黃敏

摘 要：立體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的板塊，是高考必考內(nèi)容，但立體幾何知識(shí)卻一直是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，出現(xiàn)教學(xué)難教、學(xué)生難學(xué)的現(xiàn)象. 如何讓學(xué)生學(xué)好立體幾何，走出困境，筆者就此談?wù)勛约旱目捶?

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；立體幾何；教學(xué)策略

立體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)極為重要的內(nèi)容之一，也是高考考查的重點(diǎn).《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的立體幾何定位于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生把握?qǐng)D形的能力、空間想象與幾何直覺(jué)的能力、邏輯推理能力等，在處理方式上，與以往點(diǎn)、線(xiàn)、面、體，從局部到整體展開(kāi)幾何內(nèi)容的方式不同，《課程標(biāo)準(zhǔn)》按照從整體到局部的方式展開(kāi)幾何內(nèi)容，并突出直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等探索研究幾何的過(guò)程. 然而，對(duì)于許多學(xué)生來(lái)說(shuō)，由于缺乏空間想象能力，沒(méi)有掌握合適的解題方法，立體幾何是令他們頭疼的一大板塊，對(duì)文科生尤其如此. 那數(shù)學(xué)教師在教授立體幾何時(shí)，應(yīng)當(dāng)如何講解才能使得學(xué)生對(duì)立體幾何的了解更為透徹，進(jìn)而掌握解題的方法和策略呢？筆者認(rèn)為，要想讓立體幾何變得不再那么“立體”，教師可以從以下幾方面入手.

[?] 立體幾何教學(xué)大綱的要求

按照立體幾何教學(xué)大綱來(lái)看，學(xué)生對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)從整體的觀察開(kāi)始，以對(duì)空間圖形的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，進(jìn)而理解空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的關(guān)系，有一定的空間想象能力.

1. 對(duì)線(xiàn)、面、體的教學(xué)要求

按照大綱要求，學(xué)生應(yīng)該掌握平面的基本性質(zhì)、直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系、線(xiàn)線(xiàn)平行和線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定方法、二面角等多項(xiàng)內(nèi)容. 在數(shù)學(xué)方法上，大綱要求學(xué)生能夠較為熟練地運(yùn)用反證法來(lái)證明一些簡(jiǎn)單的幾何題目；在幾何圖形上則需要學(xué)生了解多面體、球體、棱柱和棱錐的基本概念和相關(guān)的面積計(jì)算公式等.

2. 對(duì)空間幾何體的教學(xué)要求

大綱對(duì)空間幾何體的教學(xué)要求是需要學(xué)生認(rèn)識(shí)并掌握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并能在現(xiàn)實(shí)生活中找到相對(duì)應(yīng)的例子. 此外，大綱還要求學(xué)生掌握三視圖的畫(huà)法，要能畫(huà)出一些結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的空間圖形.

3. 大綱對(duì)點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系的要求

點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系既是立體幾何學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，也是高考考查的重要知識(shí)點(diǎn)，因此學(xué)生對(duì)點(diǎn)、線(xiàn)、面之間關(guān)系的掌握一定要很牢固. 按照大綱要求，學(xué)生要能夠按照一定的模型來(lái)理解點(diǎn)、線(xiàn)、面三者之間的位置關(guān)系，并在掌握了教材所講授的定義、公理等的前提下，通過(guò)理論想象和動(dòng)手操作來(lái)加深對(duì)線(xiàn)面平行等的認(rèn)識(shí). 正是因?yàn)辄c(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系種類(lèi)很多，因此學(xué)生要加強(qiáng)對(duì)其中必要的、常用的公理、定理的掌握.

