楊鋒

【摘要】 初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會(huì)不可避免地出現(xiàn)錯(cuò)誤. 學(xué)生的錯(cuò)誤是學(xué)生認(rèn)知過(guò)程的重要組成部分，也是一種值得利用的教育資源. 錯(cuò)誤在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有其重要的價(jià)值：以錯(cuò)顯正，可以使學(xué)生對(duì)知識(shí)有深刻的理解；以錯(cuò)攻錯(cuò)，可以使學(xué)生掌握元認(rèn)知監(jiān)控策略；因才施教，可以使學(xué)生從錯(cuò)誤中找回信心.

【關(guān)鍵詞】 錯(cuò)誤；初中數(shù)學(xué)；教學(xué)；價(jià)值

在教學(xué)中，教師通常傳授科學(xué)的知識(shí)和講解正確的方法，但是教師也經(jīng)常不可避免地要面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤. 初中的教學(xué)對(duì)象是身心發(fā)展尚未成熟的青少年，這個(gè)年齡的心理特點(diǎn)決定了他們常會(huì)產(chǎn)生理解錯(cuò)誤或解題錯(cuò)誤.

事實(shí)上，錯(cuò)誤并不可怕. 學(xué)生所犯的錯(cuò)誤及其對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，都是學(xué)生認(rèn)知的重要組成部分. 學(xué)生作出錯(cuò)解，從知識(shí)與技能掌握的角度來(lái)說(shuō)，他失敗了；但是，他因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的參與而獲得了一種體驗(yàn)，嘗試用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題，從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，他是有收獲的. 教師應(yīng)當(dāng)把錯(cuò)誤看成是學(xué)生在學(xué)習(xí)中自然存在的現(xiàn)象，把錯(cuò)誤看成認(rèn)識(shí)學(xué)生思維規(guī)律的重要手段.

另外，從教學(xué)角度來(lái)看，錯(cuò)誤本身也是一種值得利用的教育資源. 一方面，行為心理學(xué)知識(shí)告訴我們，把“錯(cuò)誤”作為反面材料，通過(guò)警示、否定、修正等方式刺激，可以達(dá)到強(qiáng)化學(xué)習(xí)的目的，這種刺激的“加強(qiáng)”效果也尤為明顯. 另一方面，針對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生自主反思、客觀分析、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，不僅可以讓學(xué)生日后減少出錯(cuò)，而且能幫助學(xué)生掌握有效的學(xué)習(xí)策略.

一、以錯(cuò)顯正，可以使學(xué)生對(duì)知識(shí)有深刻的理解

教學(xué)實(shí)踐表明，教師把“錯(cuò)誤”展現(xiàn)出來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生共同探討導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因，有利于活躍課堂氣氛和提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 教師對(duì)“錯(cuò)誤”的點(diǎn)評(píng)，可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和記憶，警惕易犯的錯(cuò)誤.

（一）利用錯(cuò)誤，講清本質(zhì)

初中生的抽象邏輯思維很大程度上還屬于經(jīng)驗(yàn)型，他們的邏輯思維需要感性經(jīng)驗(yàn)的直接支持，在概念教學(xué)中展示錯(cuò)例，可以豐富學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析這些錯(cuò)誤，可以起到突出概念的本質(zhì)特征的作用，使學(xué)生比較迅速準(zhǔn)確地掌握概念.

例如，學(xué)習(xí)對(duì)頂角這個(gè)知識(shí)的時(shí)候，學(xué)生對(duì)“對(duì)頂角的判斷”經(jīng)常出錯(cuò)，以為圖1-1至圖1-3中的∠1和∠2是對(duì)頂角. 這時(shí)教師借助這幾個(gè)錯(cuò)例來(lái)講解. 提問(wèn)：“這兩個(gè)角有沒(méi)有公共頂點(diǎn)？是不是由兩條直線相交構(gòu)成？”通過(guò)錯(cuò)例，概念的學(xué)習(xí)有了形象的依托，學(xué)生更容易從具體圖例當(dāng)中提煉和記憶對(duì)頂角的本質(zhì)屬性.

