謝麗

一、平面向量與三角函數(shù)

例1 已知向量[a=（cosα，sinα），b=（cosβ，][sinβ），|a-b|=255].

（1）求[cos（α-β）]的值；

（2）若[0<α<π2，-π2<β<0，且sinβ=-513，][求sinα]的值.

分析 本題的關(guān)鍵是[a-b=255].

解 （1）[∵a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），]

[∴a-b=（cosα-cosβ，sinα-sinβ）].

又[|a-b|=255]，

[∴（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=255]，

[∴2-2cos（α-β）=45，cos（α-β）=35].

（2）[∵0<α<π2，-π2<β<0，0<α-β<π]，

又[cos（α-β）=35]，[∴sin（α-β）=45]，

又[sinβ=-513]，[∴cosβ=1213]，

[∴sinα=sin[（α-β）+β]=6365].

點(diǎn)撥 合理選用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則構(gòu)建相關(guān)等式，然后運(yùn)用三角函數(shù)的和、差、半、倍角公式進(jìn)行恒等變形，以期達(dá)到與題設(shè)條件或待求結(jié)論的相關(guān)式，找準(zhǔn)時(shí)機(jī)代入求值或化簡(jiǎn).

二、平面向量與解三角形

例2 已知向量[m= 1 ， 1 ]，向量[n]與向量[m]的夾角為[34π]，且[m?n=-1.]

（1）求向量[n]；

（2）若向量[n]與向量[q= 1 ， 0 ]的夾角為[π2]，向量[p=cosA ， 2cos2C2]，其中[A，B，C]為[ΔABC]的內(nèi)角，且[A，B，C]依次成等差數(shù)列，求[n+p]的取值范圍.

分析 本題應(yīng)先翻譯向量語(yǔ)言，這樣，問(wèn)題（1）就轉(zhuǎn)化為解方程組，而問(wèn)題（2）就化歸為三角形中的三角函數(shù)了.

解 （1）設(shè)[n= x ， y ]，

又[m?n=-1]，有[x+y=-1].①

[∵]向量[n]與向量[m]的夾角為[34π]，

[∴m?n=m?n?cos34π=-1]，

[∴n=1]，則[x2+y2=1].②

由①②解得，[x=-1，y=0， 或 x=0，y=-1.]

[∴ n=-1 ， 0 或 n=0 ， -1].

（2）由[n]與[q]垂直知[n=0 ， -1]，

由[2B=A+C ]知，

[B=π3 ， A+C=2π3 ， 0

若[n=0 ， -1]，

則[n+p=cosA ， 2cos2C2-1=cosA，cosC.]

[∴ n+p2=cos2A+cos2C]

[=1+cos2A2+1+cos2C2=1+12cos2A+π3.]

[∵ 0

[∴ -1cos2A+π3<12].

[∴ 121+12cos2A+π3<54 ， ]

[即 n+p2∈12 ， 54 ， ∴n+p∈22 ， 52].

點(diǎn)撥 利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合三角恒等變形求解，要注意解的范圍與三角函數(shù)值等號(hào)之間的聯(lián)系與影響，注意利用大邊對(duì)大角來(lái)確定解是否合理，判斷三角形的形狀，必須從研究三角形的邊與邊的關(guān)系，或角與角的關(guān)系入手.