李懷繁，趙惠華，趙 仁

（山西大同大學(xué)理論物理研究所，山西大同037009）

球?qū)ΨQdilatonic黑洞的量子統(tǒng)計(jì)熵

李懷繁，趙惠華，趙 仁

（山西大同大學(xué)理論物理研究所，山西大同037009）

用量子統(tǒng)計(jì)方法，計(jì)算了球?qū)ΨQdilatonic黑洞玻色場(chǎng)和費(fèi)米場(chǎng)的量子統(tǒng)計(jì)熵。在計(jì)算中，采用了由廣義測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系修正的態(tài)密度公式，利用求解配分函數(shù)及系統(tǒng)自由能的統(tǒng)計(jì)方法，得到了收斂級(jí)數(shù)表達(dá)的黑洞熵。在計(jì)算中，不存在人為截?cái)嗟囊牒托≠|(zhì)量近似，計(jì)算結(jié)果與前人的經(jīng)典結(jié)果一致。

廣義測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系；黑洞熵；面積定理

在Hawking證明黑洞具有熱輻射之前，Bekenstein等人就發(fā)現(xiàn)，若將黑洞的表面引力和視界面積類比于溫度和熵時(shí)，黑洞力學(xué)四定律與普通熱力學(xué)四定律將非常類似。但是Hawking認(rèn)為這只是形式上的類似，因?yàn)楹诙床荒鼙豢醋髌胀ǖ臒崃W(xué)系統(tǒng)，不能簡(jiǎn)單的用普通熱力學(xué)定律來(lái)描述[1-3]。自從Bekenstein和Hawking分別證明黑洞的熵與其視界面積成正比之后[2-4]，黑洞熵的統(tǒng)計(jì)起源成為幾十年來(lái)人們研究的一個(gè)熱點(diǎn)。

為了對(duì)黑洞統(tǒng)計(jì)熵給出一個(gè)滿意的解釋，各種探求黑洞統(tǒng)計(jì)熵的方法應(yīng)運(yùn)而生[5-9]。其中用的最多的是1993年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者G′t Hooft提出的brick-wall模型[9]，用此方法得到了各種時(shí)空背景下的黑洞標(biāo)量場(chǎng)和 Dirac場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)[10-15]，發(fā)現(xiàn)黑洞熵就是其外部量子場(chǎng)的熵，從而通過(guò)計(jì)算外部量子場(chǎng)的狀態(tài)數(shù)，并選取合適的截?cái)嘁蜃?，能得到與黑洞視界面積成正比的Bekenstein-Hawking （B-H）熵。同時(shí)為了避免在視界附近的態(tài)密度發(fā)散以及計(jì)算方便，在計(jì)算中不得不引入人為截?cái)嘁蜃雍筒捎眯≠|(zhì)量近似。近年來(lái)有學(xué)者對(duì)brick-wall模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出了黑洞熵的主要貢獻(xiàn)者是黑洞視界外的薄層場(chǎng)的熵[16-18]。用此改進(jìn)的方法克服了紅外截?cái)嗪腿藶橐?，但是?duì)紫外截?cái)嗳詿o(wú)法克服。

本文的安排如下：正文第一部分，將利用廣義測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系對(duì)態(tài)密度的修正對(duì)球?qū)ΨQdilatonic黑洞的量子統(tǒng)計(jì)的玻色場(chǎng)熵進(jìn)行計(jì)算，在計(jì)算中所取的積分區(qū)間為從黑洞的視界面到無(wú)窮遠(yuǎn)觀測(cè)者，測(cè)得的具有相同固有輻射溫度的超曲面。且兩曲面的固有厚度具有廣義測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的最小長(zhǎng)度量級(jí)。正文第二部分，我們用同樣的方法來(lái)計(jì)算費(fèi)米場(chǎng)中的量子統(tǒng)計(jì)熵。最后給出總結(jié)與結(jié)論。在本文中取C=?=G=KB=1。

1 球?qū)ΨQdilatonic黑洞

球?qū)ΨQdilatonic黑洞線元：

其中，△（ρ）=（ρ-ρ+）（ρ-ρ-），

其中

分別對(duì)應(yīng)于黑洞的內(nèi)外視界。黑洞視界的面積為

由文獻(xiàn)[30]知，無(wú)窮遠(yuǎn)靜止觀測(cè)者，測(cè)得的固有輻射溫度為

式中，TH是黑洞視界表面的平衡溫度。

有效的物理教學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)，是中學(xué)物理學(xué)科教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容。作業(yè)的布置與設(shè)計(jì)，旨在鞏固和強(qiáng)化學(xué)生的物理知識(shí)，提升物理綜合學(xué)習(xí)技能，比如學(xué)生在課堂上學(xué)到的物理公式、物理實(shí)驗(yàn)原理，抑或是剛剛學(xué)到的物理實(shí)驗(yàn)操作技能等。作業(yè)的設(shè)計(jì)要力求針對(duì)性強(qiáng)，能夠切實(shí)激發(fā)學(xué)生對(duì)作業(yè)完成的興趣，而不是枯燥的書(shū)面抄寫。比如，布置給學(xué)生一些集體探究性的復(fù)雜小實(shí)驗(yàn)，或者是讓學(xué)生與家長(zhǎng)一起合作完成物理小實(shí)驗(yàn)作品，然后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)作品評(píng)比，看哪位學(xué)生的物理實(shí)驗(yàn)作品更好，對(duì)物理理論知識(shí)闡述更加明確、科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)，如此，才能保證物理教學(xué)的有效性。

