陳忠

日常生活中，我們最熟悉、最常用的是十進(jìn)制，據(jù)說這與古人曾以手指計(jì)數(shù)有關(guān)，愛好天文學(xué)的古人也曾經(jīng)采用七進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制，至今我們?nèi)匀皇褂靡恢芷咛?、一年十二個月、一小時(shí)六十分的歷法.今天我們來學(xué)習(xí)一下進(jìn)位制.

【探究】

1. 你都了解哪些進(jìn)位制？

2. 舉出常見的進(jìn)位制.

3. 思考非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)化方法.

4. 思考十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)及非十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換方法.

【結(jié)論】

1. 進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的計(jì)數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制；滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制；滿十二進(jìn)一，就是十二進(jìn)制；滿六十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制等等.也就是說：“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)（都是大于1的整數(shù)）就是幾.

2. 在日常生活中，我們最熟悉、最常用的是十進(jìn)制，至今我們?nèi)匀皇褂靡恢芷咛臁⒁荒晔€月、一小時(shí)六十分的歷法.

3. 十進(jìn)制使用0～9十個數(shù)字.計(jì)數(shù)時(shí)，幾個數(shù)字排成一行，從右起，第一位是個位，個位上的數(shù)字是幾，就表示幾個一；第二位是十位，十位上的數(shù)字是幾，就表示幾個十；接著依次是百位、千位、萬位……

例如：十進(jìn)制數(shù)4528中的4表示4個千，5表示5個百，2表示2個十，8表示8個一. 于是，我們得到下面的式子：[4528=4×103+5×102+2×101+8×100].

與十進(jìn)制類似，其他的進(jìn)位制也可以按照位置原則計(jì)數(shù).由于每一種進(jìn)位制的基數(shù)不同，所用的數(shù)字個數(shù)也不同.如二進(jìn)制用0和1兩個數(shù)字，七進(jìn)制用0～6七個數(shù)字.

一般地，若[k]是一個大于1的整數(shù)，那么以[k]為基數(shù)的[k]進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字連寫在一起的形式 [anan-1…a1a0（k）]（[0

其他進(jìn)位制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字與基數(shù)的冪的乘積之和的形式，如：

[110011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20，]

[7342（8）=7×83+3×82+4×81+2×80]，

非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)比較簡單，只要計(jì)算下面的式子值即可：

[anan-1…a1a0（k）=an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0.]

第一步：從左到右依次取出[k]進(jìn)制數(shù)[anan-1…a1a0（k）]各位上的數(shù)字，乘以相應(yīng)的[k]的冪，[k]的冪從[n]開始取值，每次遞減1，遞減到0，即[an×kn，an-1×kn-1，…，a1×k1，a0×k0]；

第二步：把所得到的乘積加起來，所得的結(jié)果就是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù).

4. 關(guān)于進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換，教科書上以十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換為例講解，并推廣到十進(jìn)制和其他進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換.這樣做的原因是，計(jì)算機(jī)是以二進(jìn)制的形式進(jìn)行存儲和計(jì)算數(shù)據(jù)的，而一般我們傳輸給計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)是十進(jìn)制數(shù)據(jù)，因此計(jì)算機(jī)必須先將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再處理，顯然運(yùn)算后首次得到的結(jié)果為二進(jìn)制數(shù)，同時(shí)計(jì)算機(jī)又把運(yùn)算結(jié)果由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)輸出.

（1）十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)

把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，教科書上提供了“除2取余法”，我們可以類比得到十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成[k]進(jìn)制數(shù)的算法“除[k]取余法”.

（2）非十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換

一個自然的想法是利用十進(jìn)制作為橋梁. 教科書上提供了一個二進(jìn)制數(shù)據(jù)與16進(jìn)制數(shù)據(jù)之間的互化的方法，也就是先由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，再由十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成為16進(jìn)制數(shù).

【應(yīng)用示例】

例1 將8進(jìn)制數(shù)[314706（8）]化為十進(jìn)制數(shù).