（二）通過(guò)對(duì)比，防止混淆

隨著教學(xué)的推進(jìn)，學(xué)習(xí)內(nèi)容的增多，學(xué)生容易發(fā)生混亂錯(cuò)誤. 在教學(xué)中，可以通過(guò)對(duì)比來(lái)防止學(xué)生混淆. 對(duì)比，既可以把同一道題的正誤解法進(jìn)行比較，也可以把學(xué)生混淆的兩個(gè)題型進(jìn)行類比.

例如，學(xué)生學(xué)了分式方程后，常常與分式化簡(jiǎn)題混淆.

教師展示了錯(cuò)解，還要講解正確解法，在對(duì)比之中讓學(xué)生找出解題錯(cuò)誤的步驟. 接著，教師可以針對(duì)學(xué)生混亂致錯(cuò)的原因，設(shè)計(jì)一道分式方程的題目進(jìn)行對(duì)比， 通過(guò)對(duì)比，學(xué)生明白了錯(cuò)因，同時(shí)又知道了兩種題型的解法的區(qū)別與聯(lián)系，既能防止錯(cuò)誤再次發(fā)生，又達(dá)到了深刻理解解法的目的.

二、以錯(cuò)攻錯(cuò)，可以使學(xué)生掌握元認(rèn)知監(jiān)控策略

元認(rèn)知監(jiān)控策略，是指學(xué)生對(duì)自己學(xué)習(xí)過(guò)程的有效監(jiān)視和控制. 監(jiān)控策略使學(xué)習(xí)者警覺(jué)自己在注意和理解方面可能出現(xiàn)的問(wèn)題，以便找出來(lái)，并加以修改. 以錯(cuò)攻錯(cuò)，就是指教師要利用錯(cuò)誤來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知監(jiān)控策略，使其在解題過(guò)程能夠自我監(jiān)控、在解題之后能夠進(jìn)行反思，及時(shí)調(diào)整問(wèn)題解決的方法，避免出錯(cuò).

（一）在錯(cuò)誤中學(xué)會(huì)提問(wèn)

利用錯(cuò)誤來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知監(jiān)控策略，首先要培養(yǎng)學(xué)生自我提問(wèn)的能力. 教師在題目評(píng)講時(shí)，示范性地對(duì)錯(cuò)解進(jìn)行自我提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤然后找到正確解法.

教師可事先制訂一個(gè)體現(xiàn)思考程序的“問(wèn)題單”，分三步進(jìn)行自我提問(wèn). 第一步，屬于問(wèn)題表征類：題目說(shuō)什么，求什么？有什么數(shù)量關(guān)系？第二步，屬于解題方法類：以前有沒(méi)有做過(guò)類似題目？怎樣求，什么方法？第三步，屬于思維方式類：我進(jìn)行雙向推理了嗎？我注意發(fā)散思維和集中思維了嗎？

例2 甲乙兩根蠟燭燃燒時(shí)剩余部分高度y（cm）與燃燒時(shí)間x（h）之間的關(guān)系如圖2所示，分別求出甲、乙兩根蠟燭燃燒時(shí)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式

錯(cuò)解 設(shè)y = kx + b，把（2，30）和（2.5，25）代入得

30 = 2k + b，25 = 2.5k + b，解得k = -10，b = 50.

所以，y = -10x + 50.

問(wèn)：題目求什么？誰(shuí)的？多少個(gè)？

答：求函數(shù)關(guān)系式，甲的……乙的，兩……兩個(gè)！怎么才求出一個(gè)，哦，可能錯(cuò)了.

問(wèn)：求函數(shù)關(guān)系式的方法是什么？

答：待定系數(shù)法，找兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入.