[?] 教師應(yīng)當(dāng)如何讓立體幾何變得不再“立體”

從多年的從教經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，筆者認(rèn)為，可以從以下幾個(gè)方面著手讓立體幾何變得不再“立體”：

1. 將立體幾何與生活相結(jié)合

數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)很大程度上是源于生活的，這一點(diǎn)從立體幾何上可以看出.我們?nèi)粘Ｉ钪械脑S多建筑就有立體幾何的影子，因此，在立體幾何的教學(xué)中教師應(yīng)將立體幾何與生活進(jìn)行一個(gè)融合. 比如說(shuō)，在上立體幾何的新課之前，可以先引導(dǎo)學(xué)生觀察一些常見(jiàn)的物體，并讓學(xué)生自行描述、概況和總結(jié)這些物體的幾何特征，這樣可以讓學(xué)生感覺(jué)立體幾何存在于我們的日常生活中，學(xué)習(xí)的熱情不自覺(jué)地也就有所提升，同時(shí)還減少了學(xué)生對(duì)立體幾何的恐懼感.

在蘇教版的高中數(shù)學(xué)教材中， 立體幾何的教學(xué)是從“柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征”開(kāi)始的，教師在上課前就可以準(zhǔn)備一些實(shí)物模型，比如地球儀等讓學(xué)生來(lái)描述這些物體的結(jié)構(gòu)特征，并進(jìn)行總結(jié). 這種方法能夠讓教學(xué)在好的氛圍下順利進(jìn)行. 同時(shí)，這種從抽象到具體的教學(xué)方法也使得對(duì)物體的感性認(rèn)識(shí)加深.

2. 巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

轉(zhuǎn)化這種數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中至關(guān)重要，在立體幾何的學(xué)習(xí)中更是如此.許多學(xué)生從平面圖形的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)為立體幾何的學(xué)習(xí)中常常會(huì)感到不適應(yīng)，這和空間想象能力的缺乏有很大關(guān)系.因此教師應(yīng)當(dāng)積極培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，同時(shí)要教會(huì)學(xué)生巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想來(lái)解決各種立體幾何的問(wèn)題. 轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的運(yùn)用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：首先是空間里直線(xiàn)和平面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，其次是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題. 在具體的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這兩種轉(zhuǎn)化的重復(fù)練習(xí). 如何將立體問(wèn)題平面化，在遇到不同平面的直線(xiàn)所成的角的問(wèn)題時(shí)，一般是將其轉(zhuǎn)化為某三角形的角，二面角轉(zhuǎn)化成平面角的問(wèn)題，線(xiàn)面平行轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行，等等. 只有讓學(xué)生經(jīng)過(guò)不斷的練習(xí)，掌握轉(zhuǎn)化的精髓，才能幫助學(xué)生真正提高解題的效率，更好地掌握立體幾何的知識(shí).

3. 投影、三視圖和直觀圖的運(yùn)用

投影、三視圖和直觀圖都是在新課改進(jìn)行以后增加的內(nèi)容，按照課標(biāo)的要求學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠畫(huà)出三視圖和直觀圖，這兩種圖形的畫(huà)法能夠幫助學(xué)生提高對(duì)空間圖形的認(rèn)知，因此，也成為以后立體幾何教學(xué)的一大重點(diǎn). 與人教版和北師大版教材都不相同的是，蘇教版的數(shù)學(xué)教材在立體幾何的章節(jié)里更為重視投影、中心投影等. 同時(shí)，在教材的編排上，蘇教版重視邏輯性思維的培養(yǎng)和塑造，這種內(nèi)容較多的教材也能更好地幫助學(xué)生理解和掌握教學(xué)的內(nèi)容，因此也更適合學(xué)生的學(xué)習(xí).

4. 直觀感知和動(dòng)手操作相結(jié)合

教師在立體幾何的教學(xué)中要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的直觀感知能力的培養(yǎng)和邏輯思維的培養(yǎng). 由于立體幾何概念和定義的抽象性，因此要多給學(xué)生提供動(dòng)手操作的能力. 學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手畫(huà)，組合幾何圖形能夠加深對(duì)所研究圖形的理解，這種自主探索的精神對(duì)于學(xué)生科學(xué)態(tài)度的形成也有著重要作用. 因此，在立體幾何的教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真觀察，仔細(xì)操作，大膽猜想，規(guī)范作圖等來(lái)加深自己的感性認(rèn)識(shí)，進(jìn)而上升到理性認(rèn)識(shí).

