薛 麗

（鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院管理科學(xué)與工程學(xué)院，鄭州 450000）

0 引言

在統(tǒng)計控制過程中，控制圖被廣泛地用來監(jiān)控過程波動，當(dāng)過程出現(xiàn)小波動時，EWMA控制圖比傳統(tǒng)的休哈特控制圖有更好的監(jiān)控效果[1]。為了提高控制圖的監(jiān)控效率，許多學(xué)者[2-4]把固定抽樣區(qū)間的控制圖推廣到可變抽樣區(qū)間的控制圖，其中針對缺陷數(shù)服從泊松分布的情況下，叢方圓等[5]對可變抽樣區(qū)間的泊松EWMA控制圖進行了研究。盡管對可變抽樣區(qū)間控制圖的研究已經(jīng)很多，對它們的經(jīng)濟設(shè)計研究卻不多[6,7]。Chou&Chen[8]根據(jù)Lorenzen&Vance[9]模型研究可變抽樣區(qū)間EWMA控制圖的經(jīng)濟設(shè)計，他們的研究是針對計量型特性值。但在實際生產(chǎn)中，許多質(zhì)量特性值是計數(shù)型數(shù)據(jù)，比如生產(chǎn)中的產(chǎn)品缺陷數(shù)。在考慮了監(jiān)控過程的成本費用因素之后，本文針對產(chǎn)品缺陷數(shù)服從泊松分布的情況，對可變抽樣區(qū)間EWMA控制圖的經(jīng)濟統(tǒng)計進行研究。

1 可變抽樣區(qū)間的泊松EWMA控制圖

建立可變抽樣區(qū)間泊松EWMA控制圖的經(jīng)濟模型之前，先介紹可變抽樣區(qū)間的泊松EWMA控制圖的構(gòu)造，具體過程如下：

設(shè)X表示生產(chǎn)過程中的單位缺陷數(shù),通常情況下假設(shè)X服從參數(shù)為μ的泊松分布2,...其中μ為大于0的常數(shù)。當(dāng)過程處于受控狀態(tài)時,μ=μ0.當(dāng)過程處于失控狀態(tài)時，μ=μ1=μ0+μ0δ，其中δ為過程均值的偏移。若取樣本容量為n，則在一個樣本中的總?cè)毕輸?shù)就可以表示為Y=x1+x2+...+xn.它服從參數(shù)為nμ的泊松分布要對這個過程進行控制,定義泊松EWMA統(tǒng)計量為:

其中，λ為平滑系數(shù),Z0=μ0.泊松EWMA控制圖的上下控制限為：

其中k1,k2分別是泊松EWMA控制圖的上下控制限系數(shù)在此需要說明：在一般的控制圖中，k1=k2.而由（1）式定義的泊松EWMA統(tǒng)計量Zt是一個非負(fù)數(shù)，當(dāng)下控制限小于或等于零時,對過程均值的向下偏移就不會發(fā)出報警信號,即不能檢測出過程的向下偏移,所以這時取k1≠k2是很有必要的。

泊松EWMA控制圖的上下警戒限為：

其中w1,w2是分別泊松EWMA控制圖的上下警戒限系數(shù)，且0＜w1＜k1，0＜w2＜k2.選取兩個抽樣區(qū)間h1和h2，且h1＞h2＞0，若樣本點落在安全域(LWL≤Wi≤UWL),則下一個抽樣區(qū)間為h1；若樣本點落在警戒域（UWL＜Wi≤UCL或LCL≤Wi＜LWL）,則下一個抽樣區(qū)間為h2；若樣本點超出控制限（Wi＞UCL或Wi＜LCL）,則報警。

當(dāng)用可變抽樣區(qū)間泊松EWMA控制圖監(jiān)控過程均值變化時，需要確定八個參數(shù)VSI泊松EWMA控制圖的經(jīng)濟設(shè)計就是通過使期望總費用最小確定這八個參數(shù)的最優(yōu)值。