解析 [314706（8）=3×85+1×84+4×83+7×82][+0×81+6×80=104902.]

所以，化為十進(jìn)制數(shù)是[104902].

點(diǎn)撥 利用把[k]進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的一般方法就可以把8進(jìn)制數(shù)[314706（8）]化為十進(jìn)制數(shù).

變式 設(shè)計(jì)一個算法，把[k]進(jìn)制數(shù)[a]（共有[n]位）化為十進(jìn)制數(shù)[b].

分析 從例1的計(jì)算過程可以看出，計(jì)算[k]進(jìn)制數(shù)[a]的右數(shù)第[i]位數(shù)字[ai]與[ki-1]的乘積[ai?ki-1]，再將其累加，這是一個重復(fù)操作的步驟.所以，可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法.

算法步驟如下：

第一步，輸入[a]，[k]和[n]的值.

第二步，將[b]的值初始化為0，[i]的值初始化為1.

第三步，[b=b+ai?ki-1，i=i+1].

第四步，判斷[i>n]是否成立.若是，則執(zhí)行第五步；否則，返回第三步.

第五步，輸出[b]的值.

解 程序框圖如下圖：

例2 把89化為二進(jìn)制數(shù).

解析 根據(jù)二進(jìn)制數(shù)“滿二進(jìn)一”的原則，可以用2連續(xù)去除89或所得商，然后取余數(shù).具體計(jì)算如下：

因?yàn)?9=2×44+1，

44=2×22+0，

22=2×11+0，

11=2×5+1，

5=2×2+1，

2=2×1+0，

1=2×0+1，

所以89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1

=2×（2×（2×（2×（22+1）+1）+0）+0）+1

…

=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20

=1011001（2）.

這種算法叫做除2取余法，還可以用下面的除法算式表示：

將上式中各步所得的余數(shù)從下到上排列，得到89=1011001（2）.

上述方法也可以推廣為把十進(jìn)制數(shù)化為[k]進(jìn)制數(shù)的算法，稱為除[k]取余法.

變式 設(shè)計(jì)一個程序，實(shí)現(xiàn)“除[k]取余法”.

分析 從例2的計(jì)算過程可以看出如下的規(guī)律：

若十制數(shù)[a]除以[k]所得商是[q0]，余數(shù)是[r0]，即[a=k?q0+r0]，則[r0]是[a]的[k]進(jìn)制數(shù)的右數(shù)第1位數(shù).

若[q0]除以[k]所得的商是[q1]，余數(shù)是[r1]，即[q0=k?q1+r1]，則[r1]是[a]的[k]進(jìn)制數(shù)的右數(shù)第2位數(shù).

…

若[qn-1]除以[k]所得的商是0，余數(shù)是[rn]，即[qn-1=rn]，則[rn]是[a]的[k]進(jìn)制數(shù)的左數(shù)第1位數(shù).

這樣，我們可以得到算法步驟如下：

第一步，給定十進(jìn)制正整數(shù)[a]和轉(zhuǎn)化后的數(shù)的基數(shù)[k].

第二步，求出[a]除以[k]所得的商[q]，余數(shù)[r].

第三步，把得到的余數(shù)依次從右到左排列.

第四步，若[q≠0]，則[a=q]，返回第二步；

否則，輸出全部余數(shù)[r]排列得到的[k]進(jìn)制數(shù).

解 程序框圖如下圖：

程序：

計(jì)算機(jī)是以二進(jìn)制的形式進(jìn)行存儲和計(jì)算數(shù)據(jù)的，而一般我們傳輸給計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)是十進(jìn)制數(shù)據(jù)，因此計(jì)算機(jī)必須先將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再處理，顯然運(yùn)算后首次得到的結(jié)果為二進(jìn)制數(shù)，同時(shí)，計(jì)算機(jī)又把運(yùn)算結(jié)果由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)輸出.因此學(xué)好進(jìn)位制是非常必要的.