對(duì)玻色系統(tǒng)，配分函數(shù)Z滿足

對(duì)時(shí)空（1），黑洞視界外任意ρ點(diǎn)的二維曲面為

所以在黑洞視界外，任意ρ任意厚度內(nèi)系統(tǒng)的配分函數(shù)可以表示為：

由上式可得玻色場(chǎng)的熵為

在上式中應(yīng)用了粒子的能量、動(dòng)量和質(zhì)量的關(guān)系ω2蛐λ2=p2+m2，m是粒子的靜止質(zhì)量。（11）式對(duì)ρ的積分在視界附近。而在視界附近-gtt（ρ+）→0，于是（11）式可化為

其中，

時(shí)空為球?qū)ΨQ時(shí)，無(wú)窮遠(yuǎn)靜止觀者，測(cè)得黑洞視界外任意R（R＞r+）上的固有輻射溫度是相同的。所以對(duì)于時(shí)空為球?qū)ΨQ黑洞，在計(jì)算黑洞視界附近的量子統(tǒng)計(jì)熵時(shí)，取的積分區(qū)間是[r+，R=r++ε]，其中

時(shí)，無(wú)窮遠(yuǎn)觀者，觀測(cè)到的固有輻射溫度是相同的。r+是黑洞視界位置，滿足gtt′（r+）=0。在視界附近gtt′（r）≈（gtt′）′（r+）（r-r+）。由度規(guī)（1）知，最小長(zhǎng)度為：為一正的小量。換句話說(shuō)，所取的積分區(qū)間是從黑洞的視界到無(wú)窮遠(yuǎn)靜止觀這，測(cè)得黑洞視界外具有相同輻射溫度的超曲面。由（4）和（5）式，我們知道在視界外，當(dāng)R滿足

在視界附近，由文獻(xiàn)[31]的（32）式可得

忽略高階項(xiàng)后，（16）式簡(jiǎn)寫為

由此，可以得到

利用留數(shù)定理，可得：

則引入的最小長(zhǎng)度為：

則玻色熵的級(jí)數(shù)表達(dá)式（19）中的主導(dǎo)項(xiàng)與視界面積成正比且系數(shù)為1蛐4，滿足B-H熵。對(duì)黑洞熵修正值的探討是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)之一，人們利用各種方法來(lái)研究對(duì)黑洞熵的修正[32-34]，結(jié)果與其在量級(jí)上是一致的，且級(jí)數(shù)收斂。

2 費(fèi)米場(chǎng)的熵

由（11）式，可得費(fèi)米系統(tǒng)的熵是

對(duì)于Fermi系統(tǒng)，配分函數(shù)為

由此，我們可得黑洞視界附近費(fèi)米場(chǎng)對(duì)應(yīng)的熵為

如設(shè)在廣義測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系中引入的最小長(zhǎng)度

則費(fèi)米熵的級(jí)數(shù)表達(dá)式中的主導(dǎo)項(xiàng)與視界面積成正比，滿足B-H熵。

3 總結(jié)

在本文中，利用廣義測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系對(duì)態(tài)密度的修正，計(jì)算了黑洞視界附近玻色場(chǎng)與費(fèi)米場(chǎng)的量子統(tǒng)計(jì)熵。在沒(méi)有人為引入截?cái)嗪托≠|(zhì)量近似的情況下，得到了黑洞統(tǒng)計(jì)熵的級(jí)數(shù)表達(dá)式。我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)廣義測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系中引入的無(wú)量綱常數(shù)λ滿足（20）或（24）式時(shí)，黑洞量子統(tǒng)計(jì)熵級(jí)數(shù)表達(dá)式中的主導(dǎo)項(xiàng)與視界面積成正比，且滿足B-H熵。通過(guò)我們的計(jì)算同時(shí)知道在球?qū)ΨQ的dilatonic黑洞中，無(wú)量綱常數(shù) λ的值是與黑洞度規(guī)的 dilatonic系數(shù)有關(guān)的。計(jì)算結(jié)果表明，黑洞B-H熵與視界面積成正比這一定理，是與引力背景沒(méi)有關(guān)系的，是普適的。另外，通過(guò)利用態(tài)密度修正的量子統(tǒng)計(jì)的方法計(jì)算球?qū)ΨQdilatonic黑洞B-H熵，克服了求解波動(dòng)方程的困難，又提出對(duì)球?qū)ΨQ時(shí)空計(jì)算黑洞熵的積分區(qū)間為：黑洞視界面與無(wú)窮遠(yuǎn)觀測(cè)者測(cè)得視界外附近具有相同固有輻射溫度的超曲面。

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〔責(zé)任編輯 李?！?/p>

Quantum Statistical Entropy of Spherical Symmetry Dilatonic Black Hole

LIHuai-fan ZHAO Hui-hua，ZHAO Ren
（Institute of Theoretical Physics，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009）

Using the quantum statisticalmethod，we directly solved the quantum statistical entropy of Bosonic field and Fermionic field on the background of the spherical symmetry dilatonic black hole.In the calculation，we adopted the new equation of state density motivated by the generalized uncertainty relation，solved the partition function and the free energy of system with statistical method，we obtain that the entropy of black hole is convergent.In our calculation the artificial cutoff and the smallmass approximation are removed，our results qualitatively consistentwith the previous results.

generalized uncertainty relation；black hole entropy；area theorem

O421.1

A

1674－0874（2013）06－0015－04

2013-08-15

國(guó)家自然科學(xué)基金[11075098，11175109]；國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金[11205097]；山西省青年科技研究基金[2012021003-4]；山西大同大學(xué)博士科研啟動(dòng)經(jīng)費(fèi)[2011-B-04]

李懷繁（1980-），男，山西洪洞人，博士，講師，研究方向：引力理論，規(guī)范/引力對(duì)偶應(yīng)用。