問(wèn)：求一個(gè)函數(shù)關(guān)系式需要多少個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)？?jī)蓚€(gè)函數(shù)關(guān)系式呢？

答：求一個(gè)函數(shù)關(guān)系式需要兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo). 兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式……對(duì)啊，怎么才兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)？哦！我明白錯(cuò)在哪里了！

類似于上述過(guò)程，經(jīng)過(guò)自我提問(wèn)和回答，多數(shù)學(xué)生能意識(shí)到解題的錯(cuò)誤. 教師對(duì)錯(cuò)解進(jìn)行自我提問(wèn)示范，目的是培養(yǎng)學(xué)生形成自我提問(wèn)的習(xí)慣. 當(dāng)自我提問(wèn)成為一種穩(wěn)定的能力時(shí)，學(xué)生就掌握了初步的元認(rèn)知監(jiān)控策略.

（二）在錯(cuò)誤中學(xué)會(huì)反思

作為初中數(shù)學(xué)教師，不能無(wú)視學(xué)習(xí)者的己有經(jīng)驗(yàn)，特別是錯(cuò)誤的經(jīng)驗(yàn). 教師要想辦法讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的過(guò)程，反思錯(cuò)誤的原因，然后尋找解決問(wèn)題的辦法.

例3 如圖3，四邊形ABCD的四邊AB，BC，CD和DA的長(zhǎng)分別是3，4，13，12，∠CBA = 90°，求S四邊形ABCD .

錯(cuò)解 S四邊形ABCD = （3 + 13） × 4 ÷ 2 = 32.

正解：連接AC，

∵ ∠CBA = 90°，AB = 3，BC = 4，

∴ AC = 5，

∵ CD = 13，DA = 12 ，AC = 5，

∴ ∠CAD = 90°.

∴ S四邊形ABCD = S△ABC + S△ADC = 3 × 4 ÷ 2 + 5 × 12 ÷ 2 = 36.

教師若直接給出上述解法，學(xué)生可能仍不明白做錯(cuò)的原因，無(wú)法吸取教訓(xùn). 事實(shí)上，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)上述錯(cuò)誤時(shí)，教師可以讓學(xué)生先按題目所述的數(shù)據(jù)畫圖，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目中的四邊形ABCD并不是自己主觀認(rèn)為的梯形，犯了“添加條件”的錯(cuò)誤，此時(shí)教師不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生反思：題目沒(méi)有說(shuō)到的條件不能擅自添加；題目說(shuō)了的條件不可能無(wú)需用到. 這時(shí)學(xué)生才意識(shí)到題目并沒(méi)有說(shuō)四邊形ABCD是梯形，而條件“DA = 12”卻被丟在一邊. 教師趁熱打鐵：不規(guī)則圖形求面積還有什么辦法？學(xué)生恍然大悟：分割法，我懂了！

所以說(shuō)，教師要懂得利用學(xué)生的錯(cuò)誤來(lái)讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思. 只有學(xué)生自己意識(shí)到錯(cuò)誤之后，他們才能從根本上改正錯(cuò)誤，也才能在以后處理類似的問(wèn)題時(shí)否定以前的解法，而把正確的解法作正遷移，從而提高解題能力.

三、因才施教，可以使學(xué)生從錯(cuò)誤中找回信心

沒(méi)有學(xué)生愿意主動(dòng)出錯(cuò)，面對(duì)自己的錯(cuò)誤解答，他們心理上也有壓力. 學(xué)生渴望得到尊重，他們敏銳地感受著教師言行的點(diǎn)點(diǎn)滴滴. 教師應(yīng)做到具體問(wèn)題具體分析，針對(duì)個(gè)體差異區(qū)別對(duì)待，并且教會(huì)學(xué)生積極地面對(duì)挫折，在錯(cuò)誤中找回信心.

（一）善意批評(píng)與嚴(yán)格要求相結(jié)合

“錯(cuò)誤”有一定的教學(xué)價(jià)值，但并不意味著教師可以放任學(xué)生犯錯(cuò). 教師要對(duì)學(xué)生的“小錯(cuò)誤”給予足夠的重視，弄清楚該錯(cuò)誤是“新病”或是“頑疾”. 對(duì)首次犯錯(cuò)的學(xué)生，可以在評(píng)講時(shí)指明致錯(cuò)的原因，暴露產(chǎn)生錯(cuò)誤的思維過(guò)程；對(duì)同一錯(cuò)誤一犯再犯的學(xué)生，除了強(qiáng)調(diào)正確解法之外，還應(yīng)該對(duì)這名學(xué)生給予善意的批評(píng).

