鄭世波 劉堅(jiān)

一、綜合法

常見書面表達(dá)“∵，∴”或“[?]”.

例1 [a，b，c]為互不相等的正數(shù)，且[abc=1].

求證：[1a+1b+1c>a+b+c].

解析 方法1 由左式[?]右式.

∵[abc=1]，且[a，b，c]為互不相等的正數(shù)，

∴[1a+1b+1c=bc+ac+ab]

[=bc+ac2+ac+ab2+ab+bc2]

>[bc?ac+ac?ab+ab?bc=a+b+c].

方法2 右式[?]左式.

∵[a，b，c]為互不相等的正數(shù)，且[abc=1].

∴[a+b+c]=[1bc+1ac+1ab]

[<1b+1c2+1a+1c2+1a+1b2]=[1a+1b+1c].

點(diǎn)撥 綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是在尋找它的必要條件.

二、分析法

常見的書面表達(dá)是“要證……只需證……”或“[?]”.

例2 已知函數(shù)[f（x）=tanx]，[x∈（0，π2）]，若[x1，x2∈（0，π2）]，且[x1≠x2.]

求證：[12f（x1）+f（x2）>f（x1+x22）].

解析 要證[12f（x1）+f（x2）>f（x1+x22）] ，

即證明[12（tanx1+tanx2）>tanx1+x22]，

只需證明[12（sinx1cosx1+sinx2cosx2）>tanx1+x22]，

只需證明[sin（x1+x2）2cosx1cosx2>sin（x1+x2）1+cos（x1+x2）]，

由于[x1]，[x2][∈（0，π2）]，故[x1]+[x2][∈（0，π）].

∴[cosx1cosx2>0]，[sin（x1+x2）>0]，

[1+cos（x1+x2）>0].

故只需證明[1+cos（x1+x2）>2cosx1cosx2]，

即證 [1+cosx1cosx2-sinx1sinx2>2cosx1cosx2，]

即證[cos（x1-x2）<1].

又[x1]，[x2][∈（0，π2）]，[x1≠x2]，上式顯然成立，

因此，[12f（x1）+f（x2）>f（x1+x22）].

點(diǎn)撥 分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，逐步尋找結(jié)論成立的充分條件.在表達(dá)方面，分析法不如綜合法，在實(shí)際解題時，常常需要將分析法和綜合法結(jié)合起來，一方面執(zhí)果索因，追溯待證結(jié)論成立所需要的條件；另一方面由因?qū)Ч?，探索由已知條件必然產(chǎn)生的種種結(jié)果，當(dāng)兩種思路接通時，問題便解決了.

三、反證法

反證法的證明思路是：假設(shè)結(jié)論不成立[→]推導(dǎo)矛盾（歸謬）[→]肯定結(jié)論.注意每一步推理都必須是正確的，反證法的實(shí)質(zhì)是證原命題的逆否命題.

例3 等差數(shù)列[{an}]的前[n]項(xiàng)和為[Sn]，[a1=1+2]，[S3=9+32.]

（1）求數(shù)列[{an}]的通項(xiàng)[an]與前[n]項(xiàng)和[Sn]；

（2）設(shè)[bn=Snn]（[n][∈]N+），求證：數(shù)列[{bn}]中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.

解析 （1）由已知得[a1=2+1，3a1+3d=9+32，]∴[d=2.]

故[an=2n-1+2]，[Sn=n?（n+2）.]

（2）證明：由（1）得[bn=Snn=n+2.]

假設(shè)數(shù)列[bn]中存在三項(xiàng)[bp]，[bq]，[br]，（[p，q，r]互不相等）成等比數(shù)列，則[bq2=bpbr]，

即[（q+2）2=（p+2）（r+2）]，

∴[（q2-pr）+（2q-p-r）2=0].

∵[p，q，r∈N+]， ∴[q2-pr=0，2q-p-r=0.]

∴[（p+r2）2=pr]，∴[p=r]與[p≠r]矛盾.

∴[bn]中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列.

點(diǎn)撥 （1）正難則反.當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾.（2）利用反證法證明問題時，要注意與之矛盾的定理不能是用本題的結(jié)論證明的定理，否則將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯誤.

四、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法易犯的錯誤有：（1）對項(xiàng)數(shù)估算的錯誤，特別是尋找[n=k]與[n=k+1]的關(guān)系時，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯；（2）沒有利用歸納假設(shè)：歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了；（3）關(guān)鍵步驟含糊不清，“假設(shè)[n=k]時結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明[n=k+1]時結(jié)論也成立”，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，對推導(dǎo)的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性.

例4 用數(shù)學(xué)歸納法證明：[1+n21+12+13][+…+12n12+n（n∈N+）].

證明 （1）當(dāng)[n=1]時，左邊=1+[12]，右邊=[12]+1，

[∴][321+1232]，命題成立.

當(dāng)[n=2]時，左邊=1+[22]，右邊=[12]+2=[52]，

[∴][2<1+12+13+14<52]，命題成立.

（2）假設(shè)[n=k]（[k]≥2，且[k][∈][N+]）時命題成立，

即：[1+k2<1+12+13+…+12k<12+k].

則當(dāng)[n=k]+1時，

[1+12+13+…+12k+12k+1+12k+2+…+12k+2k]

>[1+k2+12k+1+12k+2+…+12k+2k]

>[1+k2+2k?12k+1=1+k+12].

又[1+12+13+…+12k+12k+1+12k+2]

[+…+12k+2k]

<[12+k+12k+1+12k+2+…+12k+2k]

<[12+k+2k?12k=12+（k+1）].

即[n=k]+1時，命題也成立.

由（1）（2）可知，命題對所有[n][∈]N+都成立.

點(diǎn)撥 （1）[n=1]是不等式等號成立的條件，故要驗(yàn)證[n=2].（2）[n=k]到[n=k+1]，項(xiàng)數(shù)增加了[12k+1+12k+2+…+12k+2k]，共[k]項(xiàng)，這是很多同學(xué)易犯的錯誤，再就是運(yùn)用了放縮技巧，證大于向最小項(xiàng)轉(zhuǎn)化，證小于向最大項(xiàng)轉(zhuǎn)化，這一方法要掌握.

例5 已知數(shù)列[{xn}]滿足[x1=12]，[xn+1=][11+xn]，猜想數(shù)列{[x2n]}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.

解析 由[x1=12]及[xn+1=11+xn]得[x2=23]，[x4=58]，[x6=1321].

由[x2>x4>x6]，猜想：數(shù)列[x2n]是遞減數(shù)列.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當(dāng)[n=1]時，已證命題成立.

（2）假設(shè)當(dāng)[n=k]時命題成立，即[x2k>x2k+2].

易知[xn>0]，當(dāng)[n=k+1]時，

那么[x2k+2-x2k+4=11+x2k+1-11+x2k+3]

[=x2k+3-x2k+1（1+x2k+1）（1+x2k+3）]

=[x2k-x2k+2（1+x2k）（1+x2k+1）（1+x2k+2）（1+x2k+3）>0].

即[x2（k+1）>x2（k+1）+2]，即當(dāng)[n=k+1]時命題也成立.

由（1）（2）知，{[x2n]}是遞減數(shù)列，命題成立.

點(diǎn)撥 （1）歸納、猜想、證明的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用，其一般思路是：通過有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)字歸納法證明.它在解決探索性問題、存在性問題與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用.（2）本題還可以證明{[x2n-1]}是遞增數(shù)列，有興趣的同學(xué)不妨一試.