嚴志榮

理解是數(shù)學學習的關鍵. 有的學生在學習數(shù)學知識時能牢固掌握知識，舉一反三，這類學生對知識的理解是最為深刻的；有的學生則是一 知半解，一味模仿，這類學生只是從形式上理解了知識；還有一類學生是一竅不通，弄不清知識的含義，這類學生對知識不理解. 以上三種現(xiàn)象究其原因可能很多. 數(shù)學概念表征的完善與否無疑是其中一個重要的因素. 一、相關概念

1. 數(shù)學中的理解學習

數(shù)學中的理解學習應是學習者先認識數(shù)學對象的外部表征，構建相應的心理表象，然后在建立新舊知識聯(lián)系的動態(tài)過程中，打破原有的認知平衡，將數(shù)學對象的心理表象進行改造、整理、重組，重新達到新的平衡，以便抽取數(shù)學對象的本質特征及規(guī)律，從而達到對數(shù)學對象的理解.

2. 數(shù)學概念表征

概念域是指關于某一個概念的一組等價定義的圖式. 也就是說描述一個概念的角度應是多維的. 現(xiàn)代認知心理學認為圖式是人腦對事物或事件的一般特征的概括，貯存在人的長時記憶中，簡單地說就是知識表征的儲存方式. 例如，對正方形概念的等價定義有：① 有一個角是直角的菱形；② 有一組鄰邊相等的矩形；③ 有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形；④ 對角線相等的菱形；⑤ 對角線垂直的矩形……

二、相關指標

1. 刻畫數(shù)學理解學習的四元指標

① 對數(shù)學知識理解的指標之一是對公式、法則等的簡單模仿. 這種模仿處于數(shù)學理解的最低層次，也是必不可少的一個層次. 此時的模仿只是對公式、法則表象的理解，甚至對它們本身的意義并不清楚. ②對數(shù)學知識理解的指標之二是知識本身的靈活運用. 是知其然的表現(xiàn).③對數(shù)學知識理解的指標之三是能用自己的語言敘述知識，知道知識的產(chǎn)生過程，并能知道與該知識等價的知識. 這是知其所以然的體現(xiàn). ④ 對數(shù)學知識理解的指標之四：是在新的情況下綜合運用. 這是數(shù)學理解的最高標志.

2. 刻畫數(shù)學概念表征的四元指標

①對數(shù)學概念表征的指標之一是概念表征的真度. 也就是對一概念的理解正確程度. ②對數(shù)學概念表征的指標之二是概念表征的深度. 也就是對一概念理解的深刻性的程度. ③ 對數(shù)學概念表征的指標之三是概念表征的廣度. 也就是對一概念相關概念的聯(lián)系程度. ④ 對數(shù)學概念表征的指標之四是概念表征的速度. 也就是對一概念表征的快慢. 有的學生反應比較快，有的學生反應比較慢. 同樣對概念表征也是如此. 對一個概念有的學生能很快說出，有的學生還沒有想好.

三、數(shù)學概念表征對理解學習的影響

理解學習是數(shù)學學習的關鍵. 而數(shù)學概念表征是學習數(shù)學的基礎. 有了概念，才有命題定理，才有了知識的綜合運用. 因此概念表征是理解學習的第一步，也是最關鍵的一步. 如何完善數(shù)學概念表征呢？

1. 提供豐富的具體材料

概念學習一般分為概念形成和概念同化兩種. 所謂概念形成是指同類事物的關鍵特征可以由學習者從大量的同類事物不同例證中獨立發(fā)現(xiàn). 教師向學生提供了豐富的感性材料，學生借此在大腦中建立了對該事物的感覺、知覺、表象，從而獲得了對該事物的一些具體認識. 學生在進行概念表征時有了一個具體的思維物. 有助于學生找到相應的心理圖像，從而初步建立起概念的表征. 采用概念形成的方法學習概念，由于是學生主動參與程度高，積極性高，有利于調動各種認知因素，更有利于建立起概念的表征. 而理解學習首先從認識數(shù)學對象外部表征開始，所以豐富材料也有利于理解學習.

2. 不斷總結構建完善的概念域和概念系

形成初步的概念表征是理解學習的第一步，建立起完善的概念域和概念系是理解學習的重要標志. 教師在教學中要有意識地對相關知識進行總結，使同一概念在不同章節(jié)中的表達統(tǒng)一起來，從而建立起相關的概念域. 例如證明兩條直線互相垂直的方法：① 定義；② 兩個銳角互余；③ 勾股定理逆定理；④ 等腰三角形三線合一；⑤ 矩形、正方法性質；⑥ 直徑所對的圓周角是直角……這一組方法就組成了垂直的概念域，而與垂直存在某種關系的概念網(wǎng)絡就構成了概念系. 事實表明概念域和概念系越完善，數(shù)學學習就越容易. 也就是將數(shù)學對象心理表象更有效地進行重組、整理，納入到認知結構中去.

3. 重視概念表征中的變式

變式是不斷變換呈現(xiàn)的形式，以便讓學生區(qū)分出數(shù)學概念的本質屬性. 例如，在講垂直概念時，學生習慣思維是與水平放置物體垂直理解，對斜放的物體呈垂直不認可，這說明學生受到了無關材料的影響. 因此改變垂直的呈現(xiàn)方法有助于概念的學習，有助于形成正確的概念表征，加深對數(shù)學的理解.

4. 重視元認知對概念表征的影響

簡單地說元認知就是對認知的認識. 它包括元認知知識、元認知體驗、元認知監(jiān)控三個方面. 良好的元認知結構有助于概念表征的形成. 在概念表征中監(jiān)控自己的表征有多少真度、深度、廣度、速度. 監(jiān)控自己的概念域和概念系有沒有形成；監(jiān)控自己對數(shù)學概念的理解程度. 從而形成概念表征與理解學習的良性循環(huán).

【參考文獻】

[1]邵瑞珍.教育心理學 [M].上海：上海教育出版社，1998.

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