張培雨,吳 俊,丁婷婷

(安徽師范大學數(shù)學與計算機科學學院,安徽 蕪湖 241000)

關于擬α-半交換環(huán)

張培雨,吳 俊,丁婷婷

(安徽師范大學數(shù)學與計算機科學學院,安徽 蕪湖 241000)

文章引進了擬α-半交換環(huán)的概念,它是α-半交換環(huán)和弱半交換環(huán)的推廣.給出了它的一些刻畫以及與α-半交換環(huán)和擬α-半交換環(huán)的關系.

α-rigid環(huán);弱半交換環(huán);α-半交換環(huán);擬α-半交換環(huán);Armendariz環(huán)

0 引 言

本文中無特別說明所有的環(huán)均指有單位元的結合環(huán),其中N(R)是指環(huán)R的所有冪零元,Tn(R)是指環(huán)R的n階上三角矩陣環(huán).稱α是環(huán)R的自同態(tài),若對任意的a,b∈R,有α(a+b)=α(a)+α(b);α(ab)=α(a)α(b).本文若無特別說明α均不是零同態(tài)和恒等同態(tài).稱R是半交換環(huán),若ab=0,則aRb=0.稱R的自同態(tài)α是rigid的[1],若a∈R,aα(a)=0,則a=0.稱R是α-rigid環(huán)[2],若R存在一個rigid自同態(tài)α.

近年來有許多學者對半交換環(huán)做了相應的研究.在文[3]中Liang Li等人引入和討論了弱半交換環(huán).環(huán)R稱為弱半交換環(huán)[4],若ab=0,則對任意r∈R,arb∈N(R).在文[5]中Muhittin Baster等人提出了α-半交換環(huán)的概念并研究了它的相關性質.稱R是α-半交換環(huán)[5],若ab=0,則aRα(b)=0.本文推廣了α-半交換環(huán),弱半交換環(huán)的概念,引進了擬α-半交換環(huán)的概念,并給出了它們之間的關系和相應的性質研究.

1 擬α-半交換環(huán)與α-半交換環(huán),弱半交換環(huán)

定義1設α是R的自同態(tài),稱R是擬α-半交換環(huán),若ab=0,則對任意r∈R,有arα(b)∈N(R).

由定義可知,α-半交換環(huán)一定是擬α-半交換環(huán).下面例子說明反之是不成立的,因此擬α-半交換環(huán)是α-半交換環(huán)的真推廣.

由于F是域,則a11c11b11=0=a22c22b22,(ACα(B))2=0,因此R是擬α-半交換環(huán).

□

命題1設R是約化環(huán),α是R的自同態(tài),則下列命題等價:

(1)R是α-半交換環(huán);

(2)R是擬α-半交換環(huán).

證明:只需證(2)?(1)若a,b∈R,且ab=0,由于R是擬α-半交換環(huán),則對任意r∈R,有arα(b)∈N(R),又由于R是約化環(huán),則arα(b)=0,因此得證.

□

設R是擬α-半交換環(huán),當α是恒等同態(tài)時,則R是弱半交換環(huán).下面的例子說明了,對于R的任意自同態(tài)α,若R是弱半交換環(huán),則R不一定是擬α-半交換環(huán).

□

設R是環(huán),α是R的自同態(tài),稱R滿足α-條件,若ab=0?aα(b)=0.

引理1[3,引理3.1] 設R滿足α-條件,a,b∈R,若ab∈N(R),則aα(b)∈N(R).

□

命題2設R是弱半交換環(huán),若R滿足α-條件,則R是擬α-半交換環(huán).

證明:令a,b∈R,若ab=0,由于R是弱半交換環(huán),則對任意的r∈R,有arb∈N(R),由引理2.5知,arα(b)∈N(R),故R是擬α-半交換環(huán).

□

由例2和下面的例子說明弱半交換環(huán)與擬α-半交換環(huán)之間沒有必然的聯(lián)系.

□

2 擬α-半交換環(huán)

□

□

推論1[3,命題3.2] 設R是環(huán),I是R的理想,且R/I是弱半交換環(huán),若I?N(R),則R是弱半交換環(huán).