5. 教會(huì)學(xué)生正確運(yùn)用解題策略

教師要想讓立體幾何變得不再“立體”，除了要做好上述幾點(diǎn)之外，也應(yīng)當(dāng)教會(huì)學(xué)生正確運(yùn)用立體幾何的解題策略.立體幾何的解題策略主要包括以下這些：（1）一般問(wèn)題特殊化處理，一般問(wèn)題特殊化處理的方式常常適用于問(wèn)題較為復(fù)雜且計(jì)算量較多的情況，這種取特例和特殊值的方法更多在選擇題的時(shí)候運(yùn)用. （2）將表面距離平面化. 當(dāng)我們需要求圓柱、圓錐等常見(jiàn)幾何體表面的某兩點(diǎn)的最短距離時(shí)，我們一般都會(huì)將這兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到平面幾何中去處理，而在平面之中兩點(diǎn)之間距離最短的是線(xiàn)段，因此我們遇到此類(lèi)問(wèn)題常將立體圖形的側(cè)面展開(kāi)，展開(kāi)的側(cè)面是一個(gè)平面，計(jì)算這兩點(diǎn)間的線(xiàn)段長(zhǎng)度就能得到正確的答案.

6. 教會(huì)學(xué)生運(yùn)用畫(huà)圖方法

教會(huì)學(xué)生畫(huà)圖，從而更好地解題，也是立體幾何一種學(xué)習(xí)策略. 例如：“直線(xiàn)與平面垂直的判定”這一部分的知識(shí)，學(xué)生必須弄清定義“若一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)垂直，則這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直”. 根據(jù)其定理再進(jìn)行有關(guān)延伸，學(xué)生能夠轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言：“m為直線(xiàn)，n為平面β中的任意一條直線(xiàn)，若m⊥n，那么m⊥β”，或者是“m為直線(xiàn)，n為平面β中的任意一條直線(xiàn)，m，n交于A點(diǎn)，若A點(diǎn)為垂點(diǎn)，則m⊥β”. 這樣說(shuō)明學(xué)生對(duì)該基礎(chǔ)知識(shí)有所掌握，教師再根據(jù)定義，將判定依據(jù)“如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么這條直線(xiàn)就垂直于這個(gè)平面”等進(jìn)行講解和舉例，最后根據(jù)各條判定條件進(jìn)行有關(guān)的例句舉例和練習(xí).

除了以上的將一般問(wèn)題特殊化、表面距離平面化之外，面臨立體幾何中的最值問(wèn)題求解時(shí)，我們可以先根據(jù)題目條件構(gòu)造出一個(gè)由所求變量所組成的目標(biāo)函數(shù)，函數(shù)構(gòu)造完以后通過(guò)函數(shù)最值的求法算出我們需要的結(jié)果. 在求解的過(guò)程中我們可以運(yùn)用配方法、判別式法、三角法等等，如下例.

例：已知直平行六面體的底面兩鄰邊之和為a，底面的銳角為30°，側(cè)面積為s，求這個(gè)六面體的面積的最大值.

總之，教師在講解立體幾何的同時(shí)，要注重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和實(shí)踐動(dòng)手能力. 由于立體幾何所涉及的圖形較為抽象，且所考查的內(nèi)容較多，點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系等又很復(fù)雜，因此，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)不斷探索和思考讓立體幾何變得更加容易的辦法. 立體幾何的教學(xué)不應(yīng)當(dāng)是孤立、片面的數(shù)學(xué)教學(xué)，也不應(yīng)當(dāng)是“眉毛、胡子一把抓”的不分重點(diǎn)，教師要根據(jù)教學(xué)大綱要求，根據(jù)學(xué)生的掌握程度來(lái)進(jìn)行適當(dāng)分解，只有這樣，立體幾何才能更容易被理解和消化.