袁利江

摘 要：一年一度中高考試題一直是我們教學(xué)研究的主要對(duì)象，尤其是在高考中出彩的試題，更備受青睞，因?yàn)樗鼉?nèi)容夠深刻、設(shè)計(jì)夠新穎、研究夠豐富，作為開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力和發(fā)展學(xué)生的思維具有一定的積極作用，是一些非常有效的素材。 本文通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的含參數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路剖析，展示其題解的思維過(guò)程，給讀者總結(jié)了一些有關(guān)含參數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題思維方面的啟示。

關(guān)鍵詞：高考；雙參數(shù)；數(shù)學(xué)思維

縱觀歷年的各省高考試題，含參數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題一直是居高不下，其中還有不少試題含有多個(gè)參數(shù)，對(duì)于這些問(wèn)題，很多學(xué)生望而生畏，騎虎難下，深感困難重重，難以決策。 G·波利亞曾說(shuō)：“一個(gè)專(zhuān)心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門(mén)戶(hù)，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域”。 本著這樣的教學(xué)理念，本文旨在通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的含參數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路剖析，展示其題解的思維過(guò)程，望能給讀者一些有關(guān)含參數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題思維方面的啟示。

題目：（2012年天津高考試題） 設(shè)m，n∈R，若直線(xiàn)（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓（x-1）2+（y-1）2=1相切，則m+n的取值范圍是（ ）

[?] 試題分析與探索

這是一道以直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系為背景，考查參數(shù)取值范圍的問(wèn)題。 試題內(nèi)容基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)背景平淡，難度不大，所以適宜于課堂教學(xué)。

1.不等式的角度

探究1：由題設(shè)直線(xiàn)（m+1）x+（n+1）·y-2=0與圓（x-1）2+（y-1）2=1相切可知， 圓心（1，1）到直線(xiàn)的距離為d==1，化簡(jiǎn)得mn=m+n+1. （*）

規(guī)律總結(jié)：由條件得到等式mn=m+n+1，它具有這樣的特征：等式中含有也只含參數(shù)m，n和與積的形式，于是我們可以聯(lián)想到用基本不等式求解。

2.方程的角度

探究2-1：由探究1中（*）式知mn=m+n+1，設(shè)m+n=t，則mn=t+1，

所以m，n是方程x2-tx+t+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，從而Δ=t2-4（t+1）≥0，

解得t∈（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）。

探究2-2：由探究1中（*）式知mn=m+n+1，設(shè)m+n=t，則m=t-n，

從而n（t-n）=t+1，即n2-nt+t+1=0。

由題意可知上式關(guān)于n的方程有解，故Δ=t2-4（t+1）≥0，

解得t∈（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）。

規(guī)律總結(jié)：對(duì)于含有兩參數(shù)m，n和積形式的條件等式，我們聯(lián)想到韋達(dá)定理，通過(guò)構(gòu)造方程來(lái)求解；或采用逆向代換，通過(guò)消參得到某一參數(shù)為變?cè)姆匠?，然后根?jù)方程有解來(lái)求目標(biāo)量的取值范圍。

3.函數(shù)的角度

探究3-1：由探究1中（*）式知mn=m+n+1，

從而m=，故m+n=+n=+（n-1）+2。

函數(shù)y=+x+2，y′=-+1，

所以當(dāng)x>或x<-時(shí)，y′>0，函數(shù)是遞增函數(shù)，

當(dāng)-

從而m+n∈（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）。

探究3-2：由探究1中（*）式知（m-1）·（n-1）=2。

令m-1=x，n-1=y，則y=，所以m+n=+x+2（以下解法同上）。

探究3-3：對(duì)于m+n=+（n-1）+2，我們還可以如下處理：

當(dāng)n>1時(shí)，m+n=+（n-1）+2≥2+2；

當(dāng)n<1時(shí)，m+n=+（n-1）+2≤ -2+2，

從而m+n∈（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）。

規(guī)律總結(jié)：對(duì)于題設(shè)出現(xiàn)或可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于這兩個(gè)參數(shù)的條件等式的此類(lèi)問(wèn)題，若此等式可以轉(zhuǎn)化為某一參數(shù)的函數(shù)形態(tài)，我們就可以通過(guò)代換的辦法得到一個(gè)函數(shù)，并通過(guò)求該函數(shù)值域的辦法來(lái)求解問(wèn)題。

4.幾何的角度

探究4-1：由探究1（*）知m==1+，

它在直角坐標(biāo)系nOm中表示一條曲線(xiàn)，如圖1。 作一組平行線(xiàn)m+n=t（t∈R），要使得直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)知，m+n=t∈（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）。