2 經(jīng)濟模型建立

Lorenzen&Vance所考慮的控制圖的費用期望值包括：生產(chǎn)時期的質(zhì)量費用；發(fā)生錯誤警報的費用；抽樣和檢查結(jié)果的費用；尋找異常原因和糾正過程的費用。根據(jù)不同的控制圖計算這幾部分的期望費用，然后除以平均循環(huán)周期，既可以得到經(jīng)濟設(shè)計的費用損失函數(shù)。其中過程循環(huán)周期定義為從過程開始受控到發(fā)生異常原因過程失控，發(fā)現(xiàn)失控狀態(tài)和調(diào)查并消除異常原因糾正過程所經(jīng)歷的時間。

在建立可變抽樣區(qū)間泊松EWMA控制圖的經(jīng)濟模型之前，本文有以下幾個假設(shè)：(1)設(shè)過程開始時處于受控狀態(tài)μ=μ0;(2)失控前保持受控狀態(tài)的時間服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布；(3)過程失控時，直到發(fā)現(xiàn)和糾正它以前仍然處于失控狀態(tài)；(4)在每個抽樣區(qū)間內(nèi)，最多存在一個異常原因發(fā)生使過程失控。在抽樣時，異常原因不發(fā)生。根據(jù)Lorenzen&Vance的研究，把他們模型中的固定抽樣區(qū)間h修改為平均抽樣區(qū)間h0，建立可變抽樣區(qū)間泊松EWMA控制圖的經(jīng)濟模型，其中目標(biāo)函數(shù)為期望總費用C，公式如下：

其中：a為每個樣本的固定費用；

b為單元抽樣的費用；

c1為過程受控時單位時間的質(zhì)量費用；

c2為過程失控時單位時間的質(zhì)量費用；

d為每次抽樣和作圖的時間；

g為錯誤警報發(fā)生的費用；

m為糾正異常原因的費用；

s為過程受控時樣本的期望值，且

τ為過程受控時在兩個樣本之間異常原因發(fā)生的時間期望值，且

t0為尋找錯誤警報的時間期望值；

t1為發(fā)現(xiàn)異常原因的時間期望值；

t2為糾正過程的時間期望值；

ATS1為過程失控時發(fā)出信號的平均時間；

ANSS0為過程受控時控制圖報警所需的平均樣本數(shù)；

h0為平均抽樣間隔，且h0=ATS0/ANSS0，其中ATS0為過程受控時發(fā)出信號的平均時間;

用馬爾可夫鏈法可以得出ATS0和ATS1的計算公式[5]如下：

其中，k0表示中心線處于狀態(tài)Ek0即過程在開始時處于第k0個狀態(tài)。如果控制圖的上下控制限系數(shù)k1=k2時，k0=m+1，即過程在開始時中心線處于狀態(tài)Em+1.bi(i=1,...,2m+1)為統(tǒng)計量Zt處于狀態(tài)Ei時所取的抽樣區(qū)間，當(dāng)狀態(tài)Ei為安全域時，bi=h1；當(dāng)狀態(tài)Ei為警戒域時，bi=h2.定義：

同理

其中

同理，用馬爾科夫鏈法可以得出ANSS0的計算公式如下：

其中，qij的公式與ATS0中的qij定義一樣，如式(8)、(9)、(10).

通過前面的討論可知期望總費用C是關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，VSI泊松EWMA控制圖的經(jīng)濟設(shè)計就是使期望總費用C最小確定這八個參數(shù)的最優(yōu)值。

3 算例

z某一生產(chǎn)過程的質(zhì)量特性值服從參數(shù)為μ的泊松分布，過程受控時μ=μ0=4，過程失控時μ=μ1=μ0+δμ0，這一生產(chǎn)過程可用VSI泊松EWMA控制圖來監(jiān)控。本例中的費用參數(shù)和模型參數(shù)分別如下：

a=$0.5,b=$0.1,c1=$20,c2=$100,g=$50,m=$20,d=0.05hr,t0=0.5hr,t1=2hr,t2=2hr,θ=0.01,γ1=γ2=1,δ=0.5.

