計算的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，當庫存引起需求因子θ過大時，達到最優(yōu)利潤時是不允許缺貨的情況（這與實際情況相符），所以在這里我們只需分析θ較小的情況。隨著變質(zhì)率λ的逐漸增加，最優(yōu)廣告投入費用、訂貨量、庫存為零的時刻及一個周期零售商的利潤隨之減少；隨著庫存引發(fā)需求系數(shù)θ的逐漸增加，最優(yōu)廣告投入費用、訂貨量、庫存為零的時刻以及一個周期零售商的利潤隨之增加。

研究表1，在變質(zhì)率λ較小的情況下，庫存引起需求因子θ對最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤的影響較大，因為在λ＝0.01，θ＝0.04時最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤分別是λ＝0.01，θ＝0.01時的1.379倍和1.288倍，而在λ＝0.04，θ＝0.04時最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤分別是λ＝0.04，θ＝0.01時的1.329倍和1.250倍。而在庫存引起需求因子θ較小的情況下，變質(zhì)率λ對最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤的影響較小，因為θ＝0.01，λ＝0.04時最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤分別是θ＝0.01，λ＝0.01時的0.779倍和0.8227倍，而在θ＝0.04，λ＝0.04時最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤分別是θ＝0.04，λ＝0.01時的0.750倍和0.799倍。

表1 參數(shù)λ和θ對廣告投入費用、訂貨量、庫存為零時刻與最優(yōu)利潤的影響

4 模型2

這個模型討論允許缺貨，但部分延期交貨的情況，這里我們假定單位物品的機會損失成本為c3。在一定條件下，需求等待的數(shù)量是依賴于已經(jīng)等待的數(shù)量，也就是說如果太多顧客都在等待，他也許就不會等待。

考慮這種情況，利用文獻［8］的假設(shè)，我們可以得到庫存模型：

解微分方程得：

則得到零售商每次訂貨的訂貨量：

同時，可以得知一個周期內(nèi)總銷售量：

以及一個周期內(nèi)總庫存費用為

一個周期內(nèi)總的缺貨成本：

以及一個周期內(nèi)總的機會損失成本：

此時，可以得到一個周期內(nèi)零售商的利潤函數(shù)為：

一個周期內(nèi)利潤達到最大的必要條件為

算例分析

為了研究延期交貨參數(shù)δ對最優(yōu)廣告投入、訂貨量、庫存為零時刻以及最優(yōu)利潤的影響，我們考慮了δ＝0.01，0.02，0.03，0.04；p ＝40，45，50；c2＝4，4.5，5不同情況下的結(jié)果，結(jié)果見表23。

由表2－3，我們可以發(fā)現(xiàn)：（1）隨著延期交貨參數(shù)δ的增加，廣告投入費用以及最優(yōu)利潤隨之減少；（2）在銷售價格較小時，延期交貨參數(shù)δ對最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤的影響較大；（3）在缺貨成本較小時，延期交貨參數(shù)δ對最優(yōu)廣告投入以及最優(yōu)利潤的影響較大。

表2 延期交貨參數(shù)δ和銷售價格p對廣告投入費用、訂貨量、庫存為零時刻與最優(yōu)利潤的影響

表3 延期交貨參數(shù)δ和缺貨成本c2對廣告投入費用、訂貨量、庫存為零時刻與最優(yōu)利潤的影響

5 三個模型的比較

本文列出表4用以比較這篇論文以及文獻［6］的三個模型。研究表4，我們可以發(fā)現(xiàn)：

（1）隨著延期交貨參數(shù)δ的增加，最優(yōu)廣告投入費用以及最優(yōu)利潤逐漸減少；

（2）在延期交貨參數(shù)δ較小的情況下，δ對最優(yōu)廣告投入與最優(yōu)利潤的影響更明顯；

（3）隨著延期交貨參數(shù)δ的增加，允許缺貨并部分延期情況下的廣告投入費用和最優(yōu)利潤趨向于不允許缺貨時的結(jié)果。

表4 模型1、模型2以及文獻［6］中的模型的比較

6 結(jié)束語

通過對允許缺貨條件下易腐商品廣告費用與訂貨策略進行研究，主要得到以下有意義的結(jié)論：

（1）在允許缺貨并全部延期交貨的情況下，零售商在銷售多種商品時，對于變質(zhì)率較小或變質(zhì)率由于某些原因變小的物品，我們通過調(diào)整貨架位置以及擺放方式來提高庫存引起需求因子θ，同時忽略變質(zhì)率較大的物品以便增加總利潤。

（2）在允許缺貨并部分延期的情況下，當銷售價格或缺貨成本較小的時候，我們應(yīng)關(guān)注延期交貨參數(shù)，以便使得利潤穩(wěn)定化。在有條件的情況下，我們可以提高延期交貨參數(shù)，以使利潤較大幅度提高。

（3）與文獻［6］不允許缺貨相比，允許缺貨并全部延期交貨情況下零售商投入廣告費用將增多，同時所獲得的利潤也將增大。而對于部分延期的情況，要看延期交貨參數(shù)δ的大小，當δ足夠大的情況下，零售商絕不會允許缺貨情況出現(xiàn)，因為利潤會降低。而在δ較小的情況下，零售商可以通過允許缺貨使自己獲得更多的利潤同時也說明了研究允許缺貨情況下易腐商品廣告費用與訂貨策略的聯(lián)合確定具有一定的現(xiàn)實意義。

［1］周永務(wù)，楊善林.Newsboy型商品最優(yōu)廣告費用與訂貨策略的聯(lián)合確定［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2002，22（11）：59－63.

［2］曹細玉，寧宣熙，覃艷華.易逝品供應(yīng)鏈中的聯(lián)合廣告投入、訂貨策略與協(xié)調(diào)問題研究［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2006（03）：102－106.

［3］曾偉，周永務(wù).考慮最優(yōu)廣告費用及數(shù)量折扣的供應(yīng)鏈企業(yè)間的博弈分析［J］.大學數(shù)學，2007，23（5）：115－118.

［4］Padmanabhan G，Vrat P.EOQ models for perishable items under stock dependent selling rate.European Journal of Operational Research，1995，86：281－292.

［5］Dye C Y，Ouyang L Y.An EOQ model for perishable items under stock－dependent selling rate and time－dependent partial backlogging［J］.European Journal of Operational Research，2005，163：776－783.

［6］丁虹.需求依賴于庫存和廣告下易腐商品訂貨策略的研究［J］.合肥師范學院學報，2009，27（3）：18－20.

［7］Abad P L.Optimal lot size for a perishable good under conditions of finite production and partial backordering and lost sale［J］.Computers ＆Industrial Engineering，2000，38：457－465.

［8］Sarker B R，Jamal A M.，Wang Shaojun.Supply chain models for perishable products under inflation and permissible delay in payment［J］.Computers ＆Operations Research，2000，27：59－75.

［9］Li Jian，Cheng T C E，Wang S.Analysis of postponement strategy for perishable items by EOQ－based models［J］.Int.J.Production Economics，2007，107：31－38.