探究4-2：由探究1中（*）式知（m-1）·（n-1）=2。

令m-1=x，n-1=y，

則y=，它在直角坐標(biāo)系xOy中表示反比例函數(shù)。

規(guī)律總結(jié)：像這類(lèi)具有明顯幾何意義的目標(biāo)參數(shù)式，我們就可以從幾何意義的角度，結(jié)合線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)或構(gòu)造幾何公式來(lái)求解（如本題中的目標(biāo)式m+n=t，它具有截距的幾何意義）。

5.轉(zhuǎn)化的角度

探究5：由探究1中（*）式知mn=m+n+1。

令m=x+y，n=x-y，則x2-y2=2x+1，即y2=x2-2x-1≥0，

所以x≥1+或x≤1-，

從而m+n=2x∈（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）

規(guī)律總結(jié)：從以上的分析我們可以看出，通過(guò)換元可以轉(zhuǎn)化目標(biāo)式（如探究4-2中，采用換元法后的函數(shù)形態(tài)很明顯比換元前容易理解得多，換元前的解析式其圖象形態(tài)的把握，需要具備一定的圖象變換能力才行），還我們一個(gè)質(zhì)的形態(tài)；通過(guò)換元可以把一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)情景問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)熟悉的數(shù)學(xué)情景問(wèn)題，從而達(dá)到化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的目的。

[?] 應(yīng)用

例1 （2012年浙江高考）已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax3-2bx-a+b。

（Ⅰ）證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，

（ⅰ）函數(shù)f（x）的最大值為

在直角坐標(biāo)系aOb中，（1）所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中所示的陰影部分，其中不包括線(xiàn)段BC。 作一組平行線(xiàn)a+b=t（t∈R），得-1

探究2：由（?。┲?，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，

所以a+b=（3a-b）+2（b-a）≤3，且a+b≥4a-1>-1，

所以a+b的取值范圍是（-1，3]。

探究3：設(shè)a+b=t，則b=t-a，代入探究2（*）式可知

所以a+b的取值范圍是（-1，3]。

評(píng)注：探究1采用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)求解雙參數(shù)目標(biāo)式a+b的取值范圍，是解決本題最為直接的方法；探究2是運(yùn)用不等式的性質(zhì)，通過(guò)把3a-b與b-a看做兩個(gè)獨(dú)立的變量，并用它們和a來(lái)表示a+b，進(jìn)而求出a+b的取值范圍；探究3則是利用整體思想逆代消元，然后利用不等式的性質(zhì)求解。 探究2與3，從本質(zhì)上講是一樣的，只是采用的思維方式不同，但其過(guò)程的呈現(xiàn)與理解的程度是有所不同的，兩者在代數(shù)變形的要求上略有差異，很顯然，整體思維逆代法更讓人容易理解與接受。

例2 （2011湖北省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，高一年級(jí)）

已知a，b∈R，關(guān)于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一個(gè)實(shí)根，求a2+b2的最小值。

解法1：設(shè)r為方程x4+ax3+2x2+bx+1=0的實(shí)根，則有r4+ar3+2r2+br+1=0，即（r2+1）2+r（ar2+b）=0。 顯然r≠0.

容易證明（ar2+b）2≤（a2+b2）（r4+1），于是

因此a2+b2的最小值為8。

解法2：x4+ax3+2x2+bx+1=x3·a+x·b+x4+2x2+1=0有一個(gè)實(shí)根，則在直角坐標(biāo)系aOb中，存在實(shí)數(shù)x使此方程表示一條直線(xiàn)l，于是a2+b2表示原點(diǎn)O（0，0）與P（a，b）之間的距離的平方，下面只需求出原點(diǎn)O（0，0）到直線(xiàn)l距離d的最小值即可。

而d=≥=2，即a2+b2≥d≥8

故當(dāng)且僅當(dāng)x4+1=2x2且OP⊥l時(shí)，a2+b2的最小值為8此時(shí)a2+b2=8，

評(píng)注：解法1是應(yīng)用含參數(shù)的柯西不等式相關(guān)知識(shí)求解，解法2則是反客為主，從目標(biāo)參數(shù)式的幾何意義出發(fā)思考分析求解，思維獨(dú)特，算法簡(jiǎn)捷，真可謂是奇思妙解也。

綜上所述，對(duì)于此類(lèi)雙參數(shù)式的取值范圍或最值問(wèn)題，其實(shí)并非無(wú)路可尋，只要我們善加思考，勤于動(dòng)腦，有意積累，就能做到舉一反三，觸類(lèi)旁通。