例4 如圖4，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AO平分∠BAC，∠1 = ∠2. 求證：AB = AC.

錯(cuò)證一 ∵ AO平分∠BAC，

∴ ∠BAO = ∠CAO.

∵ ∠1 = ∠2，

∴ BO = CO.

又 ∵ AO = AO，

∴ △BAO ≌ △CAO，

∴ AB = AC.

該題的證明錯(cuò)誤在于學(xué)生錯(cuò)把SSA當(dāng)作SAS來(lái)用了. 如果學(xué)生一直認(rèn)為SSA能證明全等，教師對(duì)出現(xiàn)這種知識(shí)性錯(cuò)誤的學(xué)生理應(yīng)批評(píng)提醒和嚴(yán)格要求，杜絕再錯(cuò)；如果學(xué)生知道SSA并不能證明全等，是因?yàn)橄氩怀鲎C法而不得不“錯(cuò)證”出來(lái)，教師則應(yīng)當(dāng)和學(xué)生作適當(dāng)?shù)慕涣?，提出要認(rèn)真思考問(wèn)題、不能馬虎對(duì)待數(shù)學(xué)的要求.

（二）個(gè)別輔導(dǎo)與肯定鼓勵(lì)相結(jié)合

有的學(xué)生因?yàn)樗季S定式出錯(cuò)，有的學(xué)生因?yàn)榍榫w焦慮出錯(cuò)，有的學(xué)生因?yàn)閱?wèn)題表征困難出錯(cuò)，等等. 教師可以找學(xué)生談心，分析致錯(cuò)的心理因素，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的勇氣和決心.

例如上述例4，有的學(xué)生證明如下：

錯(cuò)證二：如圖5，作OD⊥BC，垂足為D

∵ ∠1 = ∠2，

∴ BO = CO，即△OBC是等腰三角形.

∵ OD⊥BC，

∴ BD = CD.

在△ABD和△ACD中，

∵ BD = CD，∠BDA = ∠CDA = 90°，AD = AD，

∴ △ABD ≌ △ACD，從而AB = AC.

顯然，出現(xiàn)上述錯(cuò)誤的學(xué)生沒(méi)有意識(shí)到作OD⊥BC后，點(diǎn)A，O，D不一定在同一條直線上，從而證明失敗. 但是該學(xué)生作了輔助線，說(shuō)明他對(duì)題目的思考已經(jīng)較為充分，屬于思維活躍、敢于嘗試的學(xué)生. 教師一方面要肯定他不怕困難勇于嘗試的精神，另一方面，教師還要引導(dǎo)他查找錯(cuò)誤，促使其全面思考，鼓勵(lì)他再作嘗試. 學(xué)生很快找到了正確的輔助線的作法：作OM⊥AB，ON⊥AC即可完成證明.

總之，錯(cuò)誤是伴隨學(xué)習(xí)過(guò)程的常見(jiàn)現(xiàn)象，錯(cuò)誤不等于失敗. 對(duì)學(xué)生而言，錯(cuò)誤增加了他數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累. 對(duì)教師而言，學(xué)生的錯(cuò)誤使老師更好地了解到學(xué)生頭腦中的想法，在教學(xué)中能及時(shí)作出有針對(duì)性的調(diào)整. 如果學(xué)生能在教師的支持下，嘗試按照自己的想法解釋錯(cuò)誤，他就有機(jī)會(huì)整理自己的觀點(diǎn)，并檢查自己思維過(guò)程的合理性，從而發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并弄清病因. 作為教師，我們除了傳播科學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和展示正確的思想方法，還要營(yíng)造一種寬松的環(huán)境，讓學(xué)生敢于嘗試并且“知錯(cuò)能改”，在改正錯(cuò)誤的過(guò)程中找到正確的方法和收獲進(jìn)步的喜悅.

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