□

證明:令(r1,s1),(r2,s2)∈D,若(r1,s1)(r2,s2)=0即r1r2+s1r2+s2r1=0,s1s2=0,由于S是整環(huán),故s1=0或s2=0.若s1=0,則0=r1r2+s1r2+s2r1=r1(r2+s2),由于R是擬α-半交換環(huán)且α(1)=1,則對任意t∈R,

r1tα(r2+s2)=r1tα(r2)+r1ts2∈N(R).

即存在n∈N,使得(r1tα(r2)+r1ts2)n=0.而對任意的(r,s)∈D,

則取t=r+s,令r1(r+s)α(r2)+r1(r+s)s2=m,由上可知mn=0,所以(m,0)n=0,故

企業(yè)各部門制定的各類預算，是財務預算編制的重要憑據(jù)。以本公司為例，業(yè)務部門的預算為年度預算編制工作開展的基礎，收入預算應以該指標為基礎進行編制，在以上工作結束后才可對成本費用預算進行編制，成本費用與現(xiàn)金流量預算是企業(yè)財務預算工作的總結，而利潤表、資產(chǎn)負債表預算為所有預算的綜合體現(xiàn)形式。

□

而對任意的n∈N,((-1,0),0)n=(((-1)n,0),0)≠0.

注:由例4可知,命題5中的α(1)=1該條件不可忽略.

推論2若R是弱半交換環(huán),S是整環(huán),則R通過S的Dorroh擴張是弱半交換環(huán).

□

(1)R是擬α-半交換環(huán);

(2)R[x]是擬α-半交換環(huán);

(3)R[x;x-1]是擬α-半交換環(huán).

(2)?(3)由于R[x]是擬α-半交換環(huán),令f(x),g(x)∈R[x;x-1],且f(x)g(x)=0,則存在n∈N,使得f1(x)=f(x)xn,g1(x)=g(x)xn∈R[x],從而f1(x)g1(x)=0,所以f1(x)R[x]α(g1(x))?N(R[x]).對任意h(x)∈R[x;x-1],存在m∈N,使得h1(x)=h(x)xm∈R[x],則存在s∈N,使得(f1(x)h1(x)α(g1(x)))s=0,而

f(x)h(x)α(g(x))=f1(x)x-nh1(x)x-mα(g1(x)x-n)=f1(x)h1(x)α(g1(x))x-2n-m.

故

(f(x)h(x)α(g(x)))s=(f1(x)h1(x)α(g1(x))x-2n-m)s=(f1(x)h1(x)α(g1(x))sx(-2n-m)s=0.

故R[x]是擬α-半交換環(huán).

(3)?(1)由于R是R[x;x-1]的子環(huán),因此結論成立.

□

推論3[3,推論3.2] 設R是環(huán),R[x]是弱半交換環(huán)當且僅當R[x;x-1]是弱半交換環(huán).

□

證明:?由于R是Tn(R)的子環(huán),故結論成立.

?令

則

由于R是擬α-半交換環(huán),故存在k∈N,使得(aiiciiα(bii))k=0,i=1,2,…,n.故

□

□

推論5設R是環(huán),則R是擬α-半交換環(huán)當且僅當R[x]/(xn)是擬α-半交換環(huán).

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OnQuasiα-SemicommutativeRings

ZHANG Peiyu, WU Jun, DING Tingting

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

This paper introduced the notion of quasiα-semicommutative rings which were the generalizations ofα-semicommutative rings and provided some characterizations of quasiα-semicommutative rings as well as the relations withα-semicommutative rings and weakly semicommutative rings.

α- rigid rings; weakly semicommutative rings;α-semicommutative rings; quasiα-semicommutative rings; Armendariz rings

2013-04-04

吳 俊(1964—),男,教授,博士,主要從事同調代數(shù)與代數(shù)表示論研究.E-mail：wujunanhuiwuhu@gmail.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.05.005

O153.3MSC201013M05

A

1674-232X(2013)05-0409-04