在matlab（version 7.0）環(huán)境下編碼遺傳算法。所求控制圖八個參數(shù)中，要求n為整數(shù)，h1,h2,k1,k2,w1,w2和λ為連續(xù)值。本例用遺傳算法求解的過程如下：

(1)開始：滿足所求參數(shù)限制條件的20個初始解被隨便選取。每個參數(shù)的取值范圍為：1≤n≤10,1≤h1≤3.5,0.01≤h2≤1,1≤k1≤4,1≤k2≤4,0.01≤w1≤3,0.01≤w2≤3,w1≤k1,w2≤k2,0.01≤λ≤1

(2)估計：計算適應(yīng)性函數(shù)值來估計每個解的適應(yīng)性。在本例中，適應(yīng)性函數(shù)選擇為期望總費用C.

(3)選擇：在20個解中，挑選適應(yīng)性好的染色體作為幸存者，組成下一代。費用高的染色體被費用低的染色體代替。

(4)交叉：隨機選取一對幸存者作為父母，來交叉產(chǎn)生下一代新的染色體。本例中，我們應(yīng)用算術(shù)交叉法，交叉率為0.8如下：D1=0.8R+0.2M，D2=0.2R+0.8M.D1為第一個新的染色體，D2為第二個新的染色體，R、M為父母染色體。如果20對父母被隨機選擇，則應(yīng)有40個孩子產(chǎn)生。因此，人口會增加到60個。

(5)變異：假設(shè)變異率為0.1，因為我們有60個解，則能隨機選擇6個染色體（60*0.1=6）來變異一些實驗參數(shù)。

(6)重復(fù)(2)到(6)，直到達(dá)到停止準(zhǔn)則。本例停止準(zhǔn)則為：運行到100代時算法停止。

在matlab環(huán)境下，運行遺傳算法程序，當(dāng)運行到100代時算法停止，得到最優(yōu)參數(shù)值：,n=1,h1=2.84217,h2=0.67239,k1=2.22782,k2=1.94086，w1=0.11818,w2=0.10258,λ=0.08911,C=28.6091.

4 經(jīng)濟模型的最優(yōu)性分析

假設(shè)某一生產(chǎn)過程的質(zhì)量特性值服從參數(shù)為μ的泊松分布，過程受控時μ=μ0=4，過程失控時μ=μ1=μ0+δμ0，這一生產(chǎn)過程可用VSI泊松EWMA控制圖監(jiān)控。下面對基于經(jīng)濟模型設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖與統(tǒng)計方法設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖進行比較。兩種控制圖如下：

（1）用統(tǒng)計方法設(shè)計樣本容量n=3的VSI泊松EWMA控制圖。固定受控平均報警時間ATS0，使失控平均報警時間ATS1最小來確定參數(shù)的最優(yōu)值。

（2）基于經(jīng)濟模型設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖。根據(jù)經(jīng)濟模型（6）確定參數(shù)的最優(yōu)值。

以上兩種控制圖都在十一種模型參數(shù)的條件下，分別計算期望總費用，然后進行比較。這是一個11因素兩水平的試驗，采用正交表L16(215)進行試驗，共有16次試驗，記錄在表2。并且固定：γ1=γ2=1、t0=1，其中用統(tǒng)計方法設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖的期望總費用記為C1；根據(jù)經(jīng)濟模型設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖的期望總費用記為C，其計算結(jié)果記錄在表3。下面固定n=3,k1=3,k2=3,w1=1.5,w2=1.5，分別計算λ=0.1，ATS0=100,150,200和λ=0.2，ATS0=300,400,500時，16次正交試驗所對應(yīng)的期望總費用C1，并記錄在表3。

表1 11個模型參數(shù)的兩種水平

結(jié)果顯示：對于每種試驗，基于經(jīng)濟模型設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖的期望總費用C均小于用統(tǒng)計方法設(shè)計樣本容量n=3的VSI泊松EWMA控制圖的期望總費用C1，所以在每種試驗下基于經(jīng)濟模型設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖是這兩種控制圖中期望總費用最小即最優(yōu)的控制圖。

表2 根據(jù)L16(215)安排的十六次試驗

分別計算這兩種控制圖的期望總費用的平均值并記錄在倒數(shù)第二行，結(jié)果表明基于經(jīng)濟模型設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖的期望總費用最小、最優(yōu)。例如基于經(jīng)濟模型設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖的期望總費用C的均值為32.6357，當(dāng)λ=0.1，ATS0=100時用統(tǒng)計方法設(shè)計樣本容量n=3的VSI泊松EWMA控制圖的期望總費用C1的均值為34.4645，顯然C＜C1。

表3 最優(yōu)性分析結(jié)果

最后對平均值分別標(biāo)準(zhǔn)化即除以C的均值32.6357，并記錄在最后一行。從全局的觀點得出λ=0.1，ATS0=100,150,200和λ=0.2，ATS0=300,400,500時，基于經(jīng)濟模型設(shè)計的樣本容量n=3的VSI泊松EWMA控制圖的期望總費用C，分別優(yōu)于統(tǒng)計方法設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖的期望總費用C1的倍數(shù)。例如：λ=0.1ATS0=150時為1.0635，說明此時的期望總費用C1為經(jīng)濟模型設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖的期望總費用C的1.0635倍，即基于經(jīng)濟模型設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖優(yōu)于統(tǒng)計方法設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖1.0635倍。

由以上分析可以看出基于經(jīng)濟模型設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖是這兩種控制圖中期望總費用最小即最優(yōu)的控制圖。

5 結(jié)論

根據(jù)Lorenzen&Vance經(jīng)濟模型，對可變抽樣區(qū)間泊松EWMA控制圖進行了經(jīng)濟設(shè)計研究。使期望總費用最小，確定參數(shù)的最優(yōu)值，并用遺傳算法求解模型的最優(yōu)解。通過最優(yōu)性分析，得出基于經(jīng)濟模型設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖比統(tǒng)計方法設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖優(yōu)越,具有較小的期望總費用。

[1]Roberts,S.W.A Comparison of Some Control Chart Procedures[J].Technometrics，1966,（8）.

[2]Reynolds,M.R.Jr,Amin,R.W.,Arnold,J.C.,Nachlas,J.A.X-bar Charts with Variable Sampling Intervals[J].Technometrics,1988,30(2).

[3]Saccucci,M.S.,Amin,R.W.,Lucas,J.M.Exponentially Weighted Moving Average Control Schemes with Vari?able Sampling Intervals[J].Communications in Statis?tics-Simulation and Computation,1992,21(3).

[4]Reynolds,M.R.Jr,Arnold,J.C.EWMA Control Charts with Variable Sample Sizes and Variable Sampling In?tervals[J].IIE Trans actions,2001,32(6).

[5]叢方圓,趙選民，師義民，王彩玲可變抽樣區(qū)間的Pois?son EWMA控制圖[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2007,37(13).

[6]Chou,C.Y.,Cheng,J.C.,Lai,W.T.Economic Design of Variable Sampling Intervals EWMA Charts with Sam?pling at Fixed Times Using Genetic Algorithms[J].Expert Systems with Applications,2008,（34）.

[7]Serel,D.A.,Moskowitz,H.Joint Economic Design of EW?MA Control Charts for Mean and Variance[J].European Journal of Operational Research,2008,(184).

[8]Chou,C.Y.,Chen,C.H.,Chen,C.H.Economic Design of EWMA Charts with Variable Sampling Intervals[J].Quality&Quantity,2006,(40).

[9]Lorenzen,T.J.,Vance,L.C.The Economic Design of Control Charts:a Unified Approach[J].Technometrics,1986,(28).